INAF Astronomical Observatory of Padova Asterosismologia 2. Analisi delle pulsazioni Riccardo U. Claudi INAF Astronomical Observatory of Padova

Asterosismologia: Introduzione Stelle Pulsanti nel diagramma HR Un buon articolo di Review: Gautschy & Saio 1996 Solar type stars correspond to relatively cold stars with intermediate mass (up to 1.7 MSUN) near the main sequence, in the phase of hydrogen burning and with a significant outer convective zone (F,G, and K dwarfs and sub-giants) Asterosismologia: Introduzione

Asterosismologia: Introduzione Costante di pulsazione La costante di pulsazione esprime il periodo della pulsazione: direttamente in unità del tempo scala dinamico ed è definita come: Asterosismologia: Introduzione

Asterosismologia: Introduzione Proprietà delle oscillazioni Le oscillazioni di un oggetto sferico come una stella possono essere descritte in termini di Armoniche sferiche con le funzioni di Legendre e una costante di normalizzazione clm, funzione del grado l e del numero m definita in modo tale che ‘integrale della norma dell’armonica sferica sia 1. Il grado l misura il numero d’onda totale orizzontale Kh=L/R dove L=SQRT(l(l+1)) e R è il raggio della stella. Lambda con h è la lunghezza d’onda equivalente. ξnlm(r, , , t)= ξnl(r) Ylm(,)e-i nlmt Ylm(,)=(-1)m clmPlm(cos ) cos(m  -  t) kh = 2  / h = [l(l+1)]1/2/r Asterosismologia: Introduzione

Asterosismologia: Introduzione Armoniche Sferiche I Ylm(,)=(-1)m clmPlm(cos ) cos(m  -  t) Asterosismologia: Introduzione

Asterosismologia: Introduzione Armoniche Sferiche II l=0 l=1 l=2 Le prime armoniche sferiche calcolate per l=0 e m=0, l=1 (-1<m<1), l=2 (-2<m<2)… Asterosismologia: Introduzione

Asterosismologia: Introduzione “Splitting” Rotazionale Asterosismologia: Introduzione

n, , m Identificazione dei Modi Per una determinata frequenza nm dobbiamo determinare tre numeri "quantici”: n, , m Asterosismologia: Introduzione

Asterosismologia: Introduzione Numeri e gradi n – ordine radiale, n=0,1,2,... l - grado della armonica sferica, l=0,1,2, … m – ordine azimutale, |m| l Asterosismologia: Introduzione

Asterosismologia: Introduzione Numero dei nodi nella direzione radiale Numero totale delle linee nodali sulla superficie l Numero delle linee nodali perpendicolari all’equatore m l-|m| Numero delle linee nodali parallele all’equatore Asterosismologia: Introduzione

Asterosismologia: Introduzione C. Schrijvers

Asterosismologia: Introduzione Teoria asintotica: Frequenze Relazione di dispersione delle onde acustiche Quindi Quando kr = 0 si ha il turning point rt: When the radial wavelength number become zero we have the turning point of the wave, in other words the wave going deeper and deeper inside the stars is bent by the growing of density of the different shells of material till it arrives at the radius equal to the rt, where the wave is refracted and send behind. On the other hand when the wave approach to the surface the density becomes thinner and thinner and at the end the wave is reflected and the play start again until the wave is completely dumped. So the identification of the different pulsation mode give us information about different layer inside the star. Where in this equation the physic is? The Physics is in the value of sound speed. In fact it depends by the density of the medium at that value of radius and also by the molecular medium of the plasma so it depends by the chemical composition and, in last analysis by the evolution of the star. So, only by this, we can understand that we have a powerful tool in hand! Asterosismologia: Introduzione

Asterosismologia: Introduzione Raggi l=25 l=20 l=75 Propagation of rays of sound waves through a cross section of a solar model. The ray paths are bent by the increase with depth in sound speed until they reach the inner turning point (dotted circles), where the waves undergo total internal refraction. At the surface the waves are reflected by the rapid decrease in density. The rays correspond to medes with frequency of 3000 microHz; in order of decreasing depth of penetrtion their degrees l are: 0, 2, 20, 25, 75. The interesting thing is that greater l more local is the mode. Lower l interest greater region of star. l=2 l=0 Asterosismologia: Introduzione

