Struttura a grande scala e struttura delle galassie Giuseppe Murante

Gli elementi del problema Teoria Un po’ di Cosmologia Modello gerarchico: cenni Tecniche N-Body: perche’, come, quando Applicazioni: esperimenti N-Body Conseguenze del modello gerarchico sulla struttura dei dischi galattici Risultati preliminari dello studio dell’evoluzione di dischi galattici esponenziali in ambiente cosmologico

Struttura a grande scala e struttura delle galassie: teoria Giuseppe Murante 23 aprile 2002

Cenni di Cosmologia La dinamica e' nell'evoluzione del fattore di scala a(t) Descrizione generale dell'Universo: eq. di Friedmann- Lemaitre-Robertson-Walker, soluzioni non stazionarie dell'eq. di campo di Einstein Parametri: densita' critica Cost. di Hubble Parametro di densita' Densita‘ totale >0: espansione accelerata k0: geometria non piatta  L'evoluzione del modello (e delle strutture) dipende anche dal tipo di materia oscura.

La materia oscura Se si misura la massa luminosa, si arriva ad un centesimo della densità critica. …ma misure della massa necessaria per tenere legate gravitazionalmente le strutture più grandi che vediamo forniscono valori più alti… Anche la stabilità del disco delle galassie, e la forma delle curve di rotazione, richiedono più massa... Inoltre: misure di lensing gravitazionale, luminosita` X degli ammassi di galassie..

Materia non barionica Questa massa mancante, la materia oscura, è difficile che sia “materia normale” (barionica) sia per motivi astrofisici (si dovrebbe poterne dedurre l’esistenza da osservazioni) che cosmologici (limiti dalla teoria della nuclesintesi) Molte ipotesi su cosa sia e quanta ne esista; nessuna osservazione sin’ora. Materia oscura fredda: priva di dispersione termica di velocita’ (se fosse calda –neutrini massivi- problemi a formare le stutture ad alto redshift).

La formazione delle strutture I cataloghi di galassie e di clusters di galassie mostrano strutture: vuoti, filamenti e muri di galassie… Come si originano queste strutture? E le galassie? Esempio: LCRS:

Modello di formazione Teoria dominante (non unica): le piccole disomogeneità iniziali, viste da COBE, collassano gravitazionalmente generando le strutture osservate. Le fluttuazioni (gaussiane) di densita’ sono descritte dal loro spettro di potenza P(k). Il tipo preciso di strutture (numero, posizione, dimensioni…) dipende dal tipo di materia oscura, dalla quantità di materia totale, ed altri parametri cosmologici, oltre a quelli globali. I piu’ importanti parametri sono la funzione di trasferimento T(k) e l’indice primordiale n, ma i dettagli del collasso sono dati anche dal tipo di materia oscura.

Evoluzione delle fluttuazioni L’evoluzione gravitazionale della materia non collisionale fredda e’ descritta dalle equazioni di Vlasov-Poisson: Funzione di distribuzione: f(x,p,t) descrive la dinamica degli elementi di massa nello spazio delle fasi. Inizialmente determinata da P(k).

Equazioni di Eulero-Poisson : densita' media dell'Universo al tempo t : contrasto di densita' : potenziale gravitazionale (peculiare) f(x,p,t) : funzione di distribuzione degli elementi di massa Se si richiede che f(x,p,t) sia funzione a singolo valore della posizione (no multistream) si ottengono le eq. di Eulero-Poisson: Continuita' Eulero Poisson Nota: entra il contrasto di densita' non la densita' globale: le equazioni descrivono l'evoluzione delle strutture non quella dell'Universo

Studio della formazione Osservativo: nuovi cataloghi, nuove misure CMBR, osservazioni in cielo profondo nell’infrarosso e nei raggi X, lensing gravitazionale, effetto SZ… Teorico: calcolo analitico delle caratteristiche dei “modelli cosmologici” in regime lineare e semilineare; loro studio con simulazioni numeriche al calcolatore.

