Esercizi 5 Grafi
Grafi Esercizio 1 Le seguenti città sono collegate da una linea aerea, che fornisce un servizio di A/R. Parigi-New York, New York-Rio de J.,Beirut-Londra Parigi-Londra, Rio-Caracas, Caracas-Parigi, Caracas-Londra. Qual è la strada più breve da NY a Beirut? Quella più lunga ( senza città ripetute)? Trovare (se esiste) un cammino che tocchi tutte le città. Trovare (se esiste) un ciclo che tocchi tutte le città. Rappresentare il problema graficamente e scrivere la matrice nodo-arco del grafo. Il grafo è k-connesso? Se si, qual è il valore massimo di k?
Esercizio 1 Strada più breve: NY- Parigi-Londra-Beirut Strada più lunga: NY-RJ-Caracas-Parigi-Londra e Beirut. Cammino che tocca tutte le città: Beirut-Londra- caracas- RJ-NY-Parigi Ciclo che tocca tutte le città: non esiste Il grafo è 1-connesso (dove 1 è il valore massimo di k) o semplicemente connesso
Grafi Esercizio 2 Data la matrice: si perché è binaria, con diagonale nulla e simmetrica. Prova anche graficamente può rappresentare un grafo? E la matrice B? No perché non è simmetrica 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Grafi Dire se i seguenti grafi sono isomorfi. Spiegare perché si o perché no. Rosso-Verde No perché rosso è regolare di grado 2 mentre verde non lo è. Rosso viola si. E’ facile costruire l’isomorfismo. a 2 1 4 b c d 3 c3 d4 a1 b2
Grafi Esercizio 4 Dimostrare che in un grafo connesso, pesato, esiste sempre il cammino minimo ed il cammino massimo. Perché tra ogni coppia di nodi esiste almeno un cammino, esiste il cammino minimo, e poiché il numero dei cammini è finito esiste anche il massimo
Grafi Esercizio 5 Dalle ipotesi segue che possiamo rappresentare il problema tramite un grafo bipartito regolare di grado k (cioè ciascun nodo è incidente esattamente a k nodi). Da un noto Teorema sui grafi bipartiti cioè segue che | V1|k= | V2|k=E e dividendo per k si ha la tesi