Cosa si nasconde dietro ad un semplice fiocco di neve ?...

… per esempio il fiocco di Koch ! Ma che cos’ è ? Il fiocco di neve di Koch è una figura frattale, basata sul concetto di autosomiglianza; La sua costruzione è un processo iterativo applicato a parti sempre più piccole. Inoltre, questa costruzione genera una progressione geometrica.

Com’ è costruito ?... Si tratta di una curva costruita sui lati di un triangolo equilatero. Su ciascuno dei lati del triangolo viene costruito il merletto di Koch. Nella tabella successiva i primi passi della costruzione della curva. Per ottenere il frattale basta incollare tre copie della curva lungo i lati del triangolo. Si osservi che la seconda figura è una stella di David (stella a sei punte).

La curva ha la stessa dimensione frattale del Merletto di Koch ovvero è pari a: D = log 4 / log 3 = 1,262 .

Che cos’ è un frattale ? Un frattale è un oggetto geometrico che si ripete nella sua struttura allo stesso modo su scale diverse, ovvero che non cambia aspetto anche se visto con una lente d'ingrandimento. Questa caratteristica è spesso chiamata auto-similarità (self-similarity). Il termine frattale venne coniato nel 1975 da Benoît Mandelbrot, e deriva dal latino fractus (rotto, spezzato), così come il termine frazione; infatti le immagini frattali sono considerate dalla matematica oggetti di dimensione frazionaria.

La natura produce molti esempi di forme molto simili ai frattali La natura produce molti esempi di forme molto simili ai frattali. Ad esempio in un albero (soprattutto nell'abete) ogni ramo è approssimativamente simile all'intero albero e ogni rametto è a sua volta simile al proprio ramo, e così via; è anche possibile notare fenomeni di auto-similarità nella forma di una costa: con immagini riprese da satellite man mano sempre più grandi si può notare che la struttura generale di golfi più o meno dentellati mostra molte componenti che, se non identiche all'originale, gli assomigliano comunque molto .

Helge von Koch Figlio di Richert Vogt von Koch, militare di carriera, e di Agathe Henriette Wrede, Helge Von Koch frequentò una buona scuola superiore di Stoccolma, completando i suoi studi nel 1887, quindi si inscrisse all'Università di Stoccolma. Pubblicò numerosi lavori di matematica, riguardanti i sistemi lineari e le equazioni differenziali, per i quali fu molto apprezzato, e, infine, nel 1911, divenne professore di matematica all'Università di Stoccolma. Von Koch è famoso per la curva che porta il suo nome e che apparve nel suo lavoro Une méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie des courbes planes, pubblicato nel 1906.

L’ anti-fiocco di neve di koch … Entrambe le curve a fiocco di neve e ad anti- fiocco di neve di Koch iniziano come perimetro di un triangolo equilatero. Stadio 0 della costruzione dell’”anti-fiocco di neve” di Koch Stadio 0 della costruzione del “fiocco di neve” di Koch

Stadio 1 della costruzione del “fiocco di neve” di Koch Si divide ogni lato in tre parti uguali, eliminando il segmento centrale e si inseriscono, al centro di ciascun lato, due lati di un triangolo equilatero, ognuno misurante 1/3 rispetto al lato del triangolo iniziale. ANTI-FIOCCO DI NEVE DI KOCH I due lati del triangolo equilatero, misuranti ciascuno 1/3 rispetto al lato del triangolo iniziale, puntano all’interno, invece che all’esterno e vengono sottratti, anziché aggiunti. Stadio 1 della costruzione del “fiocco di neve” di Koch Stadio 1 della costruzione dell’”anti-fiocco di neve” di Koch

La stessa procedura continua a essere ripetuta, all’esterno per il fiocco di neve e all’interno per l’anti-fiocco di neve… Stadio 2 della costruzione del “fiocco di neve” di Koch Stadio 2 della costruzione dell’”anti-fiocco di neve” di Koch

La procedura continua a essere reiterata… Stadio 3 della costruzione del “fiocco di neve” di Koch Stadio 3 della costruzione dell’”anti-fiocco di neve” di Koch

Si arriva al quarto stadio della costruzione… Stadio 4 della costruzione del “fiocco di neve” di Koch Stadio 4 della costruzione dell’”anti-fiocco di neve” di Koch

Ecco il quinto stadio della costruzione… Nella mente dei matematici la procedura si ripete all’infinito… Stadio 5 della costruzione del “fiocco di neve” di Koch Stadio 5 della costruzione dell’”anti-fiocco di neve” di Koch

Anti fiocco di neve Riassunto !

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