Struttura degli aloni di materia oscura Collasso sferico di una perturbazione omogenea: possibili calcoli analitici a partire dalle equazioni di Eulero-Poisson. Leggi di scala, raggio e densita’ viriali. Struttura degli aloni Richiesto calcolo numerico Profili universali di densita’ Momento angolare, triassialita’, velocita’

Numero di aloni: funzione di massa Press&Schecter 1974: a partire dal collasso sferico uniforme, calcolano il numero di aloni di massa M dato uno spettro di fluttuazioni di densita’ P(k) (distribuite in modo Gaussiano): Dove le fluttuazioni di densita’ sono date da: Formula ri-ricavata con approcci statistici tipo random-walk (excursion sets: top-hat nello spazio di Fourier invece che collasso sferico). Fornisce anche la distribuzione dei progenitori degli oggetti appartenenti ad una data classe di massa. Buon accordo con N-Body; accordo ancora migliore con formule modificate (es.: Sheth-Tormen 2000). Ma: l’identificazione oggetti nelle simulazioni e’ un problema!

Numero di aloni: funzione di massa W e’ un filtro nello spazio di Fourier che seleziona la scala R, in questo caso un top-hat sferico: c e’ il contrasto di densita’ lineare di una fluttuazione di densita’ sferica collassata, c = 1.686(z)c, c=0.055(0.018) per cosmologie critiche (senza costante cosmologica) Nel caso di spettro di potenza a legge di potenza del tipo: Si ricava per la funzione di massa l’espressione:

Modello gerarchico Si dice “modello gerarchico” il modello in cui gli aloni si formano prima a scale piccole e poi, per aggregazione gravitazionale, a scale via via crescenti. In contesto cosmologico, sotto l’ipotesi che la materia oscura sia fredda, la formazione di strutture e’ gerarchica a qualunque scala alla quale lo spettro di potenza abbia indice spettrale locale n-3 (es.: Peebles 1980, “Large scale structure of the Universe) Non e’ possibile confutare il modello gerarchico senza confutare anche il modello di formazione della struttura a grande scala dell’Universo, e di conseguenza l’intero modello standard della cosmologia!

Tecniche N-Body Codici diretti Codici PM Codici misti Tree-codes Calcolo parallelo A causa dell’alta risoluzione richiesta, e’ necessario fare uso di supercalcolo (grandi computers di solito paralleli)

Simulazione dell'interazione gravitazionale Metodo piu' semplice: un insieme di punti massivi interagisce gravitazionalmente: forza di Newton: Tutte le particelle interagiscono con tutte le altre (codice diretto) Discretizzazione del tempo: prima si calcolano tutte le forze, poi si spostano tutte le particelle di un time-step. Condizioni al contorno naturalmente vuote.

Codice diretto: problemi Occorre un controllo accurato del time-step per evitare errori di integrazione. Occorre un algoritmo di integrazione raffinato per ottenere accuratezza e controllo dell'errore numerico. Tanto piu' le particelle sono vicine, tanto piu' piccolo deve essere il time-step; se e' troppo grande le particelle possono schizzare via su traiettorie iperboliche: collisionalita'. Il tempo di calcolo necessario e' proporzionale al quadrato del numero di particelle:

Softening Vari tipi di softening (K varia!) Per aggirare il problema della collisionalita' viene introdotto un parametro di softening che modifica la forma della forza, ad esempio: A scale dell'ordine del softening, la forza non e' piu' newtoniana, e neanche conservativa (!) Tests: i risultati della simulazione sono uguali a quelli di un calcolo senza softening su scale Vari tipi di softening (K varia!)

Regolarizzazione; time-step variabile Non sempre si puo' trascurare quello che avviene a piccola scala: es.: globular clusters. Introdotta la regolarizzazione: trattazione semianalitica degli incontri a 2 o 3 corpi. Introdotte tecniche di integrazione alle differenze finite (Ahmad-Cohen 1973), time-step variabili per ciascuna particella e metodi predictor-corrector per poterli utilizzare. Schema "standard" per un codice diretto o PP (Particle-Particle)

Schema codice PP Calcolo nuove posizioni valutazione nuovo No Forza estrapolata(predictor) o calcolata (corrector) No piccolo? Si Aggiorno posizione e tempo particella i Calcolo coordinate (tutte le particelle o solo i vicini) Ricalcolo vicini ed intervallo temporale Calcolo forza (predictor) sulla particella i Ricalcolo forza (corrector)

N-Body in Cosmologia Dark matter --> fluido non collisionale freddo. Le "particelle" N-Body rappresentano un elemento di fluido : ne serve il maggior numero possibile Le particelle devono campionare il fluido: assegnazione della massa Necessario il softening (il fluido non ha incontri a due corpi) o una tecnica equivalente Coordinate comoventi: si segue l'evoluzione delle perturbazioni di densita' (Vlasov-Poisson). I coefficienti delle equazioni di evoluzione gravitazionale dipendono ora dal tempo attraverso il fattore di scala a(t) a(t) contiene il modello (e tutta la Relativita' Generale). Integrazione diretta del campo, nello spazio delle fasi, numericamente troppo pesante!

