nell’ insegnamento-apprendimento SEMINARIO Il Calcolatore nell’ insegnamento-apprendimento della Matematica Francesco A. Costabile Dipartimento di Matematica – Università della Calabria

Supporto valido per l’insegnamento -apprendimento della Matematica; Il calcolatore, opportunamente utilizzato, risulta: Supporto valido per l’insegnamento -apprendimento della Matematica; strumento per l’interpretazione della realtà sensibile, attraverso l’interazione con la Matematica; strumento di lavoro anche in piccole attività quotidiane sempre in connessione con la Matematica;

mediatore in situazioni di apprendimento; stimolo per l’autocorrezione e per l’uso di un linguaggio formale e rigoroso; strumento per la visualizzazione di taluni nostri processi mentali, quindi, uno stimolo per lo sviluppo di capacità logiche, creative, intuitive e deduttive.

Obiettivi formativi Capire/approfondire taluni concetti fondanti della Matematica; Facilitare il collegamento Matematica – realtà sensibile, ovvero staccare la Matematica dalla lavagna; Usare il computer per eseguire calcoli, grafici, diagrammi, figure di uso comune in problemi matematici; Avere consapevolezza delle potenzialità programmatorie del computer.

“Opportunamente utilizzato” significa: deve essere usato in connessione con un ambiente di programmazione utile allo scopo, nella fattispecie adeguato all’insegnamento - apprendimento della Matematica relativamente alla fascia d’età scolare interessata. Ne scaturiscono i seguenti:

Costruzione del prisma retto a base esagonale Esempio 1 Costruzione del prisma retto a base esagonale Supposto che la classe (biennio della scuola secondaria superiore) abbia la definizione del prisma retto a base esagonale, come momento di ulteriore approfondimento e/o di verifica se ne propone la costruzione in ambiente virtuale, attraverso l’ambiente di programmazione MatCos 2.x

Esistono i comandi: Segmento(punto,punto); faccia(punto, punto, …); Costruzione del prisma retto a base esagonale I passo: ricerca di una strategia risolvente Si clicca su Spazio 3D per prendere visione dei comandi disponibili che possono essere utili allo scopo. Dopo attento esame, sotto la guida dell’insegnante, si acquisisce che: Lo Spazio 3D di MatCos richiede le tre dimensioni (lunghezza, larghezza, altezza) per rappresentare i punti; Esistono i comandi: Segmento(punto,punto); faccia(punto, punto, …);

Costruzione del prisma retto a base esagonale I passo: ricerca di una strategia risolvente La strategia risolvente, dunque, può essere quella di determinare, attraverso le dimensioni, i vertici del poliedro e conseguentemente usando il comando faccia(punto, punto, …); rappresentare le diverse facce che lo compongono. Scaturisce, quindi, un sottoproblema tutto matematico: Determinare le coordinate, in un riferimento cartesiano, (dimensioni) dei vertici del prisma retto a base esagonale.

Costruzione del prisma retto a base esagonale Determinare le coordinate (dimensioni) dei vertici del prisma retto a base Tale sottoproblema va, ulteriormente, precisato: si decide, per es., che la base esagonale inferiore sia posta ad altezza zero, ovvero in altro linguaggio, sul piano xy.

Costruzione del prisma retto a base esagonale Determinare le coordinate (dimensioni) dei vertici del prisma retto a base Individuati i vertici di tale base e denominati con A, B, C, D, E, F, facilmente, successivamente, si ricavano quelli della base superiore, la quale dovendo stare su un piano parallelo ad altezza, ad esempio, h basterà lasciar fisse le due dimensioni dei vertici trovati ed introdurre l’altezza h, otteniamo così i vertici A1, B1, C1, D1, E1, F1. Le facce laterali sono, poi, facilmente determinate dai rettangoli ABB1A1, BCC1B1, CDD1C1, DEE1D1, EFF1E1, FAA1F1 nei rispettivi piani.

Costruzione del prisma retto a base esagonale Il problema si è, dunque, ricondotto a determinare le coordinate dei punti A, B, C, D, E, F, vertici di un esagono in un piano, che è di per sé interessante. Esso può essere facilmente risolto considerando la circonferenza con centro nell’origine degli assi, circoscritta all’esagono e applicando proprietà del triangolo equilatero, unitamente alle simmetrie della circonferenza.

