Lezione 4 Probabilità

parte 1 Le tre definizioni della probabilità

Sommario Premessa La definizione di “probabilità” i modelli matematici della realtà e della probabilità lo scopo dei modelli La definizione di “probabilità” definizione a posteriori (frequentista) di probabilità definizione a priori (classica) di probabilità equiprobabilità degli eventi mutua esclusività degli eventi definizione assiomatica di probabilità assiomi di Kolmogoroff conseguenze degli assiomi di Kolmogoroff applicazione degli assiomi di Kolmogoroff

i “modelli matematici” della realtà e della probabilità Georg Simon Ohm (1789 – 1854)

i modelli matematici della realtà v = R i a = f / m a = ( f - kv 2 ) / m

i modelli matematici della probabilità 1,61 < h < 1,63 1,59 < h < 1,61 1,57 < h < 1,59

i modelli matematici della probabilità Francesca Piccinini e Simona Gioli h = 1,85 1,61 < h < 1,63 1,59 < h < 1,61 1,57 < h < 1,59 Sara Anzanello h = 1,92

i modelli matematici della probabilità

i modelli matematici della probabilità Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855)

i modelli matematici della probabilità Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855)

i modelli matematici della probabilità Waloddi Weibull (1887 – 1979)

i requisiti dei modelli matematici della probabilità la funzione è uno dei più conosciuti modelli matematici della probabilità questa funzione potrebbe essere usata come modello matematico della probabilità ?

Definizione “a posteriori” o frequentista di “probabilità”

Definizione a posteriori ( o “frequentista” ) della probabilità premesse: Frequenza : Frequenza relativa : indichiamo come “frequenza” nE di un evento E il numero delle volte in cui tale evento si è presentato in un esperimento composto da N prove. indichiamo come “frequenza relativa” fE il rapporto:

Definizione a posteriori ( o “frequentista” ) della probabilità La probabilità P di un evento E è definita come il limite a cui tende il valore della frequenza relativa fE di E quando N tende all’infinito. P

esempio Nell’esperimento consistente nel lancio ripetuto di una moneta (non truccata) la frequenza relativa con cui si trova “testa” ha mostrato il seguente andamento all’aumentare di N

Definizione a posteriori ( o “frequentista” ) della probabilità La probabilità P di un evento E è definita come il limite a cui tende il valore della frequenza relativa fE di E quando N tende all’infinito. P

Definizione “a priori” o classica di “probabilità”

Definizione a priori ( o “classica” ) della probabilità La probabilità P di un evento E è definita come il rapporto fra il numero s dei risultati favorevoli ( cioè il numero dei risultati che determinano E ) ed il numero n dei risultati possibili P Ciò purché i risultati siano ugualmente possibili e si escludano mutuamente.

esempio Nel lancio di un dado (non truccato) a 6 facce la probabilità di avere un risultato dispari è: P

Condizione di uguale possibilità Nel lancio di due monete i risultati possibili sono: “due teste”: (T,T), “una testa ed una croce”: (T,C), “due croci”: (C,C). Sarebbe però sbagliato pensare che la probabilità di ottenere “due croci” sia di 1/3 ! (T,T), (T,C), (C,T), (C,C) La possibiltà di ottenere “una testa ed una croce” è infatti doppia rispetto alle altre due combinazioni (T,T), (T,C), (C,T), (C,C) La possibiltà di ottenere “una testa ed una croce” è infatti doppia rispetto alle altre due combinazioni e si deve pertanto concludere che: P

Condizione di mutua esclusione Quale è la possibilità di estrarre da un mazzo di 52 carte un “asso” oppure una carta a “fiori” ? 4 sono gli assi A ( ©, ¨, §, ª ), 13 sono le carte di fiori § ( A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K ), P Sembrerebbe che la probabilità sia di 17 / 52, ma si deve considerare che una delle 13 carte di fiori è l’asso ! I casi favorevoli sono quindi: 3 assi “non di fiori”: A ( ©, ¨, ª ), 1 asso di fiori: ( A§ ), 12 carte di fiori dal 2 al K: § ( 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K ).

Definizione a priori ( o “classica” ) della probabilità La probabilità P di un evento E è definita come il rapporto fra il numero s dei risultati favorevoli ( cioè il numero dei risultati che determinano E ) ed il numero n dei risultati possibili P Ciò purché i risultati siano ugualmente possibili e si escludano mutuamente.

Definizione “assiomatica” di “probabilità” Andrej Nikolaevič Kolmogorov (1903 - 1997)

Premesse La definizione assiomatica di probabilità è di applicazione generale, ma richiede alcune definizioni preliminari: fenomeno casuale spazio campione S punto campione sj evento E spazio degli eventi A

Fenomeno casuale definizione: Definiamo il “ fenomeno casuale ” come: un fenomeno empirico caratterizzato dalla proprietà che la sua osservazione in un insieme fissato di circostanze non conduce sempre agli stessi risultati. In un fenomeno casuale i singoli risultati hanno un comportamento irregolare e non sono (singolarmente) prevedibili, ma nel complesso si evidenzia un comportamento caratterizzato da una “certa” regolarità che è possibile descrivere.

Spazio campione definizione: Definiamo lo “ spazio campione S ” come: l’insieme costituito da tutti i risultati possibili a priori. esempio: Nel caso del doppio lancio di una sola moneta: S = { (T,T), (T,C), (C,T), (C,C) } n.b.: i risultati (T,C) e (C,T) sono diversi!

