Analisi e gestione del rischio Lezione 15 Tecniche di valutazione di CDO

Valutazione di tranche equity Il valore di tranche equity è rappresentato da opzioni put. Dalla parità put-call EL + Equity = K + Call Se assumiamo che le perdite abbiano una distribuzione lognormale Equity(K) = K – EL + E(L) N(d + s) – KN(d) = – EL(1 – N(d + s)) + K(1 – N(d )) = – EL(N(– d – s)) + K (N(– d)) che ricorda la formula di Black e Scholes

Tranche equity e senior Come nei modelli strutturali, tutte le tranche sono influenzate nella stessa direzione da cambiamenti di valore dell’attivo. L’aumento delle perdite penalizza tutte le tranche. Le tranche equity sono inoltre avvantaggiate da aumenti della volatilità, mentre il valore delle tranche senior sono avvantaggiate da riduzioni della volatilità. Poiché l’attivo è rappresentato da portafogli il parametro rilevante è la correlazione più che la volatilità.

Default Probability Correlation 0% Correlation 20% Correlation 95% MC simulation pn a basket of 100 names

Copula gaussiana e correlazione implicita La tecnica standard di valutazione utilizzata sul mercato è basata sulla copula gaussiana C(u1, u2,…, uN) = N(N – 1 (u1 ), N – 1 (u2 ), …, N – 1 (uN ); ) dove ui è la probabilità dell’evento i  T e i è il tempo di default del nome i-esimo. E’ utilizzata la stessa correlazione  per tutta la matrice. Questa correlazione sintetizza di fatto l’informazione presente nel prezzo, e per questo viene spesso utilizzata per le quotazioni. Si tratta di quella che è nota sul mercato come correlazione implicita: la correlazione che impiegata nella copula gaussiana restituisce il valore della “tranche”. Si noti che in generale il valore della tranche non è funzione monotona della correlazione, e il valore di correlazione implicita che può essere ricavato da una tranche può non essere unico.

Relazioni di arbitraggio Assumiamo di conoscere la perdita attesa di due tranche equity 0-% e 0-% ( > ) : qual è il prezzo della tranche mezzanina -%? Non è difficile vedere che per escludere possibilità di arbitraggio dobbiamo avere EL(0-%) – EL(0- %) = EL( -%) Si noti che si tratta di una relazione di arbitraggio come quella che determina il prezzo di un call spread.

Base correlation/implied correlation Sul mercato è definita base correlation la correlazione delle “equity tranche”: (0- ) e (0- ). Si noti che le perdite su “equity tranche” sono monotone nella correlazione e quindi la base correlation ottenuta dal prezzo di una tranche è unica. La correlazione implicita ( - ) (compound implied correlation) è legata alla base correlation dalla relazione di arbitraggio EL((0- )) – EL((0- )) = EL(( -)) La forma della curva della correlazione implicita per diversi livelli di perdita è detta “correlation smile”

Base correlation

Copula gaussiana e correlazione implicita La tecnica standard di valutazione utilizzata sul mercato è basata sulla copula gaussiana C(u1, u2,…, uN) = N(N – 1 (u1 ), N – 1 (u2 ), …, N – 1 (uN ); ) dove ui è la probabilità dell’evento i  T e i è il tempo di default del nome i-esimo. E’ utilizzata la stessa correlazione  per tutta la matrice. Questa correlazione sintetizza di fatto l’informazione presente nel prezzo, e per questo viene spesso utilizzata per le quotazioni. Si tratta di quella che è nota sul mercato come correlazione implicita: la correlazione che impiegata nella copula gaussiana restituisce il valore della “tranche”. Si noti che in generale il valore della tranche non è funzione monotona della correlazione, e il valore di correlazione implicita che può essere ricavato da una tranche può non essere unico.

Tecniche di valutazione La valutazione di “tranche” dipende in maniera cruciale dal rischio di credito dei “nomi” dell’attivo della SPV e dalla loro correlazione La prassi di mercato è assumere che la correlazione tra i tempi di default dei vari “nomi” portafoglio sia la stessa per tutti. Questo è legato all’assunzione che essi siano generati da un modello fattoriale nel quale il rischio idiosincratico e sistematico (rappresntato dal fattore M) hanno lo stesso peso per tutti i nomi.