Codici Particle-Mesh Utilizzo di tecniche su griglia ed FFT (eq. di Poisson risolta nello spazio di Fourier, integrazione nello spazio fisico). NO collisionalita' "diretta". Condizioni al contorno naturalmente periodiche. Il potenziale e le forze vengono calcolate su griglia ed interpolate alle particelle; il campo di densita' viene ricalcolato a partire dalle particelle. Integratore: leap-frog secondo ordine con opportuni coefficienti che dipendono dal tempo. I coefficienti dipendenti dal tempo contengono tutta la cosmologia (modello e dinamica). Il tempo di calcolo e' dominato dal tempo impiegato per le FFT:

Assegnazione massa ed interpolazione Schemi di assegnazione della massa: NGP (Nearest Grid Point): la massa assegnata alla cella in cui si trova la particella. Campo discontinuo. CIC (Cloud In Cell): massa assegnata alle celle entro cui una "nuvola" centrata sulla particella, di dimensione R, si trova, in modo proporzionale alla distanza del centro della cella (di lato L) dal centro della nuvola (la particella). Campo continuo, derivata prima discontinua. Normalmente R=L, 8 celle. TCS (Triangular Shaped Cloud): l'assegnazione non e' lineare ma pesata in modo che sia continuo il campo e la sua derivata prima. R=1.5L (27 celle). Forza interpolata con schema inverso rispetto all'assegnazione, per evitare self-forces.

Funzioni di Green Per risolvere l'eq. di Poisson nello spazio di Fourier occorre calcolare la funzione di Green dell'operatore Laplaciano in tale spazio "Simple-man green function": Questa e' riferita all'operatore su R3; bisogna considerare che la derivazione avviene in maniera discreta e tener conto dell'assegnazione delle quantita': la piu' semplice funzione di Green risulta: (Hockney&Eastwood 1980, Efsthatiou, Davis, Frenk, White 1985)

Schema codice Particle-Mesh Campionamento a particelle del campo Calcolo del potenziale gravitazionale (FFT) Calcolo delle forze su griglia Interpolazione forze alle particelle Spostamento delle particelle Il campo viene ricalcolato su griglia

Problemi codici PM La risoluzione L della simulazione e' quella della griglia; i risultati sono affidabili a scale ~3L "Collisionalita' di second'ordine": dalla discretezza della griglia (dipende dallo schema di assegnazione della massa) Errori di integrazione di ordine O(L^2) Non c'e' perfetta conservazione dell'energia (eq. di Layzier-Irvine) Codici di questo tipo NON SONO ADATTI, senza notevoli modifiche, a problemi che non abbiano condizioni al contorno periodiche (es.: studio sistema solare; simulazione di UN cluster di galassie) Problema delle repliche: no oggetti non-lineari su scale maggiori di 1/10 del box-size

Codici derivati P3M: PM a grande scala, PP a piccola scala. VANTAGGI: risoluzione dell'ordine di un PP, ma molto piu' veloce. SVANTAGGI: softening  collisionalita'; difficolta' di implementazione; interfaccia PM/PP; risoluzione in massa << risoluzione in forza APM: PM adattativo, itera la procedura di costruzione della griglia nelle sone sovradense VANTAGGI: risoluzione in forza dell'ordine di un PP con la velocita' di un PM SVANTAGGI: difficolta' di implementazione; tipicamente, ancora, risoluzione in massa << risoluzione in forza AP3M: misto delle tecniche di cui sopra

Codici piu' moderni Treecode: ~ sviluppo in multipoli, dati ordinati ad albero. Consente tecniche multimassa. VANTAGGI: risoluzione dell'ordine di un PP, ma molto piu' veloce; simulazione oggetti isolati. SVANTAGGI: softening  collisionalita'; difficolta' di implementazione; no periodicita‘ (ma: Ewald summation) ; minore controllo degli errori di integrazione "ART": PM adattativo con tecniche ad albero, senza ripetizione griglia, multimassa VANTAGGI: risoluzione dell'ordine di un PP; puo' simulare un oggetto ad alta risoluzione in ambiente periodico a bassa risoluzione SVANTAGGI: difficolta' di implementazione; meno veloce di un [A]P3M; no SPH (ma: ora, tentativi di implementazione, Kratsov 2002)

