Determinazione Orbitale di Satelliti Artificiali Lezione 5 Alessandro Caporali Università di Padova

Stima ‘ottima’ delle costanti di modello In assenza di errori sistematici, la ‘migliore’ stima X0* delle p costanti X0 viene ottenuta minimizzando rispetto a X0 il funzionale Il valore del vettore Xo che minimizza la somma dei quadrati degli scarti ‘osservato – calcolato’ (oppure ‘o-c’) è quello più probabile, naturalmente nei limiti del numero di osservazioni e della ‘bontà’ del modello delle osservazioni. Condizione necessaria per il minimo è che le p X0 soddisfino il sistema di p equazioni lineari, per X0= X0* :

Linearizzazione dei modelli dei processi e dei modelli delle misure Se è disponibile una stima a priori delle p costanti incognite di modello X’0 è conveniente linearizzare: -il modello dei processi: - il modello delle osservazioni:

Modelli linearizzati

Minimi quadrati – Equazioni normali Modello degli osservabili Stima di x mediante minimizzazione del funzionale Condizione necessaria per il minimo di J:

Minimi quadrati pesati Si assuma che ogni residuo ei abbia una probabilità 0<=wi <=1. Allora il funzionale J viene ridefinito come segue: Ove W è una matrice diagonale i cui elementi sono wi Minimizzazione di J:

Minimi quadrati con equazioni di condizione Minimizzazione di J, ove i parametri X sono ulteriormente soggetti a una o più equazioni di condizione del tipo a1(X)=0,.. an(X)=0 Linearizzazione delle eq.i di condizione: In pratica, disponiamo di ulteriori n equazioni di osservazione, una per vincolo, e ciascuna affetta da un errore e:

Minimi quadrati con informazioni a priori sui parametri (1/2) Si consideri il sistema di osservazioni Tale sistema descrive la circostanza che dei p parametri incogniti di modello, m sono noti a priori con una certa incertezza h. Questo è il caso ad es.per il GM terrestre, o per certi coefficienti del campo gravitazionale terrestre, che sono fissati convenzionalmente. Possiamo scrivere: Assumiamo

Minimi quadrati con informazioni a priori sui parametri (2/2) Introdotta una matrice di peso delle osservazioni in questi termini: le equazioni delle osservazioni, incluse l’osservazione diretta dei parametri, sono:

Propagazione della stima e della covarianza Nota la stima di xj=x(tj) a un’epoca tj, fatta sulla base di osservazioni y1,..,yj, nonché la covarianza Pj associata, si tratta di predirre all’epoca tk (ad es. successiva) xk e Pk

Filtro di Kalman vs. Minimi quadrati

Esempio numerico Excel può essere usato per il problema piano ‘ranging da una Terra puntiforme’: Genera robs=a(1-e*cos(E-E0)), E=0..360, ponendo ad es a=6578137 m, e=0.3, E0=1 Genera rcalc =a(1-e*cos(E-E0)), E=0..360, ponendo ad es a=6378137 m, e=0.5, E0=0 Genera robs-rcalc, E=0,360 Genera Ha=(1-e*cos(E-E0)), He=-a*cos(E-E0),HE0=-a*e*sin(E-E0) Minimi quadrati: Risolvi per Da, De,DE0 con la funzione REGR. LIN Filtro di Kalman: assegna valori a priori per Dx eP0 Calcola il guadagno del Filtro K Aggiorna Dx e P sequenzialmente Filtro esteso: aggiorna le derivate parziali, rcalc e robs-rcalc man mano che diventano disponibili stime aggiornate di x+ Dx