ONDE e teoria delle Onde 5 marzo 2008

Tipi di Onde Onde di gravita’ : quando la gravita’ e’ la forza che riporta il sistema in equilibrio Onde superficiali di gravita’ – molto comuni, localizzate all’interfaccia aria-mare Onde Interne – localizzate all’interfaccia di strati con densita’ differenti Altro genere: Ondi di corpi – sonore, sismiche Onde Planetarie – Rossby, Kelvin (Coriolis) Onde Capillari – dovute alla tensione superficiale

L’equazione da risolvere e’ non lineare La soluzione delle equazioni del moto dipende dalle condizioni superficiali al contorno, ma le condizioni alla superfice di contorno delle onde e’ proprio quella che vogliamo calcolare !?

Assunzioni per la teoria lineare piccola ampiezza (a<<L, d) d=profondita’ del fondo constante Non c’e attrito Liquido omogeneo e incompressible Coriolis ignorato Tensione Superficiale ignorata Pressione atmosferica uniforme

T - period t a -a z Angular frequency:

Descrive “plane wave of permanent form” Plane wave: independent of coordinate normal to direction of propagation Perm. form: following a crest/trough, doesn’t change

Descrizione di un onda prograssiva Ampiezza: Numero d’onda:

Cresta (Crest): il punto piu’ alto dell’onda Cavo (Trough): il punto piu’ basso Altezza (Height): la distanza verticale tra cresta e cavo. Lunghezza d’onda (Wavelength): la distanza orizzontale da cresta a cresta. Periodo (Period): il tempo tra il passaggio di due creste. Frequency: Il numero di onde che passa in un punto nell’unita di tempo Ampiezza: meta’ dell’Altezza

Relazione di Dispersione 2 = g k tanh ( k d ) Per Acqua profonda (d > L / 4) 2 = g k Per acqua bassa (d < L / 11) w2 = g k2 d

A=grande profondita’ B=profondita’ bassa Il movimento di una particella diventa sempre piu’ ellittico con la diminuizione della profondita’ 1= Direzione 2= Cresta 3= Cavo

Deep water waves: Wave length much less than water depth Water motion in circles whose radius decreases with depth Shallow water waves: Wave length much greater than water depth Water motion in ellipses that get flatter toward bottom

Cp per onde in acqua profonda Velocita’ di fase Cp per onde in acqua profonda Cp per onde in acqua bassa

Velocita’ di gruppo: velocita’ a cui viaggia l’energia Cg per onde in acqua profonda Dispersive – l’energia viaggia a velocita’ differente alla velocita’ di fase – dovuto alle interferenze constructive-destructive Cg per onde in acqua bassa Non-Dispersiva – l’energia viaggia alla velocita’ di fase

L’energia dell’onda viaggia con il treno di onde Onde Dispersive: la fase dell’onda si muove piu’ veloce del treno di onde L’energia dell’onda viaggia con il treno di onde http://www.student.math.uwaterloo.ca/%7Eamat361/images/fluid%20mechanics/surface%20gravity/wave_packet_0p5.gif

Onde Non-Dispersive: la velocita’ di fase e’ uguale a quella di gruppo http://www.student.math.uwaterloo.ca/%7Eamat361/images/fluid%20mechanics/surface%20gravity/wave_packet_1.gif

La cresta di un’onda in mare profondo si muove ad una velocita’ doppia rispetto alla velocita’ di gruppo Possono le onde di un oceano reale seguire questo comportamento? Munk e colleghi (1963) mostrarono che le onde sono dispersive e che questa caratteristica puo’ essere usata per risalire alla loro punto di origine!

Altezza dell’onda significativa Guardando una registrazione delle onde come definiamo le sue caratteristiche? L’altezza dell’onda significativa attualmente accettata per un range di frequenze stretto: 4 volte la deviazione standard delle misure L’inclinazione delle onde: (H/L) e’ molto importante per le navi L’energia delle onde e’ proporzionale alla varianza dello spostamento della superfice

Caratteristiche delle onde ‘vere’ Onde Capillari: rugosita’ superficiale in risposta allo sforzo del vento Fetch – distanza sulla quale agisce il vento Durata – tempo in cui agisce il vento La condizione di “Equilibrium” : (fully developed sea) mare pienamente sviluppato

Figura 16.4 in Stewart. Campionando un’onda sinosuidale di 4 Hz ogni 0.2s trasliamo la frequeza ad 1 Hz. La frequenza critica e’ 1/(2 × 0.2s) = 2.5Hz, che e’ minore di 4Hz.

Calcolo dello spettro Digitalizzare un segmento di altezze dell’onda; usare 1024 campioni da 8,53 minuti campionati a 2 Hz Calcolare la trasformata di Fourier Calcolare il periodogramma dalla somma dei quadrati della parte reale e immaginaria della trasformata Ripetere per almeno 20 periodogrammi Mediare i 20 periodogrammi per produrre lo spettro

Figures 16.5 and 16.6 in Stewart

Fully developed sea 10.000 periodi di onda di tempo 5.000 lunghezze di onda di lato Spettri con velocita’ del vento costante Spettri con diverse lunghezze di fetch

100s 20s 10s

Wave Characteristics Onda lungha( Swell) – mare aperto, acqua molto profonda - molto sinusoidali – generate da luoghi lontani “Mare vivo” (Confused sea) - condizioni di tempesta - lunghezze d’onda molto differenti “Mare incrociato” - onde lunghe provenienti da due diverse direzioni

Refraction Wave speed varies through medium → refraction Wave crests get closer together causing waves to get steeper

SAR image of wave trains in Bay of Bengal

La USS Ramapo nelle Montagne di Onde Nel Febbraio del 1933, la USS Ramapo, una petroliera di 146 meter (478 ft) si trovo’ in una tempesta straordinaria durante il suo viaggio da Manila a San Diego. La tempesta duro’ 7 giorni dalle coste dell’Asia a quelle dell’America, producendo forti venti su migliaia di miglia su un oceano senza ostacoli. Con il vento in poppa di circa 60 nodi, l’equipaggio ebbe il tempo di osservare attentamente le onde monumentali che passavano intorno alla nave. Un ufficiale dal ponte osservo’ che le creste delle onde che si avvicinavano da poppa erano di poco sopra il livello del punto di guardia (crow's nest), mentre la poppa era nel cavo dell’onda. I calcoli sulla geometria della nave portarono ad una altezza di 34 metri delle onde.