Costruzione del prisma retto a base esagonale Se r è il raggio della circonferenza si trova: A(r,0,0), B(r/2,r*Radice(3)/2,0), C(-r/2,r*Radice(3)/2,0), D(-r,0,0), E(-r/2,-r*Radice(3)/2,0), F(r/2,r*Radice(3)/2,0). Tornando al prisma le coordinate dei vertici A1 B1 C1 D1 E1 F1 si determinano sostituendo l’altezza 0 con h in A, B, C, D, E, F. A questo punto si può scrivere facilmente il codice MatCos nella maniera più generale possibile, senza alcuna preliminare “teoria della programmazione”

Costruzione del prisma retto a base esagonale MC1 Rifcart3D; r=legginum("raggio"); h=legginum("altezza"); A=Punto3D(r,0,0); B=Punto3D(r/2,r*Radiceq(3)/2,0); C=Punto3D(-r/2,r*Radiceq(3)/2,0); D=Punto3D(-r,0,0); G=punto3D(-r/2,-r*Radiceq(3)/2,0); F=Punto3D(r/2,-r*Radiceq(3)/2,0); Coloreriempimento(255,0,255); Faccia(A,B,C,D,G,F); A1=Punto3D(r,0,h); B1=Punto3D(r/2,r*Radiceq(3)/2,h); C1=punto3D(-r/2,r*Radiceq(3)/2,h); D1=Punto3D(-r,0,h); E1=Punto3D(-r/2,-r*Radiceq(3)/2,h); F1=Punto3D(r/2,-r*Radiceq(3)/2,h); Faccia(A1,B1,C1,D1,E1,F1); ColoreRiempimento(255,128,255); Faccia(A,B,B1,A1); Faccia(B,C,C1,B1); Faccia(C,D,D1,C1); Faccia(D,G,E1,D1); Faccia(G,F,F1,E1); Faccia(F,A,A1,F1);

Costruzione del prisma retto a base esagonale Miglioramenti del codice sono, ovviamente, possibili ed auspicabili. L’argomento può essere ripreso nel corso del triennio, come applicazione di concetti trigonometrici e l’idea può essere estesa alla costruzione dei vari poliedri, inclusi quelli platonici.

Considerazioni didattiche La costruzione del prisma retto in ambiente virtuale ha funzionato come specchio per le allodole , infatti ci ha consentito di svolgere un’ampia attività matematica su argomenti curriculari, anche se in un contesto non usuale, ancora, nella pratica didattica della nostra Scuola secondaria. Da questo punto di vista l’attività è stata un approfondimento ed una verifica. Il calcolatore, supportato dall’ambiente MatCos, ha svolto le funzioni dianzi annunciate, in particolare quelle relative ai punti 1), 2), 4), 5), 6); così come da tutta l’attività traspaiono gli obiettivi formativi sopra citati.

MatCos L’ambiente Linguaggio modulare fortemente orientato alla Matematica; intermedio tra un linguaggio generale ed un CAS; utilizza comandi specifici relativi a precisi concetti matematici; è in lingua italiana con una sintassi molto semplice con istruzioni molto vicine al linguaggio naturale e a quello matematico; ogni comando ha parametri essenziali (relativi) al concetto matematico che si vuole rappresentare; esecuzione “passo – passo”

Il calcolo di ∏ con il metodo di Archimede Esempio 2 o Il calcolo di ∏ con il metodo di Archimede L’idea di Archimede è tanto intuitivamente semplice quanto profonda matematicamente al punto da essere ancora oggi presa ad esempio per ogni metodo di approssimazione. Pensò di approssimare la lunghezza della circonferenza con i perimetri dei poligoni regolari inscritti e circoscritti alla circonferenza. Senza la conoscenza del simbolismo moderno e senza il contributo di alcun strumento di calcolo, Archimede riuscì a considerare poligoni regolari di 6, 12, 24, 48, 96 lati giungendo alla diseguaglianza:

Il calcolo di ∏ con il metodo di Archimede Ad esempio il seguente codice MatCos riproduce l’esagono regolare inscritto e circoscritto alla circonferenza . Esso è basato sulla suddivisione della circonferenza in sei archi uguali, tramite la rotazione di un suo punto intorno al centro, di 60° e sulla costruzione delle tangenti in questi punti.