Asterosismologia: Introduzione  = 1, m=0  = 1, m=1 Tim Bedding Asterosismologia: Introduzione

Asterosismologia: Introduzione  = 2, m=1  = 2, m=2 Tim Bedding Asterosismologia: Introduzione

Asterosismologia: Introduzione  = 3, m=0  = 3, m=1  = 3, m=2  = 3, m=3 Asterosismologia: Introduzione Tim Bedding

Asterosismologia: Introduzione  = 5, m=0  = 5, m=2  = 5, m=3 Tim Bedding Asterosismologia: Introduzione

Asterosismologia: Introduzione  = 8, m=1  = 8, m=2  = 8, m=3 Tim Bedding Asterosismologia: Introduzione

Asterosismologia: Introduzione Responso Spaziale I La valutazione dell’integrale viene fatta considerando m=0 (Simmetria Sferica). Fare alla lavagna i conti a partire dalla I. Ricordarsi: l?elemento di area in coordinate polari e il polinomio di legendre per m=0 e anche la Clm… Asterosismologia: Introduzione

Asterosismologia: Introduzione Responso Spaziale II La valutazione dell’integrale viene fatta considerando m=0 (Simmetria Sferica) Asterosismologia: Introduzione

Asterosismologia: Introduzione Responso Spaziale III Solar type stars correspond to relatively cold stars with intermediate mass (up to 1.7 MSUN) near the main sequence, in the phase of hydrogen burning and with a significant outer convective zone (F,G, and K dwarfs and sub-giants) Asterosismologia: Introduzione

Asterosismologia: Introduzione Teoria asintotica: modi p n-2,2 n-1,0 n,0 n-2,3 n-1,1 Tassoul, 1980 Grande separazione: Piccola separazione: Asterosismologia: Introduzione

Grande e piccola separazione  e  misurano rispettivamente la densità e la composizione del core della stella. In altre parole la massa e l’età della stella. Asterosismologia: Introduzione

Asterosismologia: Introduzione échelle diagram Dn l=3 l=1 l=2 l=1 l=0 Frequency mod Dn (mHz) Asterosismologia: Introduzione

Asteroseismic HR diagram Asterosismologia: Introduzione

Come misurare le pulsazioni stellari? Variazioni radiali Variazioni VR Variazioni L* Serie temporali In realtà non solo variazioni radiali, ma geometriche di tutta la struttura, queste comportano variazioni di luminosità ed eventualmente nella direzione radiale anche di velocità radiali Analisi di Fourier FREQUENZE ! Asterosismologia: Introduzione

Metodi Numerici per l’analisi delle Serie Temporali Trasformata di Fourier Analisi delle Wavelet Analisi dell’Autocorrelazione Altri Metodi Asterosismologia: Introduzione

Asterosismologia: Introduzione Analisi di Fourier L’analisi di Fourier tenta di fare il fit della serie temporale con una serie di funzioni sin(x), ciascuna con un differente periodo, ampiezza e fase. Gli algoritmi che fanno questo eseguono Una trasformazione matematica dal dominio temporale al dominio dei periodi (o delle frequenze. f (time)  F (period) Asterosismologia: Introduzione

Asterosismologia: Introduzione Algoritmi di Fourier Discrete Fourier Transform: algoritmo classico (DFT) Fast Fourier Transform: molto buono per dati non equamente spaziati (FFT) Date-Compensated DFT: dati campionati non equamente con grandi quantità di gaps (TS) Periodogram (Lomb-Scargle): simile alla DFT Asterosismologia: Introduzione

Si ricordi la formula di Eulero: La Trasformata di Fourier La trasformata di Fourier di una funzione è la determinazione delle ampiezze e delle fasi delle sinusoidi che sommate insieme riproducono la funzione Si ricordi la formula di Eulero: Asterosismologia: Introduzione

Asterosismologia: Introduzione Lo Spettro di Potenza Lo spettro di potenza di un determinato segnale, identifica quali delle componenti sinusoidali contribuisce maggiormente all’ampiezza del segnale stesso Asterosismologia: Introduzione

Asterosismologia: Introduzione Spettro di Potenza di un singolo modo Asterosismologia: Introduzione

