Analisi e Gestione del Rischio Lezione 5 Calcolo della volatilità

La scelta dell’informazione Informazione storica Vantaggi: dati storici possono essere usati per la previsione di rischi futuri su un largo numero di mercati Svantaggi: la storia non si ripete mai nello stesso modo, ed è difficile prevedere i cambiamenti strutturali, che sono invece al centro dell’interesse del risk-manager Informazione implicita Vantaggi: l’analisi cross-section dei prezzi (es volalità implicite) può estrarre la previsione di mercato del rischio, inclusi i cambiamenti strutturali Svantaggi: è disponibile per un numero limitato di mercati sufficientemente liquidi. L’informazione cui è interessato il risk-manager riguarda la distribuzione dei rendimenti, in prima approssimazione la loro volatilità.

Volatilità storica Un’alternativa alla stima della volatilità implicita è l’utilizzo della volatilità storica La volatilità storica non richiede la presenza di un mercato delle opzioni liquido, ed è applicabile ad un largo numero di mercati La stima della volatilità storica è pero rivolta al passato (backward looking) e soggetta a due problemi Rischio di stima della volatilità Rischio di modello (fluttuazione della volatilità)

Il rischio di stima Il rischio di stima della volatilità, rispetto allo stimatore classico di volatilità, può essere ridotto ricorrendo a informazione su Quotazioni di apertura e di chiusura della giornata Quotazioni massime e minime della giornata Stimatori: i) Garman e Klass; ii) Parkinson; iii) Rogers e Satchell; iv) Yang e Zhang

Rischio di stima (1) Oi e Ci rispettivamente prezzi di apertura e chiusura del giorno i. Hi e Li rispettivamente prezzi massimo e minimo del giorno i. Parkinson: GK

Rischio di stima (2) Definiamo: oi = Oi – Ci-1, hi = Hi – Oi, li = Li – Oi, ci = Ci – Oi. Inoltre 2o e 2c sono le varianze calcolate sui prezzi di apertura e chiusura rispettivamente Rogers-Satchell : Yang-Zang:

Rischio di stima (3) Parkinson: 5 volte più efficiente Rendimento medio = 0; “opening jump” f = 0 Garman e Klass: 6 volte più efficiente Rendimento medio = 0; “opening jump” f  0 Rogers e Satchell: Rendimento medio  0; “opening jump” f = 0 Yang e Zhang: Rendimento medio  0; “opening jump” f  0

Esempio: dati sul Mib30

I risultati dell’elaborazione

Rischio di modello Oltre al rischio di stima, la volatilità stessa del mercato può cambiare nel corso del tempo. Modelli Garch: shock che raggiungono il rendimento ne modificano la volatilità al periodo successivo Modelli a volatilità stocastica: la volatilità del rendimento è influenzata da shock che possono essere correlati con shock che raggiungono il rendimento stesso (ma la correlazione non è perfetta)

La volatilità del Mib30

Modelli Garch(p,q) La distribuzione del rendimento condizionale alla volatilità è normale, ma la volatilità varia nel tempo con un processo autoregressivo di tipo ARMA(p,q). Ad es. il Garch(1,1) è:

Garch: ABC… In un modello Garch la distribuzione NON condizionale dei rendimenti non è normale, ed in particolare ha code “grasse” (“fat-tails”): eventi estremi sono più probabili rispetto alla distribuzione normale In un modello Garch la varianza futura è prevista ricursivamente dalla formula Il grado di persistenza è dato da 1 + 1  1

Un Garch particolare… Assumiamo:  = 0 e 1 + 1 = 1. In questo caso abbiamo un Garch integrato (Igarch): i) la volatilità è persistente: ogni shock rimane per sempre nella storia della volatilità ii) il miglior previsore della volatilità al tempo t + i è quella al tempo t + i – 1. iii) la volatilità al tempo t è data da (  1)

…di nome EWMA Notiamo che l’IGarch(1,1) con  = 0 corrisponde a un modello in cui la volatilità è calcolata come una media mobile a pesi che decadono esponenzialmente (EWMA). Il modello, con parametro  = 0.94, è impiegato da RiskMetrics™ per valutare volatilità e correlazioni. Il modello corrisponde a una stima di volatilità che pesa in maniera decrescente le osservazioni più recenti (il parametro usato corrisponde a 75 osservazioni)

Stime di volatilità: il Mib30

Ghost feature La modulazione dei pesi nella opzione EWMA consente di ridurre il cosiddetto problema della ghost feature nei dati Ghost feature: uno shock continua a avere effetto sulla stima del VaR per tutto il periodo in cui resta nel campione, e quando ne esce la stima di VaR cambia senza un motivo apparente. Attribuire pesi via via decrescenti agli shock attutisce questo fenomeno.