MC2 Esagono inscritto e circoscritto ad una circonferenza P=punto; r=legginum("raggio"); c=circ(P,r); A=lista; B=lista; D=lista; A(1)=punto_su(c); per (i da 2 a 6) esegui; A(i)=ruota(A(i-1),P,60,antiorario); fine; ColorePenna(128,0,64); poligono(A); segmento(A(1),P); segmento(A(2),P); StilePenna(5); r=retta(a(1),a(2)); s=perpendicolare(r,p); h=intersezione(r,s); B(1)=intersezione(c,s); t1=tangente(C,B(1)); b(i)=ruota(b(i-1),P,60,antiorario); t2=tangente(c,b(i)); t3=tangente(c,b(i-1)); d(i-1)=intersezione(t2,t3); cancella(t2,t3); n=distanza(d(1),d(2)); stampa(“il lato dell’esagoni circoscritto è" , " ",n); t4=tangente(c,b(6)); d(6)=intersezione(t1,t4); cancella(r,s,t1,t4); ColorePenna(128,0,64); poligono(d);

Il calcolo di ∏ con il metodo di Archimede Lavorando quasi sperimentalmente con questo programma si cerca di intuire la relazione tra il raggio ed il lato dell’esagono inscritto e tra questo ed il lato del poligono circoscritto. Infine, con semplici considerazioni sul triangolo equilatero si dimostra che il raggio è uguale al lato dell’esagono inscritto e con l’uso dei teoremi di Pitagora e di Euclide si trova che il lato L dell’esagono circoscritto è legato al lato l dell’esagono inscritto dalla relazione: L=2*l/Radice(4-l^2)

Il calcolo di ∏ con il metodo di Archimede Con l’esagono si trova perciò la diseguaglianza: 3< ∏ <3.4 Si passa quindi ad esaminare il dodecagono regolare inscritto e circoscritto, procedendo allo stesso modo e tenendo conto che questa volta l’angolo di rotazione è di 30°. Si ha il seguente codice MatCos:

MC3 Dodecagono regolare inscritto e circoscritto ad una circonferenza P=punto; r=legginum(“raggio”); c=circ(P,r); A=lista; B=lista; D=lista; A(1)=puntoacaso_su(c); per (i da 2 a 12) esegui; A(i)=ruota(A(i-1),P,30,antiorario); fine; m=distanza(a(2),a(3)); stampa(m*6/r); poligono(A); segmento(A(1),P); segmento(A(2),P); r1=retta(a(1),a(2)); s=perpendicolare(r1,p); h=intersezione(r1,s);B(1)=intersezione(c,s); t1=tangente(C,B(1)); b(i)=ruota(b(i-1),P,30,antiorario); t2=tangente(c,b(i)); t3=tangente(c,b(i-1)); d(i-1)=intersezione(t2,t3); cancella(t2,t3); m1=distanza(d(2),d(3)); stampa(m1*6/r); t4=tangente(c,b(12)); d(12)=intersezione(t1,t4); poligono(d);

Sperimentalmente, il software ci dà la diseguaglianza: Il calcolo di ∏ con il metodo di Archimede o Sperimentalmente, il software ci dà la diseguaglianza: 3.1< ∏ <3.2 Teoricamente, questa volta non si riesce a dare la relazione tra il raggio della circonferenza ed il lato del poligono inscritto; tuttavia, con il solo uso del teorema di Pitagora si dimostra una relazione tra il lato dell’esagono, le e quello del dodecagono, ld : ld =Radiceq(2-radiceq(4- le ^2))

Il calcolo di ∏ con il metodo di Archimede Per il lato del dodecagono circoscritto in modo analogo si trova la relazione con il lato del dodecagono inscritto, anzi è la stessa di prima. Poiché il lato dell’esagono inscritto è pari al raggio della circonferenza, posto questo per semplicità uguale ad 1 si ha per il dodecagono la diseguaglianza:

Il calcolo di ∏ con il metodo di Archimede Si può, ora, generalizzare questo discorso ai poligoni regolari di n e rispettivamente 2n lati, dimostrando i teoremi: Teorema 1 Se ln (n=3,4,5,…) indica il lato del poligono regolare di n lati inscritto nella circonferenza di raggio 1 (per comodità), allora il lato l2n del poligono regolare inscritto di 2n lati è dato da:

Il calcolo di ∏ con il metodo di Archimede Teorema 2 Sia Ln il lato del poligono regolare di n lati circoscritto alla circonferenza di raggio 1 ed ln il lato del poligono regolare con lo stesso numero di lati inscritto, allora vale la seguente relazione

