Le leggi di KEPLERO: Indice (Fai click sulle pergamene per vedere l’ animazione)

Le leggi empiriche di Keplero Discipline coinvolte: Storia Matematica Astronomia Fisica

Sommario Il problema generale delle Leggi di Keplero Il problema storico Il problema matematico Il problema astronomico Il problema fisico Sintesi Bibliografia

Il problema generale Fin dai tempi più remoti i movimenti dei pianeti, coi loro vagabondaggi sullo sfondo del cielo stellato, hanno rappresentato un affascinante mistero per l’umanità I volteggi di Marte erano i più sorprendenti La curva a cappio descritta dal pianeta Marte sullo sfondo della Costellazione del Capricorno

1a legge di Keplero o legge delle orbite Tutti i pianeti si muovono su orbite ellittiche, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi 1 Legge

Orbita ellittica

2a legge di Keplero o legge delle aree Il segmento che collega un pianeta al Sole descrive (spazza) aree uguali in tempi uguali A/t=cost. 2 Legge

3a legge di Keplero o legge dei periodi(*) Il quadrato del periodo di qualunque pianeta è proporzionale al cubo della sua distanza media dal Sole T2= k r3 (*) Chiamata anche legge armonica 3 Legge

Il problema matematico L’ELLISSE COME LUOGO GEOMETRICO Dati nel piano due punti F1 ed F2, si dice ellisse E il luogo geometrico dei punti P di  per cui è costante la somma delle distanze da F1 ed F2: E = (P\ PF1+PF2 = 2a; 2a>F1F2 ) I punti F1 ed F2 si dicono fuochi dell’ellisse

Equazione dell’ellisse Siano F1(c;0) ed F2(-c;0), con c0+, i fuochi e P(x;y) il punto generico dell’ellisse che verifica la condizione: PF1+PF2 = 2a (a 0+) dovrà naturalmente risultare 2a>2c cioè a>c

Equazione canonica dell’ellisse L’equazione canonica dell’ellisse assume la forma: con a2-c2=b2

Proprietà dell’ellisse L’ellisse è simmetrica rispetto agli assi coordinati

Proprietà dell’ellisse La curva è compresa nel rettangolo delimitato dalle rette x=a, x=-a y=b, y=-b

Eccentricità e=c/a b2=a2-c2 cioè c2=a2-b2 Si definisce eccentricità dell’ellisse il rapporto e=c/a Essendo: b2=a2-c2 cioè c2=a2-b2 con 0<e<1

Il problema fisico A, dA/dt, L, m, M, v, ω, p, T, r, G Fu quello di stabilire la “struttura fisica” delle leggi del moto dei pianeti che orbitano intorno al Sole Struttura fisica significa, qui, individuazione delle grandezze fisiche che intervengono nel fenomeno Individuazione delle equazioni che regolano il moto, e del ruolo che queste ultime giocano nel processo di comprensione della stabilità dell’universo Le grandezze fisiche in gioco sono: A, dA/dt, L, m, M, v, ω, p, T, r, G

Due ragioni del perché Keplero scelse come orbita l’ellisse Keplero trascorse tanto tempo studiando, con i dati di Tycho, l’orbita di Marte, che rivelava essere tutt’altro che una circonferenza. Alcuni punti del cerchio non collimavano con i dati di Tycho: Keplero rilevò uno scostamento di 8’ di arco dalle osservazioni di Brahe. Keplero sapeva che Brahe era stato un osservatore troppo accurato per poter commettere un errore di 8’! Quindi….. 1

Due ragioni del perché Keplero scelse come orbita l’ellisse L’ellisse è una sezione conica, il cui contorno è il risultato del taglio trasversale di un cono circolare. La forma di questo contorno dipende dall’ inclinazione del taglio rispetto alla base del cono. La forma ottenuta è circolare se, e solo se, il taglio viene effettuato parallelamente alla base del cono. Per Keplero ciò significava che la possibilità che un pianeta percorresse un’orbita circolare era praticamente nulla. 2

Il moto di un pianeta La figura mostra un pianeta di massa m che si muove su un’orbita ellittica intorno al Sole che ha la massa M (M>>m)

La 2a legge in forma schematica

La 2a legge in termini qualitativi La 2a legge afferma che il pianeta si muove: più lentamente quando è più lontano dal Sole (afelio) più rapidamente quanto più è vicino al Sole (perielio)

Dal punto di vista dinamico L’area dello spicchio ombreggiato equivale quasi esattamente all’area coperta nel tempo t dal segmento r che congiunge il Sole al pianeta. L’area A dello spicchio è uguale all’area di un triangolo mistilineo con base l’arco s e altezza r: A=½base altezza=½sr=½(r)r≅½r2 Quest’espressione di A diventa sempre più esatta quando t , e con esso , tende a 0.

