ONDE 1.Onde e loro proprietà 1.1 Definizione di onda 1.2 Classificazione delle onde 1.3 Onde armonicheDefinizione di ondaClassificazione delle ondeOnde armoniche 2.Principio di HuygensPrincipio di Huygens 3.RiflessioneRiflessione 4.RifrazioneRifrazione 5.DiffrazioneDiffrazione 6.Principio di sovrapposizionePrincipio di sovrapposizione 7.InterferenzaInterferenza 8.Effetto Doppler 8.1 per il suono 8.2 per la luceEffetto Doppler

ONDE E LORO PROPRIETA 1.1 Definizione di onda Un'onda è una perturbazione prodotta da una sorgente che si propaga attraverso lo spazio. Ad eccezione della radiazione elettromagnetica, ed a livello teorico della radiazione gravitazionale, che possono propagarsi nel vuoto, le onde esistono in un mezzo materiale, che, per deformazione, è in grado di produrre forze elastiche di richiamo. Attraverso la materia le onde possono viaggiare e trasferire energia da un punto all'altro, senza che alcuna particella del mezzo venga dislocata permanentemente: non esiste, quindi, un trasporto di massa associato, ogni punto materiale oscilla attorno a una posizione fissa. Qualunque sia la natura dellonda, essa comporta unicamente trasporto di energia e non trasporto di materia: energia meccanica (cinetica e potenziale) se londa è meccanica, energia elettromagnetica, se londa è elettromagnetica. Onda meccanica impulsiva, originata dal movimento di un punto materiale.

1.2 Classificazione delle onde a) Meccaniche – Elettromagnetiche – Gravitazionali meccaniche (corda vibrante, onde acustiche, onde sismiche, onde sulla superficie dell'acqua, ecc.): la perturbazione per propagarsi richiede un mezzo materiale solido, liquido o aeriforme; elettromagnetiche (onde radio, microonde, infrarosso, luce, raggi ultavioletti, x e ) e, solamente a livello teorico, gravitazionali: la perturbazione per propagarsi non richiede necessariamente un mezzo materiale, ma si propaga anche nel vuoto. b) Trasversali – Longitudinali – secondo la direzione della vibrazione Un'onda è detta trasversale se ogni punto del mezzo nel quale si propaga compie vibrazioni in direzione perpendicolare alla direzione di propagazione. Un'onda è detta longitudinale se ogni punto del mezzo nel quale si propaga compie vibrazioni nella stessa direzione di propagazione dell'onda.

Nei solidi si possono avere sia onde trasversali che onde longitudinali. Nei fluidi si hanno solo onde longitudinali. In alcune situazioni un mezzo può propagare onde sia longitudinali che trasversali: il moto di ogni particella è una composizione di moto longitudinale e trasversale; questo avviene nei solidi (es. onde acustiche e sismiche) e alla superficie dei liquidi (es. onde sull'acqua). Le onde acustiche nell'aria e nell'acqua sono solo longitudinali. Le onde elettromagnetiche sono solo trasversali. Direzione di propagazione perturbazione Onda trasversale Onda longitudinale

c) Mono-bi-tri-dimensionali – secondo il numero di dimensioni del mezzo di propagazione Mezzo di propagazione monodimensionale: corda tesa, molla. Per i mezzi di propagazione bi-tri-dimensionali, definiamo il Fronte donda e il Raggio: Fronte donda: è il luogo dei punti che vibrano concordemente (in fase), in modo tale che per ciascuno di essi lo spostamento dalla posizione dequilibrio assuma lo stesso valore in ogni istante. Raggio: è una retta normale al fronte donda e identifica la direzione di propagazione. Mezzo di propagazione tridimensionale (aria per il suono): Onde sferiche: i fronti donda sono superfici sferiche (laria per il suono) Onde piane: i fronti donda sono superfici piane Mezzo di propagazione bidimensionale (superficie dellacqua): Onde circolari (corrispndenti alle sferiche): i fronti donda sono circonferenze Onde rettilinee (corrispndenti alle piane): i fronti donda sono rette