Il calcolo di ∏ con il metodo di Archimede Combinando questi due teoremi si ha la diseguaglianza: Su di essa si può scrivere il seguente codice MatCos:

MC4 n=6; L=1; eps=LeggiNum("precisione voluta"); d=10; Algoritmo di Archimede n=6; L=1; eps=LeggiNum("precisione voluta"); d=10; Esegui Finquando (d>eps); Pinf=n*L/2; Psup=n*L/RadiceQ(4-L^2); d=(Psup-Pinf); n=n*2; L=radiceq(2-radiceq(4-L^2)); Fine; Stampa("per n= ",n, " il valore approssimato per difetto è ",pinf); Stampa("per n= ",n, " il valore approssimato per eccesso è ",psup); Stampa("Pigreco è compreso tra ", Pinf, " e ", Psup);

Assumendo si ottengono i seguenti valori in output : La precisione può aumentare fino ad assumere ottenendo, così, i seguenti valori in output :

Per si ha un risultato sbagliato, non già per errori nell’algoritmo o nel codice MatCos, ma a causa dell’errore di arrotondamento e della sua propagazione. Si ha, così, l’opportunità di introdurre ed approfondire un argomento importante quale è l’errore di arrotondamento, dovuto alla natura dei numeri ed all’uso dell’aritmetica finita. Infatti, sostituendo la formula con l’altra equivalente

il programma precedente dà buoni risultati anche per cioè fornisce 15 cifre esatte. Nel corso del triennio è opportuno riprendere il calcolo di π dopo che si sono acquisite le nozioni fondamentali di trigonometria e magari la formula di Taylor, se si vuole uno studio più approfondito dell’errore.

Infatti, applicando il Teorema dei Seni e note identità trigonometriche, il lato del poligono regolare inscritto nella circonferenza di raggio 1 è: e quindi:

che fornisce lo sviluppo asintotico dell’errore. Tenendo conto dello sviluppo di Taylor - McLaurin della funzione si ha: da cui: che fornisce lo sviluppo asintotico dell’errore. Infine, ricordando che per x>0 si può ottenere la maggiorazione dell’errore:

Combinando la con la si può ottenere un algoritmo con stima a-priori dell’errore, implementabile facilmente in MatCos dal momento che esiste il comando sin(α) con α assegnato in gradi.

MC5 n=legginum("numero lati poligono iniziale"); eps=legginum("errore richiesto"); d=10; p=n*sen(180/n); esegui finquando (d>eps); n=n*2; d=5.17/(n^2); fine; stampa("il valore approssimato è ", p); Stampa("il numero di lati è ", n); Stampa("l'errore effettivo è ", pi-p); Stampa("l'errore stimato è ", d);

Per molti di noi, di sicuro per me, p-greco, nel corso della Scuola secondaria, è stato inizialmente il “numero fisso” della circonferenza e successivamente la lettera dell’alfabeto greco che a volte assumeva il valore 3.14 e altre 180°. Al contrario, oggi, ci sono le condizioni per svolgere intorno a questo fatidico numero un’ampia attività matematico-informatica e a vari livelli di apprendimento, attuale e non tecnicistica.

Funzioni reali di variabili reali Esempio 3 Funzioni reali di variabili reali Comandi dell’ambiente :MatCos: Graficofunz; consente di tracciare il grafico di una funzione assegnata, fissato il riferimento cartesiano; Valutafunz; consente di calcolare il valore della funzione in un punto assegnato; Fzero; consente di calcolare lo zero di una funzione, supposto esistente in un dato intervallo, con una precisione assegnata; Derivatafunz; consente il calcolo analitico della derivata di una funzione;

Grafico di una funzione e della sua derivata MC6 Rifcart; f=leggifunz; graficofunz(f); g=derivatafunz(f); stampafunz(g); colore(128,12,128); graficofunz(g);

Funzioni reali di variabili reali L’importanza didattica di un tale programmino è evidente: si possono illustrare in un’infinità di esempi le proprietà qualitative delle funzioni ed i relativi legami col la funzione derivata. Per quanto attiene proprietà quantitative, ovvero valori in punti particolari si può fare uso del comando valutafunz unitamente alle istruzioni generiche, in particolare condizionale e ciclo nelle due forme possibili.

