Analisi e Gestione del Rischio Lezione 9 Non normalità dei rendimenti e simulazione storica

Non normalità dei rendimenti L’assunzione di normalità dei rendimenti non è generalmente supportata dai dati: Asimmetria Leptocurtosi La non-normalità dei rendimenti riguarda sia la specificazione della distribuzione dei fattori di rischio sia la determinazione dei prezzi.

Informazione implicita e storica La letteratura sulla non normalità dei rendimenti riguarda sia l’informazione storica (analisi serie storiche) sia l’informazione implicita (analisi dei prezzi delle opzioni) Modelli econometrici: hanno studiato possibili distribuzioni alternative alla distribuzione normale Modelli finanziari: hanno cercato tecniche alternative di determinazione dei prezzi dei titoli derivati (opzioni) coerenti con distribuzioni alternative a quella normale

Oltre Black & Scholes Il modello di Black & Scholes implica la stessa volatilità per ogni contratto derivato Dal crash del 1987, questa regolarità non è supportata dai dati La volatilità implicita varia per diversi strike (smile effect) La volatilità implicita varia per diverse date di esercizio (struttura a termine di volatilità) Il sottostante non ha distribuzione log-normale.

Smile, please!

Non-normalità dei rendimenti La distribuzione normale è completamente descritta dai primi due momenti, media e varianza. La varianza di una variabile a distribuzione normale è costante. Non normalità dei rendimenti significa che la varianza Non esiste (es. distribuzioni di Cauchy) E’ una variabile stocastica

Momento terzo: asimmetria La distribuzione normale è simmetrica. Distribuzione non normale può significare asimmetria nella distribuzione, cioè diversa probabilità di aumento e diminuzione del prezzo I trader sanno che una distribuzione asimmetrica è legata a volatilità implicite decrescenti all’aumentare della moneyness (trade the skew)

Momento quarto: curtosi La distribuzione normale standard ha curtosi pari a 3. Distribuzioni con eccesso di curtosi presentano il cosiddetto fenomeno di “code grasse” (fat tails) Leptocurtosi significa che la probabilità di eventi estremi è maggiore di quanto previsto dalla distribuzione normale Evidenza da serie storiche: ad esempio, un evento come il crollo di borsa del 19/10/87 avrebbe, sotto l’ipotesi di normalità dei rendimenti una probabilità pari a 10-160!!

Modelli econometrici I primi modelli econometrici utilizzati per spiegare la non-normalità dei rendimenti sono stati i modelli Garch. L’assunzione è che il il rendimento di un titolo segua una distribuzione a media zero e varianza ht: H(0,ht). La varianza varia nel tempo in funzione di un processo autoregressivo, ad esempio ht =  +  shock2t-1 +  ht -1

Modelli Arch/Garch Nei modelli Arch/Garch standard si assume che i rendimenti condizionali siano distribuiti normalmente: H(.) è la distribuzione normale In applicazioni più evolute si assume che anche H non sia distribuita normalmente, ma che sia per esempio una T-student o una funzione GED (generalised error distribution). In alternativa possono anche venire anche utilizzate delle metodologie non parametriche (semi-parametric Garch)

Asimmetria di volatilità Un problema dei modelli Garch è che la risposta del rendimento a shock di segno diverso è la stessa. Possibili soluzioni consistono nel distinguere il segno nella equazione dinamica della volatilità Threshold-GARCH (TGARCH) ht =  +  shock2t-1 +  D shock2t-1 +  ht -1 D = 1 se lo shock è positivo e zer altrimenti Utilizzare una forma esponenziale EGARCH log(ht ) =  + g (shockt-1 / ht -1 ) +  log( ht -1 ) con g(x) = x + ( x - E(x )).

Il problema della persistenza Uno dei problemi dei modelli Garch è il fatto che la stima della volatilità su orizzonti più lontani non è affidabile. Un problema molto rilevante per prodotti di finanza strutturata. Soluzioni: Component Garch: ripartizione della varianza in una componente di trend e una di breve periodo Figarch (Fiegarch): la varianza segue un processo autoregressivo a “integrazione frazionaria”.

Dai modelli Garch ai modelli a volatilità stocastica Un limite dei modelli Garch è che sia la dinamica della variabile che la sua volatilità sono determinati dallo stesso shock. Perché non considerare due shock distinti, anche se correlati, tra la variabile e la sua volatilità? Modelli a volatilità stocastica. ht =  +  shock2t-1 +  ht -1 + 2t -1

Break strutturali Un altro modo di rappresentare la volatilità nel tempo è quello di assumere che la volatilità possa cambiare con un processo “a salto”. Modelli “switching regime”: la volatilità del processo varia tra un numero finito di possibili “stati” Modelli “a salto”: la volatilità procede per variazioni “finite”, piuttosto che continue.

Dati ad alta frequenza Per alcuni mercati sono disponibili dati ad alta frequenza (transaction data o tick-by-tick). Vantaggi: poter analizzare il processo dinamico del prezzo su intervalli di tempo molto brevi Svantaggi: le statistiche possono essere sporcate da questioni di “microstruttura dei mercati finanziari” Modelli “realised variance”: utilizzare statistiche intra-giornaliere per rappresentare la varianza, invece della variazione (logaritmica) al quadrato su base giornaliera.Tipicamente vengono rilevati i rendimenti su intervalli di 5 minuti. Ne viene calcolata la varianza e successivamente la dinamica giornaliera.