Tecniche di valutazione Le “tranche” possono essere valutate con due strategie alternative Simulazione Monte Carlo della probabilità congiunta di default dei “nomi”. Integrazione numerica della probabilità di default condizionale dei “nomi”

Simulazione dei tempi di default con le funzioni di copula Generazione di variabili casuali dalla copula Gaussiana di dimensione N Trovare la scomposizione di Cholesky A di R Simulare n variabili casuali indipendenti z = (z1,..., zn)’ da N(0,1) Porre x = Az Porre ui = N(xi) con i = 1,2,...,n dove N denota la distribuzione normale standard univariata (y1,...,yn)’ =[F1-1(u1),...,Fn-1(un)] dove Fi denota la i-esima distribuzione marginale. Nel caso dei tempi di default abbiamo ui =exp(– ii) da cui i = – ln(ui )/i

Valutazione Monte Carlo di tranche La valutazione delle tranche è ottenuta Generando tempi di default i come dalla slide precedente Calcolando l’impatto delle perdite sul valore del capitale delle diverse tranche (sistema di waterfall) Calcolando il valore dei flussi di capitale e interessi delle diverse tranche con la funzione di sconto appropriata. Ripetendo i passi da 1 a 3 per un numero N di iterazioni Calcolando il valore di ciascuna tranche come la media aritmetica dei valori sugli N scenari

Valutazione con la funzone di copula condizionale Un strategia alternativa di valutazione consiste nel condizionare il valore della tranche rispetto al fattore comune M. In questo modo i default dei “nomi” sono resi independenti e le tranche possono essere valutate di conseguenza. La valutazione è poi ottenuta integrando il valore sui diversi valori del fattore comune M.

Valutazione condizionale I Assumiamo di condizionare le probabilità di default degli i = 1, 2, …, N nomi rispetto a un particolare scenario m del fattore M in un modello gaussiano. Denotando pi la probabilità di default entro il tempo T e i la correlazione del nome i-esimo otteniamo la probabilità di default condizionale

Valutazione condizionale II Poiché le probabilità di default condizionali sono indipendenti, i default e le perdite Li possono essere modellate utilizzando la funzione generatrice dei momenti di una distribuzione binomiale (Laurent e Gregory)

Valutazione non condizionale Una volta che il valore di ogni tranche è calcolato sotto lo scenario M = m la probabiltà non-condizionale di un numero L(i) di default è ottenuta integrando la probabilità condizionale sugli scenari.

Valutazione non-condizionale Una volta ottenuta la probabilità di default non condizionale il valore delle tranche è calcolata dalla perdita attesa corrispondente

Modello fattoriale gaussiano Assumiamo un modello in cui c’è un singolo fattore di rischio alla radice di tutte le perdite. La struttura di dipendenza è gaussiana. In termini di probabilità condizionale dove M è il fattore comune e m è uno scenario particolare.

Modello di Vasicek Vasicek propose un modello in cui un numero molto grande di esposizioni ha la stessa probabilità di default e la stessa dipendenza dal fattore comune Probabilità di una percentuale di perdite Ld:

Il valore delle tranche Il valore medio della distribuzione è p, il valore è la probabilità di default di ogni individuo Il valore della tranche equity con detachment Ld è Equity(Ld) = (Ld – N(N-1(p); N-1 (Ld);sqr(1 – 2)) Il valore della tranche senior tranche con attachment Ld è Senior(Ld) = (p – N(N-1(p); N-1 (Ld);sqr(1 – 2)) dove N(N-1(u); N-1 (v); ) è la copula gaussiana.

Copertura delle tranche Le tranche di un CDO non-standard (bespoke CDO) possono essere coperte con gli indici di credito (iTraxx, CDX) con altre tranche Il mistero di maggio-giugno 2005 Posizioni lunghe in equity coperte con il mezzanino detenute dai fondi furono vanificate da un improvviso crollo della correlazione