Asterosismologia: Introduzione Accuratezza della determinazione di 0 HWHM=0.443π~π/2 Risoluzione Asterosismologia: Introduzione

Asterosismologia: Introduzione Spettro di Potenza di più componenti Lo spettro di potenza di più componenti è dato dalla somma degli spettri di potenza delle singole componenti più i termini misti risultanti dalla interferenza dei modi. interferenza Asterosismologia: Introduzione

Asterosismologia: Introduzione Risoluzione Nel caso di power spectrum di più componenti, i modi saranno ben separati se vale la condizione: Nel caso stellare si hanno molti modi e la situazione non è semplice. Una stima rozza può essere: Asterosismologia: Introduzione

Asterosismologia: Introduzione Dati con Gaps. I T +T  Osservazioni da un singolo sito. Durata della notte 8 alle 12 ore, poi giorno. Le serie temporali sono interrotte e si hanno più misure continue, ma con gaps: 0 - T, da x a x+T, poi da y a y+T e così via. Questa cosa introduce una struttura fine: Si ootiene infatti lo spettro che si otterrebbe per l’osservazione continua di un singolo giorno, modulata dal fattore cos^2. Asterosismologia: Introduzione

Asterosismologia: Introduzione Dati con Gaps. II Nel caso =24hr Asterosismologia: Introduzione

Asterosismologia: Introduzione Funzione Finestra Convoluzione Asterosismologia: Introduzione

Spettro di Potenza di oscillazioni smorzate Il power spectrum riportato è quello che si otiene considerando un tempo di integrazione infinito. Il picco ha una forma a metà tra una sinc o una lorenziana a seconda del valore di eta*T: eta*T>>1 Lorenziana, eta*T<<1 sinc NOTA: Fare l’integrazione e vedere come è il Power spectrum per un tempo finito. Asterosismologia: Introduzione

Asterosismologia: Introduzione AMPIEZZA… Dimensioni PS PDS Intensità L/L (ppm)2 (ppm)2/Hz Velocità V(t) (m/s)2 (m/s)2/Hz Ampiezza A2 A2T Il power spectrum e il Power Density spectrum differiscono l’uno dall’altro per una costante.Per quanto riguarda l’ampiezza, il valore del picco massimo è A^2 nel PS e A^2T nel caso el PDS se il power spectrum è dovutamente calibrato, ovvero si è insierita nella Serie Temporale una sinuasoide di ampiezza e frequenza nota. Allora calibrare il power spectrum ( o il PDS) significa fare normalizzzare in modo che per la frequenza introdotta il valore del massimo sia A^2, oppure A^2T. Asterosismologia: Introduzione

Asterosismologia: Introduzione …ed INCERTEZZA PS In questa figura è mostrato il power spectrum derivante dalle osservazioni di eta bootis. Nel riquadro piccolo è mostrato il power spectrum della funzione finestra. Le osservazioni sono state fatte da un singolo sito e la cosa è evidente da quest’ultimo grafico dove si vedono i sidebands a 11.57 micro Hz.Dalla successione di picchi intorno a 850 micro Hz può determinarsi l’eccesso di potenza che rivela i modi pulsazionali della stella. Il rumore del power spectrum può essere quantificato, valutando il white noise ovvero il rumore indipendente dalla frequenza. Per farlo si considerala zona ad alte frequenze dello spettro e se ne fa la media ottenendo in questo modo il signma ps. Il noise dello spettro è in relazione alla dispersion (rms) della serie temporale da cui si è ottenuto il PS. In particolare, se il power spectrum è calibrato bene (nel senso della slide precedente) valgono le relazioni scritte. Asterosismologia: Introduzione

OSSERVAZIONI ASTEROSISMOLOGICHE Consideriamo di voler osservare la pulsazione di una stella la cui ampiezza sia A. Per identificarla nel PS risultante, è necesario che il rapporto SN nel PS sia: Possiamo perciò ricavare il numero N di osservazioni che definiscono una serie temporale con rms pari a  per osservare il segnale con ampiezza A: Per esempio consideriamo un’ampiezza di 1 m/s misurato con una serie temporale di rms pari a 3 m/s, porta ad un numero di osservazioni pari a 144 Asterosismologia: Introduzione