Immagini di onde e di fronti donda s aa Onde circolari Onde sferiche

Onda impulsiva: la sorgente è, per esempio, un punto materiale soggetto ad un singolo impulso, che crea una singola onda. Onda periodica: la sorgente è, per esempio, un punto materiale soggetto ad un moto periodico, che crea un treno donde periodico. In particolare, se il moto periodico della sorgente è armonico, si forma un onda armonica. Onda periodica armonica Onda meccanica impulsiva. d) Impulsive - Periodiche – secondo il comportamento nel tempo della sorgente Onda periodica

1.3 Onde armoniche Si origina unonda armonica quando la sorgente della perturbazione è costituita da un movimento locale di materia di tipo armonico, con la condizione, per le onde meccaniche, che il mezzo di propagazione sia perfettamente elastico. Lo studio delle onde armoniche è molto importante non solo dal punto di vista concettuale, ma anche dal punto di vista pratico, perché molte sorgenti di onde vibrano in modo armonico o genericamente periodico, dando origine a onde armoniche o genericamente periodiche che, a loro volta, possono essere rappresentate da una somma di onde armoniche (teorema di Fourier).

Moto armonico: un punto materiale P si muove lungo lasse x con moto armonico se la sua ascissa x varia nel tempo secondo la legge x(t) = Asen( t + ) e tale moto è causato da una forza di intensità proporzionale alla distanza x di P dallorigine O e costantemente diretta verso O (forza elastica di richiamo F = - kx).

Ecomodo analizzare il moto armonico di un punto P, considerandolo come la proiezione del moto circolare uniforme di un altro punto Q su un diametro della sua traiettoria. Definizioni: centro di oscillazione: il punto O; estremi di oscillazione: i punti A e B; oscillazione completa: percorso di P, ABA; elongazione: la distanza istantanea di P da O; ampiezza: la massima distanza di P da O (r in figura); periodo: durata di unoscillazione completa; frequenza: numero di oscillazioni complete nellunità di tempo; pulsazione: la velocità angolare di Q. N.B. Caratteristica peculiare del moto armonico: laccelerazione è direttamente proporzionale allo spostamento.

Grandezze caratteristiche delle onde periodiche – armoniche 1.Periodo T: è l intervallo di tempo in cui avviene unoscillazione completa di un punto interessato dallonda; u.di m. nel S.I.: s; 2.Frequenza f: è il numero di oscillazioni complete che avvengono nellunità di tempo; f = 1/T; u.di m. nel S.I.: Hz (1 Hertz = unoscillazione al secondo); 3.Pulsazione : = 2 / T, è la velocità angolare nel moto circolare uniforme associato al moto armonico; u.di m. nel S.I.: rad/s; 4.Lunghezza donda : è la distanza percorsa dallonda in un periodo, o la distanza minima fra due punti aventi la stessa fase; u.di m. nel S.I.: m; 5.Ampiezza A: massimo spostamento dalla posizione dequilibrio; u.di m. nel S.I.: m; 6.Velocità di propagazione v: è la velocità con la quale si propaga la perturbazione nel mezzo e dipende dalla natura del mezzo; vale la relazione v = / T; u.di m. nel S.I.: m/s. Osservazione importante Le grandezze fisiche che esprimono proprietà intrinseche dellonda sono periodo T, frequenza f =1 / T e pulsazione = 2 / T. La lunghezza donda, legata alla velocità v dalla relazione v = / T, dipende, in parte dal mezzo.

1° Mezzo - v 1 Frequenza costante, con v = /T = f ; v e sono dir.prop.: se v 1 > v 2, allora 1 > 2. 2° Mezzo - v 2

Equazione delle onde armoniche Si consideri una lunga corda tesa nella direzione dellasse x, lungo la quale si propaga, da sinistra verso destra, unonda unidimensionale trasversale, a cui è associata una perturbazione in direzione y. Ad un certo istante, ad es. per t = 0, la forma della corda è rappresentata da una certa funzione di x : y = f(x) Ipotizzando che la perturbazione si propaghi nella corda con velocità costante v, al generico istante t avrà percorso una distanza s = vt dalla posizione che aveva allistante iniziale. Se le perdite di energia nel mezzo sono trascurabili, la perturbazione si propaga senza cambiare forma, per cui allistante t deve essere descritta dalla funzione f(x), con la differenza che gli stessi valori della perturbazione y devono ora corrispondere a valori di x aumentati della quantità vt. Dal punto di vista matematico, se f(x) è la funzione che descrive la perturbazione allistante t = 0, la funzione che descrive la perturbazione al tempo t, deve avere la forma: y = f(x - vt).