Funzioni reali di variabili reali Ad esempio si possono costruire programmi che calcolano i valori della funzione in un intorno sufficientemente ristretto di un punto con esclusione del punto stesso, in cui la funzione stessa può non essere definita e, con i numeri davanti, si può illustrare la definizione epsilon-delta e farne apprezzare la profondità. Il seguente programma raggiunge lo scopo:

Funzioni reali di variabili reali MC7 Senx/x f=Leggifunz("Introdurre la funzione"); x0=Legginum("Punto limite"); n=Legginum("Num pti in cui valutare la funzione"); ms=matrice(n,2); md=matrice(n,2); h=1/n; xs=x0-n*h; xd=x0+n*h; rifcart; i=1; esegui finquando (i<=n); ys=valutafunz(f,xs); ms(i,1)=xs; ms(i,2)=ys; punto(xs,ys); xs=xs+h; yd=valutafunz(f,xd); md(i,1)=xd; md(i,2)=yd; punto(xd,yd); xd=xd-h; i=i+1; fine; stampamatr(ms); stampamatr(md);

Calcolo dell’integrale definito Per il calcolo dell’integrale definito, ovvero di aree, si possono creare dei semplici programmi che calcolano le somme integrali nelle diverse forme e fare intuire quella che sarà, poi, la definizione rigorosa ; ad esempio il seguente codice è adatto allo scopo:

Calcolo dell’integrale definito MC7bis f=leggifunz; rifcart; graficofunz(f); a=legginum;b=legginum;n=legginum; h=(b-a)/n; x=vettore(n-1); y=vettore(n-1); ColorePenna(255,0,0); segmento(punto(a,0),punto(a,valutafunz(f,a))); segmento(punto(b,0),punto(b,valutafunz(f,b))); eps=legginum; s=0; s=s+h/2*(valutafunz(f,a)+valutafunz(f,b)); per(i da 1 a n-1)esegui; x(i)=a+i*h; y(i)=valutafunz(f,x(i)); ColorePenna(255,0,0); segmento(punto(x(i),0),punto(x(i),y(i))); s=s+h*(valutafunz(f,x(i))); fine; stampa(n, " ",s); s1=0; xx=vettore(2*n-1); yy=vettore(2*n-1); hh=(b-a)/(2*n); s1=S1+hh/2*(valutafunz(f,a)+valutafunz(f,b)); per (i da 1 a 2*n-1) esegui; xx(i)=a+i*hh; yy(i)=valutafunz(f,xx(i)); ColorePenna(255,0,0); segmento(punto(xx(i),0),punto(xx(i),yy(i))); s1=s1+hh*(valutafunz(f,xx(i))); stampa(2*n, " ",s1);

Calcolo dell’integrale definito Per il calcolo effettivo del valore di un integrale definito, specialmente per alcuni istituti tecnici, c’è il comando MATCOS: integrale(funz,a,b,ep); che fornisce il valore dell’integrale della funzione, nell’intervallo a,b a meno della tolleranza ep.

Elementi di geometria analitica Esempio 4 Elementi di geometria analitica Nello studio/apprendimento della Geometria analitica, il calcolatore supportato dall’ambiente MATCOS offre varie opportunità di chiarimento e quindi di approfondimento/verifica. Infatti la rappresentazione dei punti nel piano cartesiano richiede l’assegnazione delle coordinate e viceversa di un punto arbitrario nel piano è possibile stampare le coordinate, il tutto con il semplice e intuitivo programmino:

MC8 Rifcart; P=punto(2,-3); Q=punto_a_caso; as=Q.x; or=Q.y; Stampa(“l’ascissa di Q è”,as,”l’ordinata di Q è”,or); MC8

Passando all’equazione della retta, uno dei primi concetti fondanti della matematica del triennio, l’ambiente MATCOS con il comando Punto_su (Retta); consente un’attività sperimentale propedeutica all’acquisizione del concetto e alla dimostrazione rigorosa dell’equazione della retta. Infatti è possibile verificare, entro limiti di approssimazione, la relazione algebrica lineare esistente tra le coordinate dei punti di una stessa retta, ad esempio il semplice programmino seguente è adeguato allo scopo:

Rifcart; P=punto(2,3); Q=Punto(-2,-1); r=retta(P,Q); T=puntoacaso_su(r); a=T.x; b=T.y; Stampa(“L’ascissa di T è ”,a,”L’ordinata di T è ”,b);

Si possono, poi, illustrare graficamente, con una moltitudine di esempi in tempo reale, il significato del coefficiente angolare e dell’intercetta, ottenendo il fascio di rette sia proprio che improprio (rette parallele). Per quanto attiene le coniche il discorso è ancora più interessante. Tradizionalmente la prassi didattica nella scuola italiana su questo argomento segue due vie che dovrebbero essere una il proseguimento dell’altra ma che, invece, spesso appaiono separate. Infatti, alcune volte si inizia il discorso affermando che le coniche sono le curve intersezioni di un piano con una superficie conica e a seconda dell’inclinazione del piano sull’asse si ha un’ellisse, un’iperbole o una parabola.

