SEGNALI COMPLESSI: modulazione in fase e quadratura SEZIONE 7

Perche’ si utilizza la rappresentazione complessa In natura esistono solo segnali reali, tuttavia e’ possibile pensare a segnali che abbiano sia una parte reale sia una immaginaria che evolvono nel tempo: i segnali complessi. Anche se i segnali complessi non esistono in natura, essi vengono utilizzati per descrivere in modo compatto un insieme di segnali reali da trasmettere contemporaneamente nella stessa banda di frequenze e che siano separabili tra loro in fase di ricezione. Per capire perche’ e come la rappresentazione complessa dei segnali torna comoda, analizzeremo un semplice esempio dove il numero di segnali reali da trasmettere e’ M=2 e da questo generalizzeremo a M qualsiasi.

Modulazione per seno e coseno Si consideri il segnale y(t) costituito dalla somma dai due segnali x1(t) e x2(t) che devono essere trasmessi, moltiplichiamoli rispettivamente per un coseno (modulazione in fase) e un seno (modulazione in quadratura) alla stessa frequenza fo : I due segnali x1(t) e x2(t) sono reali con la medesima durata e con trasformata di Fourier limitata nella banda tra -fx e + fx < f0. Si dimostrera’ che x1(t) e x2(t) sono separabili a partire da y(t)

Demodulazione per seno e coseno Moltiplicando y(t) per il coseno a frequenza fo (operazione detta demodulazione coerente in fase) si ottiene: Questo segnale contiene 3 componenti di cui una sola, x1(t), a bassa frequenza. Dunque, e’ sufficiente filtrare passa-basso y(t) moltiplicato per il coseno per ottenere x1(t). Viceversa, moltiplicando y(t) per il seno a frequenza fo (demodulazione coerente in quadratura) si ottiene: Questo segnale contiene 3 componenti di cui una sola, x2(t), a bassa frequenza. Dunque, e’ sufficiente filtrare passa-basso y(t) moltiplicato per il seno per ottenere x2(t).

Schema del Mo-Demodulatore Filtro PB

Una nota sui segnali ortogonali Si noti che seno e coseno moltiplicati tra loro non danno luogo a segnali a bassa frequenza: Dunque, il prodotto tra seno e coseno filtrato passa-basso produce un’uscita nulla. I segnali seno e coseno sono detti ortogonali.

Demodulazione complessa Un modo piu’ compatto per riscrivere l’ operazione di demodulazione effettuata in precedenza, e’ ricorrere ad una rappresentazione complessa. Moltiplicando y(t) per l’esponenziale complesso a frequenza fo si scrivono in un colpo solo sia la moltiplicazione di y(t) per il coseno sia quella per il seno: Le uniche differenze rispetto a prima sono che: 1 - il segnale e’ unico, ma complesso (prima ne avevamo due reali) 2 - la moltiplicazione per il coseno e’ sulla parte reale e quella per il il seno sulla parte immaginaria. Filtrando passa-basso il segnale complesso (con un filtro con banda minore di f0) si ottengono ancora le due componenti x1(t) e x2(t), una come parte reale e l’altra come parte immaginaria del segnale complesso :

Schema del Mo-Demodulatore complesso Filtro PB

Un esempio( i segnali in banda base) Supponiamo che Ax1(t) e Bx2(t) siano i due segnali a banda e durata limitata con ampiezza massima A e B in t=0. x1(t) e x2(t) B= -1 A= 1

x1(t)=A x2(t)=-B Im[y] A Re[y] B Y nuova

Un esempio( i segnali modulati in fase e quadratura) A valle del Modulatore per A=1 e B=-1 otteniamo i seguenti segnali

Un esempio( il segnale demodulato) A valle del demodulatore (sempre per A=1 e B=-1 ) otteniamo il seguente segnale Parte reale Parte reale Parte immaginaria Parte immaginaria Im Filtro PB Il filtro Passa-Basso elimina le componenti oscillanti delle parti reale e immaginaria, lasciando passare il valor medio locale.