Durante l’intervallo t il raggio r ruota intorno a S di un angolo 

La rapidità istantanea (velocità areolare) Å=dA/dt con la quale viene descritta l’area è: Å=dA/dt=½r2d/dt=½r2 dove  è la velocità angolare del segmento rotante r che congiunge il pianeta al Sole.

Ecco l’aspetto vettoriale del moto Il vettore p è la quantità di moto del pianeta Il vettore L è il momento angolare del pianeta rispetto al Sole, cioè: L=rp=rmv L=rm(v sinθ)=rmv=rmωr=mr2ω Eliminando r2ω fra le due equazioni si ottiene: Å=dA/dt=L/2m

Significato della 2a legge Å=dA/dt=L/2m Se il sistema è isolato L non varia e il secondo membro L/2m è costante. Viceversa, se il secondo membro è costante, allora la velocità areolare Å è costante e vale la 2a legge di Keplero.

La 3a legge per la 2a legge di Newton: F=ma per pianeta in orbita. Consideriamo un’orbita circolare di raggio r: per la 2a legge di Newton: F=ma per pianeta in orbita. Sostituendo a F l’espressione della legge di gravitazione F=GMm/r2 e all’accelerazione centripeta a=ω2r si ottiene:

quindi: (F) = m (a) (GMm/r2)=m (ω2r) Confrontando e sostituendo a ω=2/T, (con T periodo del moto) si avrà: T2/r3=(42/GM)=cost.

Limiti di validità I ragionamenti sono validi nel nostro caso solo se le orbite sono circolari ma le leggi sono universalmente valide anche per orbite ellittiche La nostra dimostrazione è stata svolta nel caso di pianeti che ruotano intorno al Sole ma le leggi sono universali e valide in ogni rivoluzione planetaria o galattica L’assunzione di base è che la massa M del Sole sia molto più grande della massa m del pianeta in modo tale che il cento di massa del sistema pianeta-Sole (M+m) sia praticamente al centro del Sole Il sistema di riferimento è preso rispetto al Sole

L’esattezza delle tre leggi di Keplero Le leggi di Keplero sono state confermate sperimentalmente in modo irrefutabile. Ma ci vollero ancora più di 50 anni prima che se ne potessero conoscere anche le cause: si è dovuto aspettare Isaac Newton per avere il quadro completo della teoria meccanico-gravitazionale

Proposte di attività sperimentali per la costruzione di un’ellisse Metodo della moneta obliqua Metodo della deformazione del cerchio Metodo del disco rotante in una teglia Metodo del filo teso Metodo della torcia inclinata

1. Ellisse = moneta obliqua

2. Ellisse = deformazione di un cerchio Si avvolge un foglio di carta su una bottiglia e si traccia una circonferenza con un compasso. Distendendo il foglio si ha un’ellisse, la cui forma dipende: dall’apertura del compasso dal diametro della bottiglia cilindrica

3. Ellisse = disco rotante in una teglia Si ha una teglia con un foglio da disegno incollato sul fondo. Un disco circolare di cartone, di diametro d=½D avente un foro non nel centro, si fa rotolare senza strisciare nella teglia. La punta nel foro disegna un’ellisse. La forma dipende: dalla posizione del foro dal diametro della teglia

4. Ellisse = filo teso Si fissano due puntine su un’asticella di legno su cui vi è fissato un foglio. Si fa un anello di filo e si disegna l’ellisse tenendo teso il filo. La forma dipende: dalla distanza tra le puntine dalla lunghezza del filo

5. Ellisse = torcia elettrica inclinata Avvolgete attorno a una torcia elettrica un foglio di alluminio con un forellino di circa 0,5 cm. Dirigete sul piano il cono di luce uscente dal forellino. Se la torcia è perpendicolare al piano otterrete un cerchio. A mano a mano che inclinate la torcia, il cerchio si trasforma in un’ellisse. La forma dipende: dal diametro del foro dalla distanza della torcia dal piano