Equazione di Dirac per la y La funzione y è definita come: † Prendiamo l'equazione di Dirac: Facciamone l'aggiunta: † † † Moltiplichiamo tutta l'equazione a destra per g0: † † † Dal momento che g0 g0 = 144 possiamo inserire qui questo prodotto: † † † † † †

Si può dimostrare che vale la seguente relazione: † (1) Si può dimostrare che vale la seguente relazione: † Pertanto la (1) diventa: (2) Se vogliamo scrivere la (2) in modo analogo all'equazione di Dirac per y, dobbiamo ricordarci che y è un vettore riga e quindi deve essere posto a sinistra di g. Indicheremo allora con il seguente simbolo: l'applicazione della derivata a sinistra, cioè a y. EQUAZIONE DI DIRAC PER y

Effetti dell'operazione di parità sull' equazione di Dirac Chiamiamo y(x) la funzione d'onda che è soluzione dell'equazione di Dirac: e y'(x') la funzione d'onda ottenuta applicando a y(x) un'operazione di parità e che chiediamo sia anch'essa soluzione dell'equazione di Dirac, nella quale abbiamo applicato l'operatore P: L'operatore P sarà una matrice 44 perchè deve agire su uno spinore colonna 14 per trasformarlo in un altro spinore colonna 14. Pertanto possiamo farlo filtrare all'interno delle derivate e metterlo a contatto con le matrici g che sono matrici 44:

Applichiamo a sinistra dell'equazione (2) l'operatore P-1: Se vogliamo che l'equazione di Dirac sia invariante per operazioni di parità, l'equazione di Dirac (1): e l'equazione (2) o (3), che è una conseguenza della (2), devono coincidere. Perchè ciò avvenga deve essere:

Una possibile matrice P che soddisfa a queste condizioni è la matrice g0. Infatti per le proprietà di anticommutazione delle matrici g abbiamo: In generale possiamo porre: Perchè l'operatore sia unitario cioè conservi ad esempio la densità di probabilità, occorre che sia: Il fattore hP è detto "parità intrinseca" della particella ed è arbitrario, ma si può mostrare che, una volta attribuito hP =1 al fermione, il suo antifermione avrà necessariamente hP = -1.

FORME BILINEARI COVARIANTI Studiamo il comportamento delle diverse forme bilineari covarianti cioè espressioni della forma per effetto di una trasformazione di Lorentz e per effetto dell'operazione di parità (non lo dimostreremo): dove Ga è una delle seguenti matrici o prodotti di matrici:

Se si applicano trasformazioni di Lorentz, la forma bilineare y g5 y ci appare come uno scalare. Solo se applichiamo una trasformazione di parità essa ci apparirà per quello che realmente è e cioè uno pseudo-scalare.