1 Realizzazione di un lavoro didattico di formazione-informazione relativo alla parte finale del corso Applicazione di abilità e competenze nella costruzione di un percorso di Storia-Matematica-Astronomia e Fisica come conferma della validità del modello di e-learning 6-16 Novembre 2002 – Progetto Docente – Applica le competenze acquisite

esci 2 Obiettivi Lobiettivo della presentazione riguarda lapplicazione delle abilità e competenze acquisite durante il corso mediante la costruzione di un percorso di comprensione relativo a un qualunque tema disciplinare come conferma della validità del modello di e-learning; La ragione del perché si è scelto un percorso di Storia-Matematica- Astronomia e Fisica è la coerenza epistemologica che le quattro discipline mostrano di possedere nellinterpretazione culturale e pedagogica delle idee presenti nel tema; Si è scelta come tematica le leggi di Keplero perché si è notato che è possibile sfruttare al meglio i mezzi informatici per realizzare, comprendere e visualizzare egregiamente le tematiche connesse con le quattro discipline (aspetto grafico, simbolico, iconico oltrechè testuale);

esci 3 Le leggi di KEPLERO: Indice (Fai click sulle pergamene per vedere l animazione)

esci 4 Le leggi empiriche di Keplero Discipline coinvolte: Storia Matematica Astronomia Fisica A cura dei proff. Vincenzo Calabrò-Vincenzo Cennamo-Fernando Cogli

esci 5 Sommario Il problema generale delle Leggi di Keplero Il problema storico Il problema matematico Il problema astronomico Il problema fisico Sintesi Bibliografia

esci 6 Il problema generale Fin dai tempi più remoti i movimenti dei pianeti, coi loro vagabondaggi sullo sfondo del cielo stellato, hanno rappresentato un affascinante mistero per lumanità I volteggi di Marte erano i più sorprendenti La curva a cappio descritta dal pianeta Marte sullo sfondo della Costellazione del Capricorno

esci 7 1 a legge di Keplero o legge delle orbite Tutti i pianeti si muovono su orbite ellittiche, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi 1 Legge

esci 8 Orbita ellittica

esci 9 Il segmento che collega un pianeta al Sole descrive (spazza) aree uguali in tempi uguali A/t=cost. 2 a legge di Keplero o legge delle aree 2 Legge

esci 10 3 a legge di Keplero o legge dei periodi (*) Il quadrato del periodo di qualunque pianeta è proporzionale al cubo della sua distanza media dal Sole T 2 = k r3r3 (*) Chiamata anche legge armonica 3 Legge Approfondisci

esci 11 Il problema matematico LELLISSE COME LUOGO GEOMETRICO Dati nel piano due punti F 1 ed F 2, si dice ellisse E il luogo geometrico dei punti P di per cui è costante la somma delle distanze da F 1 ed F 2 : E = (P \ PF 1 +PF 2 = 2a; 2a>F 1 F 2 ) I punti F 1 ed F 2 si dicono fuochi dellellisse

esci 12 Equazione dellellisse Siano F 1 (c;0) ed F 2 (-c;0), con c 0 +, i fuochi e P(x;y) il punto generico dellellisse che verifica la condizione: PF 1 +PF 2 = 2a (a 0 + ) dovrà naturalmente risultare 2a>2c cioè a>c

esci 13 con a 2 -c 2 =b 2 Equazione canonica dellellisse Lequazione canonica dellellisse assume la forma:

esci 14 Proprietà dellellisse Lellisse è simmetrica rispetto agli assi coordinati

esci 15 Proprietà dellellisse La curva è compresa nel rettangolo delimitato dalle rette x=a, x=-a y=b, y=-b

esci 16 Eccentricità Si definisce eccentricità dellellisse il rapporto e=c/a Essendo: b 2 =a 2 -c 2 cioè c 2 =a 2 -b 2 con 0<e<1

esci 17 Il problema fisico Fu quello di stabilire la struttura fisica delle moto dei pianeti che orbitano intorno al Sole leggi del moto dei pianeti che orbitano intorno al Sole grandezze fisiche Struttura fisica significa, qui, individuazione delle grandezze fisiche che intervengono nel fenomeno equazioni ruolo Individuazione delle equazioni che regolano il moto, e del ruolo che queste ultime giocano nel processo di comprensione della stabilità delluniverso grandezze fisiche Le grandezze fisiche in gioco sono: A, dA/dt, L, m, M, v, ω, p, T, r, G

esci 18 Due ragioni del perché Keplero scelse come orbita lellisse Keplero trascorse tanto tempo studiando, con i dati di Tycho, lorbita di Marte, che rivelava essere tuttaltro che una circonferenza. Alcuni punti del cerchio non collimavano con i dati di Tycho: Keplero rilevò uno scostamento di 8 di arco dalle osservazioni di Brahe. Keplero sapeva che Brahe era stato un osservatore troppo accurato per poter commettere un errore di 8! Quindi…..

esci 19 Due ragioni del perché Keplero scelse come orbita lellisse Lellisse è una sezione conica, il cui contorno è il risultato del taglio trasversale di un cono circolare. La forma di questo contorno dipende dall inclinazione del taglio rispetto alla base del cono. La forma ottenuta è circolare se, e solo se, il taglio viene effettuato parallelamente alla base del cono. Per Keplero ciò significava che la possibilità che un pianeta percorresse unorbita circolare era praticamente nulla, cioè 1/!