Lequazione y = f(x - vt) è lequazione generale di unonda di forma qualsiasi, che si propaga nel verso positivo delle ascisse (onda progressiva, se regressiva lequazione diventa: y = f(x + vt) ). Quanto detto vale sia per le onde trasversali, quanto per quelle longitudinali. Se la sorgente origina, in un mezzo elastico, una perturbazione armonica di ampiezza A, pulsazione e velocità di propagazione v, lelongazione y viene descritta dalla funzione:

2. Il Principio di Huygens Il principio di H., mediante semplici considerazioni geometriche, consente di costruire un nuovo fronte donda, conoscendo il fronte donda precedente e quindi consente di spiegare il comportamento di unonda quando incontra una fenditura, un ostacolo o qualsiasi disomogeneità del mezzo (fenomeni della riflessione, rifrazione e diffrazione). Principio di Huygens Ogni punto di un fronte donda può essere considerato come una sorgente secondaria di onde sferiche, aventi la stessa frequenza della sorgente originaria dellonda. Il nuovo fronte donda è linviluppo delle onde secondarie, cioè la superficie tangente ai fronti donda di tutte le onde secondarie e si forma solo nel verso originario di propagazione.

3. RIFLESSIONE Sperimentalmente si verifica che, quando unonda di qualsiasi natura incontra una superficie riflettente, il raggio dellonda incidente e quello dellonda riflessa soddisfano le seguenti leggi: Prima legge della riflessione: il raggio incidente, il raggio riflesso e la normale alla superficie riflettente giacciono sullo stesso piano. Seconda legge della riflessione: langolo compreso fra il raggio incidente e la normale alla superficie nel punto di incidenza ( angolo di incidenza ) è uguale allangolo compreso fra il raggio riflesso e la normale stessa ( angolo di riflessione ). Per la luce in particolare, se la superficie riflettente non è liscia, ma scabra, si verifica il fenomeno della diffusione: ogni singolo raggio segue le leggi della riflessione, ma nel complesso i raggi riflessi hanno direzioni distribuite casualmente.

Le leggi della riflessione dal principio di Huygens Data unonda piana, consideriamo la sua sezione sul piano di figura. I tre raggi r 1, r 2, r 3 sono paralleli ed equidistanti. La velocità di propagazione varia in direzione, ma è costante in modulo, perché non cambia il mezzo, quindi AD = BC e IN = BC/2. CD è il fronte donda riflesso, inviluppo delle onde sferiche secondarie (circolari in sezione); IN è perpendicolare a CD e rappresenta il raggio riflesso, IN, r 2 ed n giacciono sullo stesso piano 1^ legge. I triangoli ABC e ADC sono congruenti … quindi i = r 2^ legge. t 0 – parte londa secondaria da A; t 1 – parte londa secondaria da I e londa di A ha percorso un tratto lungo quanto MI ; t 2 – parte londa secondaria da C e le onde di A e di I hanno percorso tratti lunghi rispettivamente BC e BC/2. Quindi al tempo t 2 : londa di A ha raggio AD = BC londa di I ha raggio IN = BC/2.

4. RIFRAZIONE Sperimentalmente si verifica che, quando unonda di qualsiasi natura attraversa la superficie di separazione di due mezzi, nei quali la perturbazione si propaga con velocità differenti, se langolo di incidenza è diverso da zero, la direzione di propagazione dellonda cambia nel passaggio da un mezzo allaltro. Prima legge della rifrazione: il raggio incidente, il raggio rifratto e la normale alla superficie di separazione giacciono sullo stesso piano. Seconda legge della rifrazione: Il rapporto fra il seno dellangolo di incidenza i e il seno dellangolo di rifrazione r è costante ed è uguale al rapporto fra le velocità v i e v r di propagazione, rispettivamente dellonda incidente e dellonda rifratta: Osservazioni il rapporto è costante per due mezzi fissati, ma dipende dai due mezzi ; se v i > v r, allora i > r e viceversa (gli angoli sono acuti e il seno è crescente) ; il fenomeno della rifrazione è accompagnato da quello della riflessione.

