Lezione 14 Equazione di Dirac (seconda parte): forma covariante della equazione matrici gamma covarianza dell'equazione di Dirac azione della parità sull'eq. di Dirac

Forma covariante dell’equazione di Dirac Per ripristinare la simmetria tra le coordinate spaziali e quella temporale, prendiamo l’equazione di Dirac: ħ=c=1 Moltiplichiamo tutto a sinistra per b: Poniamo per definizione: Otterremo così l’equazione di Dirac in forma covariante: 

Rappresentazione di Dirac-Pauli Nella rappresentazione di Dirac-Pauli, le matrici g hanno la seguente forma: cioè solo la matrice g0 è diagonale. Il fatto che le matrici g (o a) contengano le matrici di Pauli, ci fa capire che esse sono connesse allo spin della particella. La matrice 5 = -i g0 g1 g2 g3 (che sarà utile in seguito per la descrizione delle interazioni deboli) ha la seguente forma:

Rappresentazione di chiralità Nello studio delle interazioni elettrodeboli, è più comodo adoperare una rappresentazione nella quale è diagonalizzata la matrice g5 definita come la seguente combinazione di matrici g: g5 = i g0 g1 g2 g3

Caratteristiche delle matrici  Dalle proprietà delle matrici ak e b deduciamo che: la matrice g0 è hermitiana, mentre le matrici gk sono antihermitiane: g0 = b  (g0)†= b† = b = g0 gk = bak  (gk)†= (bak)† = (ak)† b† = ak b = – b ak = – gk 2) il quadrato di g0 è la matrice identità, quello delle gk è l'identità cambiata di segno: (g0)2 = (b)2 =144 (gk)2 = (bak )(bak) = – ak b bak = – akak = – 144 3) le matrici g godono delle seguenti proprietà di anticommutazione:

Equazione di continuità dall’eq. di Dirac  r = y† y = y† g0 g0 y = y g0 y j i = y† ai y = y† b b ai y = y† g0 gi y = y gi y dove abbiamo definito: y = y † g0  e ji sono le componenti di un quadrivettore (cioè si trasformano con la stessa legge di trasformazione di un quadrivettore):  jm = y gm y L’equazione di continuità può, al solito essere riscritta, in forma covariante: ∂m jm = 0

Prova della covarianza dell'equazione di Dirac Vogliamo ora provare che l'equazione di Dirac è effettivamente covariante. Chiamiamo y(x) la funzione d'onda che descrive la particella in un certo sistema di riferimento O(x, y, z) e che soddisfa l'equazione di Dirac in quel sistema: Siano O'(x', y', z') il nuovo sistema di riferimento ottenuto dal precedente per moto relativo traslatorio uniforme e y'(x') la funzione d'onda nella quale si trasforma y(x) per effetto della traslazione, che può essere ottenuta applicando a y(x) una matrice S4x4: Perchè l'equazione di Dirac sia covariante, occorre che la funzione y'(x') sia anch'essa soluzione dell'equazione di Dirac nel nuovo sistema di riferimento O'(x', y', z'): Se riusciamo a trovare la trasformazione che permette di soddisfare tale condizione, abbiamo dimostrato la covarianza.

Ricordiamo che le coordinate spazio-temporali si trasformano nel modo seguente: mentre le derivate si trasformano nel modo seguente: Sfruttando le (2a), la (2) potrà essere riscritta così: N.B. Non confondete S con L: L ci fornisce la legge di trasformazione del quadri-vettore xm per effetto della traslazione, mentre la matrice S ci fornisce la legge di trasformazione dello spinore y(x) per effetto della stessa traslazione. L'operatore S sarà quindi una matrice (44) perchè deve agire su uno spinore colonna (41) per trasformarlo in un altro spinore colonna (41). Pertanto possiamo farlo filtrare all'interno delle derivate e degli elementi di matrice Lrn e metterlo a contatto con le matrici g che sono matrici (44): Applichiamo a sinistra dell'equazione (4) l'operatore S-1:

L'equazione (5) è formalmente identica all'equazione di Dirac nel sistema O(x, y, z): purchè sia: Per trovare la legge secondo cui si trasformano le matrici g moltiplichiamo ambo i membri della (6) per Lmr: Ricordiamo che deve essere: in quanto la norma degli stati deve conservarsi sotto le trasformazione di Lorentz:

Pertanto la (7) diventa: Si può dimostrare che i risultati delle (8) sono ancora delle matrici g di Dirac (che cioè soddisfano alle stesse regole di anticommutazione delle matrici g). La (8) può quindi essere considerata come la legge di trasformazione delle matrici g per effetto della traslazione spaziale: Questa è la stessa legge di trasformazione del quadri-vettore delle cordinate spazio-temporali: e ciò è una conferma del fatto che è stato corretto considerare le matrici g come le quattro componenti di un quadrivettore, perchè esse si trasformano proprio come un quadrivettore per effetto di una trasformazione di Lorentz di traslazione spaziale. N.B. La legge di trasformazione (9) delle matrici g vale in generale per qualsiasi trasformazione detta di Lorentz propria e cioè una trasformazione unitaria e con det L=1, dove la L ci dà la legge di trasformazione del quadrivettore spazio-tempo (10) e S=S(L) ci fornisce la legge di trasformazione dello spinore (1a) e quindi delle matrici g (8) o (9).

COVARIANZA DELLA QUADRICORRENTE PER EFFETTO DI UNA TL PROPRIA La legge di trasformazione della quadricorrente per effetto di una trasformazione di Lorentz propria è la seguente: Se y(x) si trasforma con la legge che abbiamo visto: allora y(x) si trasformerà con la legge seguente: † † † † † dove (non lo dimostriamo): † † e la (11) diventa: † † †

Pertanto jm si trasformerà con la legge seguente: Ma abbiamo già visto (eq. 8) che il termine in parentesi ci fornisce la legge di trasformazione delle matrici g: Pertanto la (13) diventa: Pertanto abbiamo correttamente interpretato jm come una quadricorrente in quanto essa effettivamente si trasforma con le stesse leggi di trasformazione di un quadrivettore per effetto di una trasformazione di Lorentz propria.

Effetti dell'operazione di parità sull' equazione di Dirac Chiamiamo y(x) la funzione d'onda che è soluzione dell'equazione di Dirac: e y'(x') la funzione d'onda ottenuta applicando a y(x) un'operazione di parità: Chiediamo che sia anch'essa soluzione dell'equazione di Dirac ottenuta applicando l'operatore di parità P: L'operatore P sarà una matrice 44 perchè deve agire su uno spinore colonna 41 per trasformarlo in un altro spinore colonna 41. Pertanto possiamo farlo filtrare all'interno delle derivate e metterlo a contatto con le matrici g che sono matrici 44:

Applichiamo a sinistra dell'equazione (2) l'operatore P-1: Se vogliamo che l'equazione di Dirac sia invariante per operazioni di parità, l'equazione di Dirac (1), che scriviamo in forma esplicita: e l'equazione (2) o (3), che è una conseguenza della (2), devono coincidere. Perchè ciò avvenga deve essere:

Una possibile matrice P che soddisfa a queste condizioni è la matrice g 0. Infatti per le proprietà di anticommutazione delle matrici g abbiamo: In generale possiamo porre: Perchè l'operatore sia unitario cioè conservi ad esempio la densità di probabilità, occorre che sia: La definizione di P è arbitraria a meno di questo fattore di fase, ma mostreremo tra poco che, una volta scelto P, la parità intrinseca del fermione e quella dell'antifermione saranno comunque opposte.