Algebra di Boole e Funzioni Binarie --

Sommario Variabili Binarie Negazione Somma Logica Prodotto Logico Relazioni- proprietà Funzioni Minterm Teoremi Maxterm Forme Canoniche Fine lezione Algebra di Boole

Variabili Binarie Variabile binaria: grandezza matematica che può assumere due soli valori: 0 o 1. Sulle variabili binarie definiamo tre operatori: negazione, somma e prodotto. La negazione di una variabile binaria a si indica con a’ (“non a” o “a negato”) oppure con ( a o con ā ) Algebra di Boole

Negazione Possiamo rappresentare il valore di x’ tramite tabella di verità: x x’ 1 Modi equivalenti per negare una variabile X Algebra di Boole

Somma logica La somma di n variabili binarie x1, x2, x3, --- xn vale 0 solo se tutte le xi (1≤i≤n) valgono contemporaneamente 0, vale 1 in ogni altro caso. x1 x2 x1 + x2 1 esempio di somma logica di due variabili x1 e x2 mediante tabella di verità Algebra di Boole

Prodotto logico Il prodotto di n variabili binarie x1, x2, x3, --- xn vale 1 solo se tutte le xi (1≤ i ≤n) sono contemporaneamente 1, vale 0 in ogni altro caso x1 x2 x1 . x2 1 esempio di prodotto logico di due variabili x1 e x2 mediante tabella di verità Algebra di Boole

Relazioni e proprietà Le relazioni e proprietà degli operatori somma e prodotto logico sono riportate nella tabella Somma Prodotto x + 1 = 1 x · 0 = 0 x + 0 = x x · 1 = x x1 + x2 = x2 + x1 x1 · x2 = x2· x1 x1 + x2 + x3 = (x1 + x2) + x3 x1 · x2· x3= (x1 · x2) · x3 x1· x2+ x1· x3= x1· (x2 + x3) (x1 + x2) · (x1 + x3) = x1+ x2 · x3 Algebra di Boole

Relazioni e proprietà Per la negazione valgono le seguenti relazioni e proprietà: Negazione 0’’ = 0 1’’ = 1 x’’ = x x + x‘ = 1 x · x’ = 0 x’’  x due volte negato Algebra di Boole

Funzioni Con n variabili binarie (x1, x2, … xn) si possono formare 2n configurazioni diverse. Se prendiamo, ad esempio, 2 variabili: x1, x2 dato che ognuna di loro può valere 0 od 1, si possono creano le seguenti quattro (22) configurazioni diverse: 00, 01, 10, 11. Così con 3 variabili binarie si potranno formare al massimo 23=8 configurazioni diverse che sono: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Algebra di Boole

Funzioni Diremo che una variabile y è funzione di n variabili indipendenti x1, x2, … xn e si scrive: y = F (x1, x2, … xn) quando esiste un criterio che fa corrispondere in modo univoco ad ognuna delle 2n configurazioni di x un determinato valore y (ovviamente 0 o 1). Algebra di Boole

Funzioni Tutte le diverse funzioni di n variabili (x1,x2,…xn) che si possono costruire sono pari a Ad esempio tutte le diverse funzioni che si possono formare con 3 variabili sono pari a Algebra di Boole

Funzioni Una funzione può essere rappresentata sotto forma di tabella di verità, scrivendo accanto ad ognuna delle 2n diverse configurazioni di x1, x2, … xn il valore assunto dalla y. Ad esempio la seguente tabella rappresenta la tabella di verità di una delle 256 funzioni possibili di tre variabili binarie Cliccare sull’immagine Algebra di Boole

Funzioni Una tabella delle 256 funzioni a 3 variabili Algebra di Boole Cliccare sull’immagine Algebra di Boole

