Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie Laboratorio di Metodi Numerici a.a. 2008/2009

ODE nei problemi dellingegneria 1 Le leggi fondamentali della fisica, della meccanica, dellelettricità e della termodinamica si basano su osservazioni empiriche che descrivono delle variazioni nelle caratteristiche fisiche e di stato dei sistemi variazioni In genere, tali leggi invece di descrivere direttamente lo stato dei sistemi, sono presentate in termini di variazioni spaziali e temporali I modelli variazionali, combinati con leggi di conservazione dellenergia, della massa o dei momenti… … danno luogo ad equazioni differenziali che, integrate, producono espressioni matematiche che descrivono lo stato spaziale e temporale di un sistema, in termini di energia, massa o variazioni di velocità

ODE nei problemi dellingegneria 2 Legge Espressione matematica Variabili e parametri Seconda legge del moto di Newton Velocità v, forza F e massa m Legge di Fourier sul calore Conducibiltà termica k e temperatura T Legge di Fick sulla diffusione Coefficiente di diffusione D e temperatura T Legge di Faraday sulla caduta di tensione nellinduttore Induttanza L e corrente i Legge di conservazione della massa Volume V e concentrazione c

Equazioni differenziali ordinarie 1 Definizione: Definizione: Sia dove è un intervallo e è un aperto; equazione differenziale ordinaria si dice equazione differenziale ordinaria (ODE) di ordine n una relazione del tipo dove è la derivata i esima della funzione ordine L'ordine di un'equazione è l'ordine massimo di derivazione che vi compare ordinario L'aggettivo ordinario si riferisce al fatto che l'incognita è una funzione di una sola variabile Si parla invece di equazioni differenziali alle derivate parziali quando l'incognita è funzione di più variabili

Esempio II legge di Newton II legge di Newton La forza è uguale alla velocità di variazione del momento (massa velocità mv ) rispetto al tempo F : forza v : velocità m : massa (costante) a : accelerazione

Equazioni differenziali ordinarie 2 Equazione differenziale del primo ordine x : variabile indipendente y : variabile dipendente solo da x ordinaria Lequazione è ordinaria La funzione y tale che descrive una famiglia (infinita) di soluzioni = f(x,y) dx dy

Esempio Per lequazione differenziale ordinaria una famiglia di soluzioni è data da con c costante arbitraria y0y0 x0x0 x y = y y

Esempio Per lequazione differenziale ordinaria una famiglia di soluzioni è data da con C costante arbitraria 3.5 0

Problemi ai valori iniziali e al contorno condizioni iniziali Per definire completamente la soluzione di unequazione differenziale, ovvero per scegliere una particolare curva nella famiglia infinita delle soluzioni, occorre fissare delle condizioni iniziali In ODE di ordine n, per avere una soluzione unica, occorrono n condizioni Quando tutte le condizioni sono fissate per un medesimo valore della variabile indipendente si ha un problema ai valori iniziali Nei problemi al contorno le condizioni aggiuntive sono fornite, viceversa, per diversi valori della variabile indipendente

Osservazione Le equazioni differenziali di ordine n possono essere ricondotte a sistemi di eq. diff. del primo ordine

Il problema di Cauchy IVPInitial Value Problem Definisce la forma generale dei problemi ai valori iniziali (IVP Initial Value Problem) con: condizione iniziale y(x 0 )=y 0 intervallo di integrazione [a,b]

Metodi numerici Per la soluzione numerica di equazioni differenziali si suppone che il problema sia ben posto (i.e. esista unica la soluzione) e che dipenda con continuita dai dati iniziali (hp. cruciale dal punto di vista numerico). Tali condizioni sono verificate, per esempio, se la funzione f e uniformemente lipschitziana rispetto a y. Tutti i metodi sono basati sullidea di discretizzare lintervallo di integrazione [a,b], mediante un insieme di rete I N ={x n ε[a,b]: x n= x n-1 + h n, x n=b }, e di approssimare la soluzione mediante una funzione di rete {y n, n=0,…N} I vari metodi numerici si distinguono per come costruiscono la funzione di rete {y n }. Essi possono essere raggruppati in 2 classi principali: 1. Metodi one-step: il valore y n+1 viene calcolato utilizzando solo y n. 2. Metodi multistep il valore y n+1 viene calcolato utilizzando k approssimazioni precedenti y n, y n-1,…, y n-k+1.