Le leggi della rifrazione dal principio di Huygens t 0 – parte londa secondaria da A; t 1 – parte londa secondaria da C e londa di A ha percorso un tratto lungo quanto AD = v r · (t 1 -t 0 ), con AD < BC = v i · (t 1 -t 0 ) Data unonda piana, consideriamo la sua sezione sul piano di figura e due raggi incidenti aventi velocità v i. La velocità di propagazione varia in modulo e, di conseguenza, in direzione da un mezzo allaltro. CD è il fronte donda rifratto, inviluppo delle onde sferiche secondarie (circolari in sezione) emesse dai punti del dal tratto AC ; CD si forma al tempo t 1. AD è perpendicolare a CD e rappresenta il raggio rifratto uscente da A, quindi raggio incidente, normale alla superficie e raggio rifratto giacciono sullo stesso piano 1^ legge.

Rifrazione delle onde superficiali in acqua (osservazioni mediante ondoscopio) Si generino onde lineari in una vasca con acqua, avente due zone con differenti profondità. Si osserva che: la frequenza f è costante, perché dipende solo dalla sorgente; la lunghezza donda è maggiore dove lacqua è più profonda; la velocità risulta maggiore dove lacqua è più profonda, essendo v = f v i / v r = i / r. Visto dallalto

Rifrazione della luce (onde elettromagnetiche) Si definisce un importante rapporto, detto indice di rifrazione: n 12 significa: indice di rifrazione relativo del secondo mezzo (di rifrazione), rispetto al primo (di incidenza). Indice di rifrazione relativo : Indice di rifrazione assoluto : n = c/v Lindice di rifrazione assoluto, o semplicemente indice di rifrazione, di un mezzo trasparente, è il rapporto fra la velocità c della luce nel vuoto e la velocità v della luce nel mezzo, cioè è lindice di rifrazione del mezzo rispetto al vuoto (c 3·10 8 m/s). Osservazioni: Si dice che un mezzo (2° mezzo rifrangente) è più rifrangente di un altro (1° mezzo inidente), se n 12 > 1, cioè se v i > v r ; per es., il vetro è più rifrangente dellaria. Principio della reciprocità del cammino luminoso: se langolo di rifrazione diventa di incidenza, quello di incidenza diventa angolo di rifrazione. Legge di Snell ( ) : se n 1 e n 2 sono gli indici di rifrazione assoluti dei mezzi in cui si propagano, rispettivamente, il raggio di luce incidente e quello rifratto, vale la relazione: n 1 ·seni = n 2 ·senr, infatti: n 1 = c/v i, n 2 = c/v r n 2 /n 1 = v i /v r n 2 /n 1 = seni/senr n 1 ·seni = n 2 ·senr.

La riflessione totale il fenomeno della rifrazione è accompagnato da quello della riflessione e se la luce passa da un mezzo più rifrangente ad un mezzo meno rifrangente, per es. dallacqua allaria, e se langolo di incidenza supera un particolare valore, detto angolo limite, scompare il raggio rifratto e si ha solo riflessione, riflessione totale. Osservo che, poiché n 1 > n 2, 0° i < r 90°, quindi per avere rifrazione langolo di incidenza non deve superare un certo valore limite: Esempio. Calcolo dellangolo limite per i mezzi acqua – aria: n 1 = 1,33, n 2 = 1,000294, sen i lim = 1, / 1,33 = 0, , i lim = arcsen(0, ) 48,77°.