Treecode Lo spazio viene suddiviso in celle, a loro volta suddivise ancora, sinche' ogni cella finale contiene una sola particella Ogni particella interagisce con il baricentro delle celle di primo livello, a meno che la loro dimensione sia vista sotto un angolo maggiore del "parametro di tolleranza". In questo caso interagisce coi baricentri delle celle di secondo livello, e cosi' via. Colle particelle vicine c'e' iterazione diretta (si risolvono le celle sino al livello delle particelle). Implementazione parallela pubblica: GADGET (Springel et al. 2001)

Adaptive Refinement Tree Codice PM al livello "zero" Se in una cella si supera una soglia di densita', questa viene divisa in 8, indi: l'eq. di Poisson viene trasformata in eq. di diffusione: una soluzione iniziale "rilassa" alla soluzione di equilibrio - soluzione dell'eq. di Poisson - per La soluzione iniziale proviene dal livello di refinement precedente - al primo livello, proviene dalla soluzione su griglia.

Struttura a grande scala e struttura delle galassie: esperimenti N-Body Giuseppe Murante

Struttura degli aloni: profili di densita’ Navarro, Frenk, White 1996,1997: simulazioni numeriche: gli aloni di materia oscura mostrano, in regime fortemente non-lineare, profili radiali di densita’ indipendenti dal modello cosmologico e dalla massa. Tali profili hanno forma: Quello che varia con la massa e’ la concentrazione c: R200: raggio viriale dell’alone

Struttura degli aloni: profili di densita’ Gli aloni di DM mostrano quindi cuspidi in densita’ a tutte le scale di massa. Discussione in corso sulla forma esatta della cuspide: Moore et al 1999, Ghigna et al 2000:

Struttura degli aloni: altre caratteristiche Momento angolare, caratterizzato da:  distribuito in modo lognormale, e < >  0.05 Triassialita’: gli aloni sono prolati Profili (…universali?) di velocita’

Galassie in ambiente cosmologico Trattazione N-Body “classica” per esperimenti di stabilita’ dei dischi: si usano aloni “artificiali” (profili isotermi, King modificati…) in cui immergere il disco per studiare stabilita’, barre.. Trattazione “cosmologica”: si usano profili NFW. Effetti gravitazionali importanti: Frizione dinamica Risonanze Violent relaxation Studi su: effetti di incontri con “satelliti” di DM e/o stellari streams di DM e loro eventuale individuazione trasferimento di momento angolare dai barioni alla DM Tutto questo non concerne il problema della formazione delle galassie ma la loro evoluzione.

Fragilita’ dei dischi galattici Velasquez, White 1999: satellite stellare accresce sul disco. Orbite prograde: riscaldamento del disco; retrograde: tilt coerente Navarro 2001: disk/bulge/halo + diverse centinaia di satelliti DM con masse, densita’ ed orbite derivate da simulazioni cosmologiche; nessuna evidenza di riscaldamento in eccesso rispetto a quello numerico del caso isolato Mayer, Governato, Colpi, Quinn, Moore… 1998-2001: evoluzione di galassie nane satelliti nel gruppo locale

Streams di materia oscura Helmi, White, Springel 2002: studio dello spazio delle fasi di un alone DM di massa ~ quello della via lattea. Altissima risoluzione numerica (67 milioni di particelle), ma: no stelle-gas; a queste scale dovrebbero influire sulla dinamica. La simulazione era originariamente quella di un ammasso di galassie, riscalato grazie all’autosimilarita’ dello spettro di potenza. Risultato: non si dovrebbero vedere gli streams, la distribuzione nello spazio delle fasi e’ uniforme, tranne che per le particelle piu’ energetiche che hanno “memoria” della storia di merging dell’alone Questa e’ la maggior risoluzione oggi ottenibile; non e’ ancora tecnicamente possibile una simulazione del genere con stelle e gas.