La derivata prima fornisce direttamente la pendenza nel punto x i dove f(x i,y i ) è lequazione differenziale valutata in (x i,y i ) Pertanto la formula di Eulero è: Si calcola un nuovo valore di y i+1 servendosi della pendenza (uguale alla derivata prima calcolata nel punto di partenza x i ) per estrapolare linearmente lungo lintervallo h Il metodo di Eulero vero y h xixi x i+1 x stimato errore }

Errore di troncamento Per valutare la bonta di un metodo si introduce lerrore di troncamento: Definizione: si definisce errore di troncamento locale la quantita: ovvero la quantita a meno della quale la soluzione continua soddisfa il metodo discreto. Si definisce poi lerr. di troncamento unitario t i+1 =1/h τ i+1 Per i metodi one-step espliciti si puo dare una semplice interpretazione geometrica dellerrore di troncamento locale. Posto

Errore globale di discretizzazione Lerrore globale di discretizzazione e definito come il termine (*) e la differenza tra due soluzioni del PVI esso dipende da quanto le soluzioni si discostano tra loro ( dipende da come si sono propagati gli errori locali di troncamento introdotti ai passi precedenti) Il termine (**) e dato dallerrore di troncamento locale e rappresenta lerrore introdotto al passo (i+1)-esimo. Definizione: un metodo e consistente se lim h 0 t n+1 =0. Esso ha poi ordine p se t n+1 =o(h p ) Per la convergenza occorre che laccumulo degli errori locali non esploda quando h diventa piccolo stabilita (zero stabilita) CONVERGENZA = CONSISTENZA +STABILITA

I metodi di Runge Kutta (RK) 1 I metodi RK sono tutti esprimibili attraverso la formula funzione incremento dove (x i,y i,h) è detta funzione incremento e può essere interpretata come la pendenza media della funzione nellintervallo di integrazione La funzione può essere espressa nella forma generale in cui a i sono costanti e k i sono definite da

I metodi di Runge Kutta (RK) 2 Il numero di valutazioni della funzione f, r, e chiamato numero degli stadi Si possono ottenere diversi tipi di metodi RK utilizzando un numero differente r Il metodo RK del primo ordine è il metodo di Eulero ( r 1, a 1 1 ) Dopo aver scelto r, i valori delle quantità a i, b i, c ij possono essere calcolati uguagliando opportunamente i termini della formula generale con i corrispondenti termini della serie di Taylor

Runge Kutta del 2 ° ordine Vediamo come… La versione del secondo ordine della formula RK è dove Per determinare i valori di a 1, a 2, b, e c, si ricordi che la serie di Taylor che esprime y i+1 in termini di y i troncata al 2 o ordine, è data da con

I metodi di Runge Kutta (RK) 4 Pertanto si ottiene Le due espressioni ottenute per y i+1 possono quindi essere eguagliate ma, per far ciò, occorre preventivamente sviluppare in serie di Taylor lespressione di k 2 in un intorno di (x i,y i )

Il sistema di tre equazioni in quattro incognite appena descritto non ammette soluzione unica Non esiste un solo metodo del secondo ordine, ma unintera famiglia di metodi Aumentando il numero degli stadi si costruiscono metodi di ordine superiore. In realta Butcher ha dimostrato che solo per metodi di ordine fino a 4 ce coincidenza tra numero di stadi e ordine del metodo. Poi le cose vanno leggermente peggio: I metodi di Runge Kutta (RK) 6