Alcune conseguenze del fenomeno della rifrazione 1. Il bastone piegato: un oggetto immerso nellacqua sembra ad una profondità minore, così di un bastone parzialmente immerso, il segmento in acqua appare piegato verso lalto, se osservato dallaria. 2. I miraggi: il miraggio si forma per riflessione totale della luce sugli strati daria vicini al suolo, quando questi sono più caldi di quelli superiori, quindi meno densi e con indice di rifrazione minore. 3. La fibra ottica: è un conduttore di luce flessibile, costituito da un nucleo trasparente (cilindro centrale) circondato da uno strato (sup. cilindrica esterna) il cui indice di rifrazione e leggermente più piccolo di quello del nucleo. La luce si propaga per effetto di una successione di riflessioni totali.

La dispersione della luce il fenomeno della dispersione della luce consiste nella separazione, prodotta da un mezzo rifrangente, della luce bianca nelle sue componenti monocromatiche: rosso, arancio, giallo, verde,blu, indaco e violetto.

Il fenomeno della dispersione si verifica perché, per un dato materiale, lindice di rifrazione dipende dalla frequenza della luce (aumenta con la frequenza), quindi, per la legge di Snell, langolo di rifrazione dipende dalla frequenza, sen r = [n 1 /n 2 (f)]sen i, e questo spiega perché la luce violetta è deviata più della rossa. Tipici fenomeni naturali di dispersione – diffusione sono larcobaleno e il colore del cielo. Perché vediamo il cielo blu Legge di Rayleigh: lintensità della luce dispersa-diffusa è inversamente proporzionale alla quarta potenza della lunghezza donda. Quindi, poiché R 7000 Å, B 4300 Å, con ( R / B ) 4 7, la luce blu viene diffusa con unintensità circa 7 volte maggiore della luce rossa. Ricordando che nella luce solare la componente blu predomina sul viola e che locchio umano è più sensibile al blu rispetto al viola, si comprende perché percepiamo maggiormente il colore blu del cielo.

5. DIFFRAZIONE Sperimentalmente si verifica che, quando unonda di qualsiasi natura incontra uno schermo con una fenditura o un ostacolo, con fenditura avente circa le stesse dimensioni della lunghezza donda dellonda incidente, il fronte donda viene modificato secondo il principio di Huygens: ogni punto della fenditura o i punti estremi dellostacolo diventano sede di sorgenti di onde secondarie sferiche ( o piane). La diffrazione è tanto più accentuata, quanto più i fronti donda secondari tendono a superfici sferiche o a circonf. Se il mezzo non cambia, come prevede il principio di Huygens, londa diffratta mantiene frequenza, velocità e lunghezza donda dellonda incidente. La diffrazione diventa più pronunciata quando d/ 0, con d dimensione della fenditura e lunghezza donda.

6. PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE Se il mezzo, nel quale avviene la propagazione di una perturbazione, è elastico, vale il principio di sovrapposizione delle onde: lo spostamento risultante di un punto del mezzo in cui si incontrano due o più onde è uguale, in un dato istante, alla somma vettoriale degli spostamenti prodotti dalle singole onde in quel punto e in quellistante. Dire mezzo elastico, significa dire che le forze di coesione del mezzo, che rispondono alla sollecitazione- perturbazione, seguono la legge di Hooke (F = - kx), cioè sono elastiche. Una situazione di non elasticità del mezzo è la perturbazione causata da unesplosione: in questo caso non è applicabile il principio di sovrapposizione.

7. INTERFERENZA Una notevole applicazione del principio di sovrapposizione si ha ogni volta che due o più moti ondulatori si compongono, cioè interferiscono, in una data regione dello spazio di uno stesso mezzo. Il fenomeno dellinterferenza si verifica solo per le onde elastiche ed elettromagnetiche. Figura dinterferenza Se le sorgenti emittenti (due per semplicità) vibrano in fase, nello spazio, o nel piano, si formano le figure dinterferenza, caratterizzate da frange dinterferenza costruttiva e da frange dinterferenza distruttiva. Frange dinterferenza costruttiva: sono il luogo dei punti tali che la differenza in valore assoluto delle distanze dalle sorgenti è costantemente uguale a un multiplo pari di /2 : le vibrazioni giungono in fase e lampiezza risultante è la somma delle singole ampiezze. Frange dinterferenza distruttiva (linee nodali): sono il luogo dei punti tali che la differenza in valore assoluto delle distanze dalle sorgenti è costantemente uguale a un multiplo dispari di /2 : le vibrazioni giungono in opposizione di fase e lampiezza risultante è la differenza delle singole ampiezze.