Processi stocastici subordinati Considerate la sequenza delle variazioni logaritmiche del prezzo in un intervallo dato, ad esempio 5 minuti. Il rendimento cumulato R = r1 + r2 +… ri + …+ rN è una variabile che dipende dai processi stocastici a) i rendimenti logaritmici ri. b) il numero delle transazioni N. R è un processo stocastico subordinato e N è il processo subordinatore. Clark (1973) mostra che R è un processo a “code grasse”. La volatilità sale quando sale il numero delle transazioni, ed è per questo correlata con i volumi.

Orologio stocastico Il fatto che il numero delle transazioni come variabile stocastica induca non-normalità dei rendimenti suggerisce la possibilità di ricavare la normalità dei rendimenti, ponderandoli per tenere conto del diverso numero delle transazioni. In pratica l’unità di misura del tempo viene cambiata in funzione del numero delle transazioni. Il tempo si dilata e si restringe con il numero di transazioni (stochastic clock)

Processi di Lévy Non solo il tempo viene considerato non continuo, anche i prezzi non sono variabili continue, ma variano di numeri di tick di dimensione finita. Per questo motivo, un possibile modello di rappresentazione dei prezzi è dato da una variabile “a salti puri” (pure jump). Processi stocastici misti (diffusivi e a salti) sono noti come processi di Levy. Esempi di utilizzo di processi di Levy: modelli Variance-Gamma, modelli CGMY (Carr-Geman-Madan-Yor).

Fat tails Affrontare la non-normalità dei rendimenti richiede la soluzione di tre problemi Tecniche di compressione dei dati per l’applicazione di modelli univariati Determinazione del tipo di informazione da utilizzare Scelta del modello da utilizzare in sostituzione della distribuzione normale

Compressione dei dati Prima opzione: rivalutare il portafoglio corrente su dati storici e stimare o simulare la distribuzione con tali dati. Seconda opzione: stimare la distribuzioni dei fattori di rischio più rilevanti e le sensitività del portafoglio a tali fattori Terza opzione: le tecniche statistiche tradizionali (componenti principali e modelli fattoriali)

La distribuzione dei rendimenti Prima opzione: scegliere un nuovo modello, o una nuova classe di modelli di distribuzione Seconda opzione: simulare la distribuzione utilizzando dati storici Terza opzione: determinare scenari estremi per la distribuzione

Simulazione storica classica Rivalutazione del portafoglio su dati storici ogni insieme di dati storici rappresenta un possibile scenario di mercato Calcolo dei profitti e perdite del portafoglio sotto ogni scenario Ordinamento degli scenari per dimensione della perdita istogramma che rappresenta la distribuzione empirica di profitti e perdite Calcolo del percentile empirico. Es. su 100 dati il peggiore rappresenta il VaR all’1%.

L’istogramma FIAT

Simulazione storica classica Problemi I dati possono non essere identicamente e indipendentemente distribuiti (i.i.d.) In particolare, la distribuzione dei rendimenti futuri può variare al variare delle condizioni di mercato Periodi di alta e bassa volatilità possono essere raggruppati (volatility clustering) Effetti Sotto o sopravvalutazione del VaR.

Autocorrelazione della volatilità

Simulazione storica filtrata Barone-Adesi e Giannopoulos Barone-Adesi e Giannopoulos hanno proposto una modifica dell’algoritmo di simulazione storica basato sul filtraggio preventivo dei dati. Simulazione storica filtrata Rivalutazione del portafoglio su dati storici Stima di un modello Garch su tale serie Utilizzo delle stime per filtrare i dati Utilizzo di tecniche bootstrap per simulare l’evoluzione dei rendimenti e della volatilità

Simulazione storica filtrata: l’algoritmo Step 1. Rivalutazione del portafoglio sulla base di dati storici, e calcolo di profitti e perdite in ogni scenario Step 2. Specificazione e stima di un modello Garch, ad es.

Filtraggio dei dati Step 3. Calcolare e salvare la serie storica dei residui t, per t = 0, 1, …,T Step 4. Calcolare e salvare la serie storica delle volatilità t, per t = 1, …,T + 1 Step 5. Calcolo della serie storica dei residui filtrati zt = t / t per t = 1, …,T

L’algoritmo bootstrap… Step 6. Estrarre n residui filtrati dalla serie storica zt = z(1), z(2), …,z(n) n è il numero di giorni che rappresenta il periodo di smobilizzo Step 7. Porre il rendimento simulato al tempo T + 1 uguale a RT+1 = z(1) T+1 = T+1 Step 8. Calcolo della volatilità T+2.

RT+1 + RT+2 + … + RT+i … + RT+n …prima iterazione Step 9. Ripetere gli step 7 e 8 calcolando RT+i = z(i) T+i = T+i per i = 2, …,n – 1 Step 10. Calcolare e salvare RT+n = z(n) T+n = T+n RT+1 + RT+2 + … + RT+i … + RT+n

…ripetere NITER volte Step 11. Ripetere gli step dal 6 al 10 un numero NITER (es. 1000) di iterazioni. Step 12. Ordinare gli scenari per dimensione della perdita (istogramma) Step 13. Calcolare il percentile empirico dell’istogramma Es. nel caso di 1000 iterazioni scegliere il valore decimo peggiore per un percentile dell’1%, il 50 peggiore per il 5%...

Applicazioni Con questa metodologia sono determinati margini alla London Clearing House Recentemente, in un lavoro Barone-Adesi, Engle e Mancini, la metodologia è stata applicata alla valutazione di opzioni. In questo caso si utilizza l’algoritmo sopra descritto utilizzando per n i giorni mancanti all’esercizio.