Ciascuno di questi prodotti si chiama minterm Se consideriamo 3 variabili, la scrittura x1x2x3 = 011 indica tra le 23=8 configurazioni possibili, quella in cui x1 vale 0, x2 vale 1 e x3 vale 1. Questa configurazione si scrive semplicemente con il prodotto x1x2x3 ( questo e’ un minterm) Se in una configurazione una variabile compare con 1 si assume il valore diretto se invece compare con uno 0 si assume il valore negato. Consideriamo la funzione di 3 variabili rappresentata sotto forma di tabella di verità in fig.1 e le 3 configurazioni in cui la stessa vale 1 Avremo che la funzione vale 1 per le seguenti configurazioni: x1x2x3 x1x2x3 x1x2x3 Ciascuno di questi prodotti si chiama minterm Algebra di Boole

Minterm Conoscendo la tabella di verità fi una funzione , la espressione algebrica potrà essere espressa sotto forma di somme di prodotti dei termini minimi. Nel caso della funzione in Fig 1 scriveremo y = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 Se una funzione è direttamente espressa sotto forma di somme di minterm sarà possibile costruire la sua tabella di verità, mettendo 1 nelle configurazioni relative ai minterm, e 0 negli altri casi. Algebra di Boole

F(x,y,z) = xy’z + xyz’ + x’yz Minterm Ad esempio data la funzione di 3 variabili F(x,y,z) = xy’z + xyz’ + x’yz la sua tabella di verità sarà: x y z F(x,y,z) 1 x’yz xy’z xyz’ Algebra di Boole

Teoremi x + x + x + ---+ x = x x · x · x · --- ·x = x TEOREMI Diretto Versione Duale Idempotenza x + x + x + ---+ x = x x · x · x · --- ·x = x Assorbimento x + xy = x x · (x +y) = x x + x’y = x + y x · (x’ + y) = x · y xy +yz + x’z = xy + x’z (x +y)·(y+z)·(x’+z) = (x+y) · (x’+z) De Morgan (x+y)’ = x’ · y’ (x · y)’ = x’ + y’ Algebra di Boole

Maxtem Il teorema di De Morgan applicato alla funzione della fig.1 ci consente di scrivere la funzione in questo modo: y = (x1+x2+x3)· (x1+x2+x3)· (x1+x2+x3)· ·(x1+x2+x3)· (x1+x2+x3) ossia sotto forma di prodotto di somme. Ciascuna delle somme chiama maxterm (termine massimo). Algebra di Boole

Maxtem L’espressione della y come prodotto di maxterm si può ottenere dalla tabella di verità della funzione; ci sono tanti maxterm quanto sono i valori 0 della funzione; ogni maxterm è la somma di tutte le variabili dirette o negate a seconda che la configurazione contenga 1 o 0. Algebra di Boole

Forma Canonica Entrambe le espressioni della funzione sotto forma di: somme di prodotti (minterm) prodotti di somme (maxterm) si chiamano forme canoniche di una funzione binaria. Algebra di Boole

MACCHINA DEL CAFFE’/Te’ ESEMPIO : Costruire un circuito logico che simuli una macchina che fornisce (previo inserimento di una moneta) caffè o tè. Se selezioniamo il pulsante del caffè la macchina dovrà fornire il caffè. Se selezioniamo il pulsante del tè la macchina dovrà fornire il tè. Se selezioniamo entrambi i pulsanti (del Tè e del caffè) la macchina dovrà fornire Tè. Algebra di Boole

Costruiamo la tabella di verità della macchina Uscita-Tè Uscita-caffè 1 Algebra di Boole

Sfruttiamo la rappresentazione con i minterm per la colonna UC= Uscita-caffè Ricordare DE-MORGAN Algebra di Boole

Sfruttiamo la rappresentazione con i minterm per la colonna UT= Uscita-Tè Algebra di Boole

E ORA IL CIRCUITO Grazie a queste relazioni possiamo ottenere il circuito logico richiesto: Algebra di Boole

Prossima Lezione: ARCHITETTURA DEGLI ELABORATORI Arrivederci!