esci 20 Il moto di un pianeta La figura mostra un pianeta di massa m che si muove su unorbita ellittica intorno al Sole che ha la massa M (M>>m)

esci 21 La 2a legge in forma schematica

esci 22 La 2a legge in termini qualitativi La 2 a legge afferma che il pianeta si muove: più lentamente quando è più lontano dal Sole (afelio) più rapidamente quanto più è vicino al Sole (perielio)

esci 23 Dal punto di vista dinamico Larea dello spicchio ombreggiato equivale quasi esattamente allarea coperta nel tempo t dal segmento r che congiunge il Sole al pianeta. Larea A dello spicchio è uguale allarea di un triangolo mistilineo con base larco s e altezza r: A=½base altezza=½ sr=½(r )r ½r 2 Questespressione di A diventa sempre più esatta quando t, e con esso, tende a 0.

esci 24 Durante lintervallo t il raggio r ruota intorno a S di un angolo

esci 25 La rapidità istantanea (velocità areolare) =dA/dt con la quale viene descritta larea è: =dA/dt=½r 2 d /dt=½r 2 dove è la velocità angolare del segmento rotante r che congiunge il pianeta al Sole.

esci 26 Ecco laspetto vettoriale del moto Il vettore p è la quantità di moto del pianeta Il vettore L è il momento angolare del pianeta rispetto al Sole, cioè: L=r p=r mv L=rm(v sinθ)=rmv =rmωr=mr 2 ω Eliminando r 2 ω fra le due equazioni si ottiene: dA/dt=L/2m

esci 27 Significato della 2 a legge dA/dt=L/2m Se il sistema è isolato L non varia e il secondo membro è costante. Viceversa, se il secondo membro è costante, allora la velocità areolare è costante e vale la 2 a legge di Keplero.

esci 28 La 3 a legge Consideriamo unorbita circolare di raggio r: per la 2 a legge di Newton: F=ma per pianeta in orbita. Sostituendo a F lespressione della legge di gravitazione F=GMm/r 2 e allaccelerazione centripeta a=ω 2 r si ottiene:

esci 29 quindi: (F) = m (a) (GMm/r 2 )=m (ω 2 r) Confrontando e sostituendo a ω=2 /T, (con T periodo del moto) si avrà: T 2 =(4 /GM)r 3

esci 30 Limiti di validità I ragionamenti sono validi nel nostro caso solo se le orbite sono circolari ma le leggi sono universalmente valide anche per orbite ellittiche La nostra dimostrazione è stata svolta nel caso di pianeti che ruotano intorno al Sole ma le leggi sono universali e valide in ogni rivoluzione planetaria o galattica Lassunzione di base è che la massa M del Sole sia molto più grande della massa m del pianeta in modo tale che il cento di massa del sistema pianeta-Sole (M+m) sia praticamente al centro del Sole Il sistema di riferimento è preso rispetto al Sole

esci 31 Lesattezza delle tre leggi di Keplero Le leggi di Keplero sono state confermate sperimentalmente in modo irrefutabile. Ma ci vollero ancora più di 50 anni prima che se ne potessero conoscere anche le cause: si è dovuto aspettare Isaac Newton per avere il quadro completo della teoria meccanico-gravitazionale

esci 32 Proposte di attività sperimentali per la costruzione di unellisse Metodo della moneta obliqua Metodo della deformazione del cerchio Metodo del disco rotante in una teglia Metodo dellinviluppo delle tangenti Metodo del filo teso Metodo della torcia inclinata

esci Ellisse = moneta obliqua

esci Ellisse = deformazione di un cerchio Si avvolge un foglio di carta su una bottiglia e si traccia una circonferenza con un compasso. Distendendo il foglio si ha unellisse, la cui forma dipende: dallapertura del compasso dal diametro della bottiglia cilindrica

esci Ellisse = disco rotante in una teglia Si ha una teglia con un foglio da disegno incollato sul fondo. Un disco circolare di cartone, di diametro d=½D avente un foro non nel centro, si fa rotolare senza strisciare nella teglia. La punta nel foro disegna unellisse. La forma dipende: dalla posizione del foro dal diametro della teglia

esci Ellisse = inviluppo delle tangenti Con un cerchio di carta si segna un punto (fuoco F) non nel centro (fuoco F). Si piega il disco in modo che un punto del bordo coincida con il punto segnato. Ripetere loperazione parecchie volte usando diversi punti del bordo.Si ottengono diverse piegature che sono le tangenti che inviluppano lellisse. La forma dipende: dalla posizione del fuoco F dal diametro del cerchio

esci Ellisse = filo teso Si fissano due puntine su unasticella di legno su cui vi è fissato un foglio. Si fa un anello di filo e si disegna lellisse tenendo teso il filo. La forma dipende: distanza delle puntine lunghezza del filo

esci Ellisse = torcia elettrica inclinata Avvolgete attorno a una torcia elettrica un foglio di alluminio con un forellino di circa 0,5 cm. Dirigete sul piano il cono di luce uscente dal forellino. Se la torcia è perpendicolare al piano otterrete un cerchio. A mano a mano che inclinate la torcia, il cerchio si trasforma in unellisse. La forma dipende: diametro del foro distanza della torcia dal piano

esci 39 LINKS Gioca con Keplero Animazione Mappa teorie astronomiche 1 Mappa teorie astronomiche 2 Keplero: vita ed opere Le leggi di Keplero Keplero:la vita e e le opere Simulazione (NASA)

esci 40 Bibliografia minima 1. T.S.Kuhn, La rivoluzione copernicana, Torino, Einaudi, 1972; 2. L.Motz-J.H.Weaver, La storia della fisica, Bologna, Cappelli Editore, 1991; 3. D.Halliday-R.Resnik-J.Walker, Meccanica, Bologna, Zanichelli, 2001; 4. A.Braccesi, Una storia della fisica classica, Bologna, Zanichelli, 1992; 5. G.Gamow, Biografia della fisica, Milano, 1961;