Interpretazione matematica dellinterferenza Siano date due onde sinusoidali di uguale frequenza f e uguale ampiezza a; tali onde giungono dopo un tempo t in uno stesso punto P (interferiscono) dopo aver percorso le distanze x 1 e x 2. In P londa risultante è ancora sinusoidale, della stessa frequenza f e di ampiezza A(P), funzione della posizione di P, e si possono verificare i seguenti fenomeni di interferenza: Interferenza costruttiva – onda risultante di ampiezza massima, quando |x 2 -x 1 | = k = 2k /2 ; Interferenza distruttiva – onda risultante di ampiezza nulla, quando |x 2 -x 1 | = (2k+1) /2. (k N) N.B. Le frange possono essere osservate, cioè la figura dinterferenza si fissa nel tempo, se la differenza di fase delle sorgenti è costante (uguale in particolare); in questo caso le sorgenti sono dette coerenti.

8.EFFETTO DOPPLER E il fenomeno per cui la frequenza f di unonda, percepita da un osservatore, è diversa dalla frequenza f di vibrazione della sorgente, se losservatore e la sorgente sono in moto relativo, con velocità relativa inferiore alla velocità di propagazione dellonda nel mezzo. Osservazioni sperimentali-sensoriali Il suono, prodotto da una sorgente che si avvicina (motore di unauto, sirena …), viene percepito più acuto, cioè più alto o con frequenza maggiore. Viceversa se la sorgente si allontana, il suono viene percepito più basso, cioè con frequenza minore. La luce emessa da una galassia, viene rilevata con frequenza minore (red shift), se si sta allontanando, con frequenza maggiore (spostamento verso il violetto), se si sta avvicinando. Consideriamo leffetto Doppler per il suono e per la luce. E opportuno trattare i due casi separatamente, perché per la luce devono essere fatte considerazioni relativistiche, trascurabili per il suono.

Effetto Doppler con il suono ( V 335 m/s nellaria ) 1. Sorgente ferma e osservatore in movimento, rispetto al mezzo Siano: = lung.donda suono, V = vel. suono, v o = velocità dell Osservatore, V ± v o = velocità del suono percepita dallOsservatore (+ Oss. O 1 che si avvicina, - Oss. O 2 che si allontana, rispetto alla sorgente S). 2. Sorgente in movimento e osservatore fermo, rispetto al mezzo Siano: f = frequenza della sorgente del suono, v s = velocità della sorgente, V = vel. Suono, V v s = velocità del suono percepita dallOsservatore ( - Sorgente che si avvicina allOss. O 2, + Sorgente che si allontana dallOss. O 1 ). Osserva che i due fenomeni non sono simmetrici !

Effetto Doppler con la luce ( c 3·10 8 m/s nel vuoto ) Potremmo essere tentati di applicare alla luce le equazioni ricavate per il suono, sostituendo la velocità della luce c alla velocità del suono V. Tuttavia per la luce, contrariamente a quanto accade per il suono, si è dimostrato impossibile identificare un mezzo di trasmissione relativamente al quale si muovono la sorgente e losservatore: il moto è relativo solo ad osservatore e sorgente, il mezzo non centra più. Il fenomeno in questo caso è più semplice, perché perfettamente simmetrico, infatti sorgente in moto ed osservatore fermo o sorgente ferma ed osservatore in moto, sono due situazioni fisicamente identiche e devono presentare la stessa frequenza Doppler. La frequenza Doppler, prevista dalla teoria della relatività è: I due postulati della teoria della Relatività ristretta: 1. Le leggi della fisica sono le stesse in tutti i riferimenti inerziali (non esiste un sistema inerziale privilegiato). 2. La velocità della luce nello spazio vuoto ha lo steso valore c in tutti i sistemi inerziali.