Il giorno successivo, magari … a causa della fretta, si prosegue: si chiama ellisse il luogo dei punti …… e si buttano giù una marea di calcoli …. La relazione concettuale con quanto affermato il giorno prima evidentemente non c’è, né teorica né “sperimentale”; quindi una lacuna didatticamente notevole. Altre volte, invece, si parte direttamente dalla seconda parte, trascurando sia aspetti storici che culturali; ma neanche didatticamente questa seconda via è molto valida, perché a molti studenti sfugge la generazione di questo luogo e quindi la sua importanza.

Si può avere, invece, con il calcolatore un valido supporto per migliorare didatticamente questa presentazione. Ad esempio con l’ambiente MatCos , se si decide di partire dalla definizione come luogo di punti, si può facilmente implementare un algoritmo che rappresenta un certo numero di punti, che hanno la proprietà geometrica del luogo e poi determinarne l’equazione cartesiana come naturale completamento. Il programma seguente è in grado di visualizzare un’ellisse o un’iperbole a seconda che si scelga un punto interno e esterno alla circonferenza; naturalmente preliminarmente si dimostra, tra l’altro con proprietà geometriche molto semplici, che i punti rappresentati hanno l’una o l’altra caratteristica.

MC9 C=punto; r= legginum("raggio della circonferenza"); c1=circ(C,r); stampa("scegliere un punto F interno alla circonferenza"); F=punto; ColorePenna(0,255,0); Per ( i da 1 a 200 ) esegui; A=puntoacaso_su(c1); s=segmento(A,F); M=punto_medio(s); af=retta(A,F); ac=Retta(A,C); P=intersezione(perpendicolare(af,m),ac); cancella(af,ac,s,m,A); Fine; MC9

Se invece non si vuole rinunciare all’introduzione storica, ovvero il riferimento alla superficie conica, al momento in Matcos esiste un robusto programma che genera la superficie conica, l’intersezione con un piano e quindi la curva sezione e si può verificare la proprietà focale. In questo modo la lacuna didattica di cui sopra viene quantomeno attutita. A breve, creeremo un comando MatCos diretto che abbia in input i parametri della superficie e del piano, con il relativo angolo di inclinazione.

Elementi di statistica e probabilità Esempio 5 Elementi di statistica e probabilità Per gli argomenti di Statistica che riguardano la Scuola Secondaria MATCOS dispone dei comandi diretti per la costruzione dei diagrammi più comuni: istogramma, diagramma a strisce, diagramma circolare, nonché per il calcolo degli indici più notevoli:medie, moda, mediana, scarto quadratico medio, indice di Pearson, varianza, covarianza, retta di Regressione…

Elementi di statistica e probabilità Ad esempio il seguente programmino traccia i diagrammi e gli indici di centralità di una distribuzione di frequenze assegnate: n=legginum(“numero delle frequenze”); v=vettore(n); leggivett(v); istogramma(v); diagstr(v); diagcirc(v); m=media(v); m1=moda(v); m2=moda(v); stampa(“la media è”,m,”la mediana è”,m1,”la moda è”,m2); MC10

Per gli elementi di Probabilità, allo stato, non ci sono comandi specifici ma con i comandi generici: numero_a _caso(n,m); e int(x); è possibile creare programmini che simulino i primi classici esempi di approccio al concetto frequenti sta di Probabilità, quali testa-croce, lancio del dado,ago di Buffon etc.

Matematica e realtà sensibile Esempio 6 Matematica e realtà sensibile In questo contesto il calcolatore, unitamente ad un ambiente di programmazione è di fondamentale importanza per esaltare il rapporto intrinseco Matematica - Realtà sensibile . L’ambiente MatCos si è rivelato adeguato, a livello di scuola secondaria, per tale problematica ; infatti numerosi sono state le proposte fatte agli studenti, ma anche quelle, autonomamente, fatte dagli studenti; alcuni esempi sono di seguito riportati.