Trasferimento di momento angolare Il problema: teoria e simulazioni numeriche prevedono distribuzioni con forti cuspidi nei centri dei dischi galattici; le osservazioni trovano cores (“cusps-cores problem”). Proposto meccanismo di trasferimento di momento angolare dal disco all’alone tramite risonanza della DM con la barra (Weiberg, Katz 2001) ..ma: altri autori affermano che l’efficienza e’ bassa (Valenzuela, Klypin 2002; Athanassoula 2002; CMM) Pattern speed: Valenzuela, Klypin: quasi nessun rallentamento; CMM: piccolo rallentamento, Athanassolua: sensibile rallentamento. ..durata barra in ambiente cosmologico? (El-Zant, Shloshman 2002; CMM)

Un esempio: disco stellare immerso in alone cosmologico Novita’ rispetto ai casi precedenti: l’alone evolve autoconsistentemente nella simulazione cosmologica Tecnica di immersione: Simulazione cosmologica, 25 Mpc di lato, in cui si identifica un alone di DM di dimensioni galattiche Disco esponenziale, generato in equilibrio col potenziale gravitazionale dell’alone prescelto ed immerso nella simulazione Il momento angolare del disco e dell’alone viene allineato. Parametri da studiare: MDM vs Mstars, redshift di immersione e conseguente diverso stadio evolutivo dell’alone. Attualmente: redshift immersione z=2 Problema della risposta dell’alone (non-fisica) all’immersione Studio casi “isolati” per determinarne l’impatto Simulazioni multimassa ad alta risoluzione: solo la zona di interesse e’ campionata finemente. Codice: GADGET; calcolatori utilizzati: Beowulf(OATo), t3e(cineca), sp3(cineca) Curir, Mazzei,Murante 2002

Il disco galattico nell’alone cosmologico MDM: Mstars= 1:1 MDM: Mstars= 3:1 Disco galattico a z=1.75. Si nota la maggiore stabilita’ quando la DM abbia massa percentualmente maggiore rispetto al disco.

Contorni di isodensita’ nel disco (Caso 1:1) Si nota la presenza di una barra stellare; la sua pattern speed puo’ essere stimata.

Momento angolare e profilo di densita’ dell’alone Trasferimento di momento angolare dal disco all’alone ed irripidimento del profilo di densita’ dell’alone. Il primo e’ evidente negli andamenti opposti con il redshift mostrati in figura; il secondo e’ appena apprezzabile. (Caso 1:1)

Conclusioni Modello di formazione delle strutture su grande scala “robusto”, inserito in ambito cosmologico, successi osservativi. Questo modello inizia ad essere applicato anche allo studio della struttura delle galassie. Ancora problemi di potenza di calcolo… Diversa questione: galaxy formation, autoconsistente, a partire dalla cosmologia Tecniche semianalitiche Tecniche numeriche con gas, SF, feedback …questo problema sara’ trattato nella presentazione di A. Diaferio.

Profilo di densita’ di Navarro-Frenk-White

Profilo di Moore et al

Orbita prograda: si nota l’ispessimento del disco

Orbita retrograda: il disco mostra un tilt (l’ispessimento apparente qui e’ dovuto proprio al tilt)

Riscaldamento del disco, misurato con le dispersioni di velocita’ in R,z. Non si apprezza differenza tra modelli con e senza sottostruttura.

Svuotamento alone Risonanza orbitale Weinberg, Katz 2001: forte trasferimento di momento angolare dalla barra all’alone tramite risonanza. E’ stato usato un codice simplettico ad alta precisione.

Funzione di massa integrale, CDM (Brian, Norman 1998)

Valenzuela, Klypin 2002: formazione di barra in un disco esponenziale immerso in un alone NFW. Poco trasferimento di momento angolare dal disco all’alone.

El-Zant, Shloshman 2002: traiettorie particelle nella barra sono caotiche Il volume nello spazio delle fasi di queste traiettorie non coincide con quello della barra: la barra si dissolve in un tempo t<1/H In figura gli esponenti di Liapunov per traiettorie inizialmente situate nella barra. Utilizzato un potenziale analitico costante, tranne che per la barra che, ruotando, ne genera uno dipendente dal tempo Traiettorie integrate direttamente: NON e’ un N-body.

Helmi, White, Springel 2002. In basso, la distribuzione in slices dello spazio delle fasi delle particelle di DM in un cubo di 2 kpc centrato a 8.5 kpc dal centro dell’alone. Le particelle evidenziate sono quelle ad alta velocita’, provenienti da satelliti di DM che hanno originato mergers relativamente recenti con l’alone principale

Condizioni iniziali per l’immersione del disco Condizioni iniziali per l’immersione del disco. I diversi colori mostrano le differenti shell contenenti particelle via via piu’ massive. La zona blu e’ ad alta risoluzione; quelle circostanti verdi e rosse contengono due shells ciascuna.