Lezione 8 La valutazione dello scarto per “fuori tolleranza”

lo scarto

lo scarto Una nota impresa europea che costruisce cuscinetti a sfere acquista le sfere da un fornitore del “far east”. Il contratto prevede una certa percentuale di sfere fuori tolleranza che devono essere scartate dal test di accettazione condotto dall’ufficio “prove sugli acquisti”. Su di una prima fornitura parziale viene condotto un test per verificare che la percentuale prevedibile di scarto non superi il valore pattuito

lo scarto Si è definita sulla popolazione di sfere da cuscinetto una variabile casuale X avente, per ciascuna sfera prodotta, valore uguale al valore del diametro misurato in millimetri. La media della X per l’intera popolazione vale m = 80,0. Qualora la varianza s2 della X per l’intera popolazione dovesse essere maggiore di 0,01 si avrebbe uno scarto maggiore di quanto pattuito con il fornitore e sarebbe necessaria una molto costosa (avvocati, interpreti, prove sperimentali e documentali, …) ricontrattazione della fornitura ... . Quale è lo scarto pattuito?

lo scarto 1. Definita la variabile casuale X studio la sua distribuzione: è plausibile che, come avviene nel caso di molteplici fonti di disturbo al processo produttivo che agiscono in modo indipendente, la X abbia distribuzione normale, con media m = 80,0 e varianza s2 = 0,01

lo scarto 2. Da considerazioni progettuali, tecniche, ecc, si evince che le sfere da scartare sono quelle che non rientrano nell’intervallo:

lo scarto 3. Nel caso che si sta studiando si può prevedere uno scarto pari al:

la valutazione dello scarto con Z La individuazione dello scarto può essere condotta anche con l’uso delle tabelle della variabile Z : si definisce la variabile casuale X con distribuzione normale, media m e varianza s2 si stabiliscono i valori critici xci e xcs per la variabile X che individuano l’intervallo di tolleranza ammessa.

la valutazione dello scarto con Z si costruisce la variabile standardizzata Z che risulta avere distribuzione normale, media m = 0 e varianza s2 = 1 si individuano i valori critici della Z corrispondenti ai valori critici della X

la valutazione dello scarto con Z la frazione che dovrà essere scartata corrisponde alla probabilità che la variabile standardizzata Z risulti esterna all’intervallo [ zci ; zcs ] zci zcs

la valutazione dello scarto con Z - si costruisce la variabile standardizzata Z che risulta avere distribuzione normale, media m = 0 e varianza s2 = 1 - si individuano i valori critici della Z corrispondenti ai valori critici della X

la valutazione dello scarto con Z dalla tabella della Z troviamo il valore della probabilità che Z sia esterno ai valori critici così determinati: -2,50 2,50 0,0062 il valore dello scarto risulta praticamente uguale a quello individuato con il procedimento illustrato in precedenza.

la valutazione dello scarto max e min

la valutazione dello scarto max e min Un costruttore di resistori, avendo scoperto che la sua linea produce resistori da 100 W con una dispersione superiore a quanto preventivato, vuole determinare a quanto ammonta lo scarto dovuto ai resistori fuori tolleranza ( è ammessa una tolleranza di ± 5% ) premesse: costruiamo una variabile casuale X che assume, per ciascun resistore, valore uguale al valore della resistenza misurata a 70 °C ipotizziamo, come è plausibile, che la X per la intera popolazione dei resistori sia distribuita in maniera normale; ipotizziamo, e potremmo verificare tale ipotesi con un test sulla media, che la X per la intera popolazione abbia media m = 100.

la valutazione dello scarto max e min stabiliamo di usare un campione di 31 resistori; stabiliamo di voler operare con una confidenza del 95%; come variabile campionaria viene scelta la variabile che presenta distribuzione di tipo C2 modificata di chi-quadro con ( n -1 ) gradi di libertà; 4. individuiamo l’intervallo di confidenza al 95% per la varianza tramite la distribuzione della variabile C2 modificata di chi-quadro:

la valutazione dello scarto max e min 5. la campagna sperimentale sul campione porta alla determinazione del valore della varianza campionaria : e da questo valore calcoliamo: 6. la variabile X è pertanto una variabile casuale con distribuzione normale, media m = 100, varianza s2 compresa fra 2,27 e 6,38

la valutazione dello scarto massimo 7. Studiamo la distribuzione normale con media m = 100 e varianza s2 = 6,38

la valutazione dello scarto massimo 7. Studiamo la distribuzione normale con media m = 100 e varianza s2 = 6,38 e cerchiamo la frazione della popolazione esterna all’intervallo 100 ± 5% : questa rappresenta lo scarto!

la valutazione dello scarto massimo Con un livello di fiducia del 95% possiamo quindi stimare lo scarto massimo nel 0,024 + 0,024 = 0,048, cioè nel 4,8%, della intera produzione. 0,024

la valutazione dello scarto massimo Nei piani del costruttore si sarebbe dovuto verificare s2 < 2 , con cui lo scarto massimo si sarebbe assestato allo 0,00082 (circa lo 0,08%) cioè a 820 pezzi per milione.

la valutazione dello scarto minimo 8. Studiamo la distribuzione normale con media m = 100 e varianza s2 = 2,27 e cerchiamo la frazione della popolazione esterna all’intervallo 100 ± 5% : questa rappresenta lo scarto minimo!

la valutazione dello scarto minimo Con un livello di fiducia del 95% possiamo quindi stimare lo scarto minimo nel 0,00045 + 0,00045 = 0,0009, cioè nel 0,09%, della intera produzione corrispondenti a 900 ppm.

la valutazione dello scarto tramite Z

la valutazione dello scarto tramite Z Un costruttore di resistori, avendo scoperto che la sua linea produce resistori da 100 W con una dispersione superiore a quanto preventivato, vuole determinare a quanto ammonta lo scarto dovuto ai resistori fuori tolleranza ( è ammessa una tolleranza di ± 5% ) premesse: costruiamo una variabile casuale X che assume, per ciascun resistore, valore uguale al valore della resistenza misurata a 70 °C ipotizziamo, come è plausibile, che la X per la intera popolazione dei resistori sia distribuita in maniera normale; ipotizziamo, e potremmo verificare tale ipotesi con un test sulla media, che la X per la intera popolazione abbia media m = 100.

la valutazione dello scarto tramite Z 1. stabiliamo di usare un campione di 31 resistori; 2. stabiliamo di voler operare con una confidenza del 95%; 3. come variabile campionaria viene scelta la variabile che presenta distribuzione di tipo C2 modificata di chi-quadro con ( n -1 ) gradi di libertà; 4. individuiamo l’intervallo di confidenza al 95% per la varianza tramite la distribuzione della variabile C2 modificata di chi-quadro:

la valutazione dello scarto tramite Z 5. la campagna sperimentale sul campione porta alla determinazione del valore della varianza campionaria : e da questo valore calcoliamo: 6. la variabile X è pertanto una variabile casuale con distribuzione normale, media m = 100, varianza s2 = 6,38

la valutazione dello scarto tramite Z 7. si costruisce la variabile standardizzata Z che risulta avere distribuzione normale, media m = 0 e varianza s2 = 1 si individuano i valori critici della Z corrispondenti ai valori critici della X

la valutazione dello scarto tramite Z dalla tabella della Z troviamo il valore della probabilità che Z sia esterno ai valori critici così determinati: -1,98 1,98 0,0239 il valore dello scarto risulta praticamente uguale a quello individuato con il procedimento illustrato in precedenza.