Il logo di una nota casa automobilistica Il MODELLO REALE Seguirà l’osservazione del logo. PREREQUISITI Si richiede la conoscenza di tutte le proprietà ed i concetti geometrici di volta in volta richiamati. ©  Annarosa Serpe - Gela 2006

Si mostra poi l’oggetto reale ed in un contesto di problem solving, con una strategia didattica di tipo maieutico, si stimola la discussione. ©  Annarosa Serpe - Gela 2006

DISAMINA DELL’OGGETTO REALE L’oggetto a quali figure geometriche fa pensare ? 2. Proviamo a rilevare la misura del lato del rombo e quella della diagonale minore. 3. Analizzate la posizione dei due rombi rispetto al terzo.

Prime considerazioni l’oggetto fisico esaminato “ricorda” tre rombi di cui due potrebbero essere la rotazione dell’altro (il primo) intorno ad un suo vertice di circa 120° in senso orario e antiorario; nel rombo il lato è “quasi uguale” alla diagonale minore.

IL MODELLO MATEMATICO L’esame del modello reale conduce alla formulazione di un “plausibile” modello matematico; quindi si può ipotizzare che: la diagonale minore del rombo sia uguale al lato; b) i rombi 2 e 3 si ottengono dal rombo 1 che ruota attorno ad un suo vertice di circa 120° in senso orario, e rispettivamente, antiorario.

Di conseguenza, ogni rombo è formato da due triangoli equilateri 1' ed 1" con un lato in comune disposti su semipiani opposti rispetto alla retta su cui giace tale lato.

ALGORITMO RISOLVENTE disegna un segmento P1P3 (dato iniziale); traccia la circonferenza di diametro P1P3 e centro P1 (Assioma del compasso); traccia la circonferenza di diametro P1P3 e centro P3 (Assioma del compasso); i punti d’intersezione delle due circonferenze sono i vertici P2 e P4 dei due triangoli equilateri e quindi del rombo P1P2P3P4 (proprietà della circonferenza ); segmenti P1R e P3R, con R punto medio del segmento P1P3 (Assiomi della riga).

Per ottenere il prototipo completiamo l’algoritmo con la rotazione del rombo P1P2P3P4: ruotare il rombo 1 di 120° attorno al centro P4 in senso orario; ruotare il rombo 1 di 120° attorno al centro P4 in senso antiorario.

MC11 Listato programma Commento O=Punto; r=RettaNum(O,30); P1=Punto_su(r); P3=Punto_su(r); s1=Segmento(P1,P3); d=Distanza(P1,P3); c1=Circ(P1,d); c2=Circ(P3,d); P2=Intersezione(c1,c2); P4=Intersezione(c1,c2); ColorePenna(0,0,0); SpessorePenna(2); ColoreRiempimento(255,0,0); t1=Poligono(P1,P2,P3,P4); Cancella(c1,c2,s1,r,o); t2=Ruota(t1,P4,120,orario); t3=Ruota(t1,P4,120,antiorario); re riempimento Disegna il Assegna il punto O nel piano euclideo Disegna la retta numerica di origine O e lunga 30 unità Assegna il punto P1 sulla retta r Assegna il punto P3 sulla retta r Disegna il segmento P1 P3 Misura la distanza d del segmento P1 P3 Disegna la circonf. di centro P1 e raggio d Disegna la circonf. di centro P3 e raggio d Disegna i punti d’intersezione P2 e P4 delle circonf. c1 e c2 Cambia colore Cambia stile Cambia colopoligono di punti P1 P2 P3 P4 Ruota il rombo r1 intorno al centro P4 di 120° in senso orario Ruota il rombo r1 intorno al centro P4 di 120° in senso antiorario MC11

Confronto del prototipo con il modello reale

Dal confronto emergeranno le “diversità” che, in generale, possono riscontrarsi tra le due realtà. Inoltre, l’insegnante richiederà il calcolo della misura della diagonale maggiore del rombo. L’immediata applicazione del teorema di Pitagora porta a: e quindi.....

Lavori autonomi degli studenti

CONCLUSIONI A conclusione di questo excursus, si può dire che il calcolatore, unitamente ad un ambiente di programmazione, costituisce un’enorme potenziale da sfruttare per l’apprendimento e l’uso della matematica nell’attuale momento storico-sociale. Il voler volutamente ignorare questa opportunità ci sembra fuori del comune buon senso, oltre che voler ignorare le recenti conquiste scientifico-tecnologiche dell’umanità.