Demodulazione complessa e campionamento Supponiamo che i due segnali x1(t) e x2(t) siano due seni cardinali (quindi a banda limitata) con ampiezza massima A in t=0. A -T T t x1(t) e x2(t) X1(f) e X2(f) AT Trasformata di Fourier -1/2T 1/2T f Se campioniamo il segnale complesso x1(t) + j x2(t) a passo T, otteniamo: Abbiamo dunque ottenuto un numero complesso la cui parte reale e’ uguale al massimo del segnale x1(t) e la cui parte immaginaria e’ uguale al massimo del segnale x2(t).

Velocita’ di trasmissione R=fb [bit/s] Im -A A 1 Re Velocita’ di trasmissione R=fb [bit/s] Im 01 11 1 A 1 Re A 00 10

Schema del Mo-Demodulatore per segnali antipodali Im -A A 1 Re 0110 0110 Filtro PB Schema del Mo-Demodulatore per segnali antipodali Velocita’ di trasmissione R=fb [bit/s]

A 01 10 01 10 Im 01 11 Schema del Mo-Demodulatore di 4QAM: 11 00 10 01 Schema del Mo-Demodulatore di 4QAM: velocita’ di trasmissione R=2fb [bit/s] 01 10 Filtro PB 01 10 Filtro PB

La costellazione di M valori complessi Naturalmente, se utilizziamo diversi valori di ampiezza dei seni cardinali, otteniamo diversi numeri complessi. Im Nell’esempio qui a fianco, si mostrano i M=25 numeri complessi che si possono ottenere combinando 5 valori di ampiezza del seno cardinale compresi tra -2A e +2A sia sulla parte reale (x1(0)) sia su quella immaginaria (x2(0) ). L’insieme dei valori complessi ottenibile viene detta costellazione. La struttura della costellazione puo’ avere forme differenti, ma solo alcune vengono utilizzate in pratica come vedremo piu’ avanti. A A Re

La costellazione QAM a 16 livelli Una costellazione molto utilizzata per la trasmissione di segnali numerici e’ quella della Quadrature Amplitude Modulation (QAM) di cui si riporta l’esempio per M=16. Nello schema qui a fianco, si mostrano i M=16 numeri complessi che si possono ottenere combinando 4 valori di ampiezza del seno cardinale compresi tra -3A e +3A a passo 2A sia sulla parte reale (x1(0)) sia su quella immaginaria (x2(0) ). Un parametro importante (come si vedra’ piu’ avanti) e’ la distanza minima tra due valori complessi della costellazione. In questo caso, banalmente: Re Im A 3A

La costellazione MPSK a 8 livelli Un’altra costellazione molto utilizzata per la trasmissione di segnali numerici e’ quella della Multiple Phase Shift Keying (MPSK) di cui si riporta l’esempio per M=8. Nello schema qui a fianco, si mostrano gli M=8 numeri complessi che si possono ottenere combinando 4 valori di ampiezza del seno cardinale x1(t) e 4 valori di x2(t) Im A Re

La costellazione MPSK A Im n=3 n=2 n=4 n=1 Re n=5 n=8 n=6 n=7 Una caratteristica importante della costellazione Multiple Phase Shift Keying e’ che il modulo dei campioni complessi a valle del campionatore e’ costante. Im In questo caso si tocca con mano la maggior comodita’ della rappresentazione complessa. Gli M livelli si scrivono in modo molto compatto: n=3 n=2 A n=4 n=1 Re n=5 n=8 n=6 n=7

001 101 010 001 101 010 Schema del Mo-Demodulatore di 8PSK M=8 Filtro PB Filtro PB 001 101 010 Schema del Mo-Demodulatore di 8PSK M=8 velocita’ di trasmissione R=3fb [bit/s]