Punti campione definizione: Chiamiamo “punti campione sj” gli elementi dello spazio campione S, ognuno dei quali corrisponde ad uno dei risultati possibili a priori. esempio: Nel caso del doppio lancio di una sola moneta: S = { (T,T), (T,C), (C,T), (C,C) } pertanto: (T,T) è un punto campione, (C,C) è un punto campione, (T,C) e (C,T) sono due distinti punti campione.

Evento definizione: Definiamo l’ “evento E ” come: un qualsiasi sottoinsieme dello spazio campione S . esempio: Nel caso del doppio lancio di una sola moneta: S = { (T,T), (T,C), (C,T), (C,C) } pertanto: { (T,T) } è un evento (“doppia T”), { (T,T) , (T,C) } è un evento (“primo risultato T”), { (T,C) , (C,T) , (C,C) } è un evento (“no doppia T”).

Eventi nello spazio campione Diagramma di Venn che mostra un generico evento E nello spazio campione S Ricordiamo che: l’ “evento E ” è un qualsiasi sottoinsieme di S . l’ “evento E ” è costituito da “punti campione”.

A = { Æ , { (T,T) } , ... , { (T,T),(T,C) } , … , S } Spazio degli eventi definizione: Definiamo lo “ spazio degli eventi A ” come: l’insieme di tutti i possibili eventi E. Nello spazio degli eventi A includiamo anche: - lo spazio campione S , che viene chiamato “evento certo” - l’insieme vuoto Æ, cioè l’insieme che non contiene nessuna descrizione di S ; esso viene chiamato “evento impossibile” A = { Æ , { (T,T) } , ... , { (T,T),(T,C) } , … , S }

A = { Æ , { (T,T) } , ... , { (T,T),(T,C) } , … , S } Spazio degli eventi definizione: Definiamo lo “ spazio degli eventi A ” come: l’insieme di tutti i possibili eventi E. conseguenza: Se lo spazio campione S è costituito da un numero finito #S di elementi (“punti campione”), lo spazio degli eventi A sarà costituito da 2#S eventi tra i quali anche Æ e S. A = { Æ , { (T,T) } , ... , { (T,T),(T,C) } , … , S }

A = { Æ , { (T,T) } , ... , { (T,T),(T,C) } , … , S } Algebra degli eventi A = { Æ , { (T,T) } , ... , { (T,T),(T,C) } , … , S } Aver incluso S e Æ nello spazio degli eventi A ci permette di costruire un’algebra degli eventi che è strutturalmente equivalente all’algebra degli insiemi. Valgono quindi proprietà analoghe: - all’uguaglianza, - all’unione, - all’intersezione, - al complemento, ...

Evento complementare EC A = { Æ , { (T,T) } , ... , { (T,T),(T,C) } , … , S } definizione: Dato un evento E appartenente ad A si definisce “evento complementare” di E in S ( EC ) l’evento che si verifica quando non si verifica E, cioè quell’evento costituito da tutte le descrizioni (punti campione) di S che non appartengono ad E; conseguenza: anche EC è un elemento dello spazio A degli eventi. E = { (T,T) } _ EC = { (T,C),(C,T),(C,C) }

Evento complementare EC Diagramma di Venn che mostra un evento E ed il suo complementare EC nello spazio campione S Ricordiamo che: Dato un evento E appartenente ad A si definisce evento complementare di E in S ( EC ) l’evento che si verifica quando non si verifica E, cioè quell’evento costituito da tutte le descrizioni di S che non appartengono ad E.

A = { Æ , { (T,T) } , ... , { (T,T),(T,C) } , … , S } Evento unione E È F A = { Æ , { (T,T) } , ... , { (T,T),(T,C) } , … , S } definizione: Dati due eventi E ed F qualsiasi, appartenenti allo spazio degli eventi A, si definisce “evento unione” di E e di F ( E È F ) l’evento che si verifica quando si verifica E o F o entrambi, cioè quell’evento costituito da tutte le descrizioni di S che appartengono ad E o ad F o ad entrambi; conseguenza: anche E È F è un elemento dello spazio degli eventi A. E = { (T,T) } ; F = { (T,T),(T,C) } _ E È F = { (T,T),(T,C) }

Evento unione E È F Diagramma di Venn che mostra gli eventi E ed F e il loro evento unione nello spazio campione S Ricordiamo che: Dati due eventi E ed F qualsiasi, appartenenti allo spazio degli eventi A, si definisce “evento unione” di E e di F ( E È F ) l’evento che si verifica quando si verifica E o F o entrambi, cioè quell’evento costituito da tutte le descrizioni di S che appartengono ad E o ad F o ad entrambi.

Evento intersezione E Ç F A = { Æ , { (T,T) } , ... , { (T,T),(T,C) } , … , S } definizione: Dati due eventi E ed F qualsiasi, appartenenti allo spazio degli eventi A, si definisce “evento intersezione” di E e di F ( E Ç F ) l’evento che si verifica quando si verifica sia E sia F, cioè quell’evento costituito da tutte le descrizioni di S che appartengono sia ad E che ad F; conseguenza: anche E Ç F è un elemento dello spazio degli eventi A. E = { (T,T) } ; F = { (T,T),(T,C) } _ E Ç F = { (T,T) }

Evento intersezione E Ç F Diagramma di Venn che mostra gli eventi E ed F e il loro evento intersezione nello spazio campione S Ricordiamo che: Dati due eventi E ed F qualsiasi, appartenenti allo spazio degli eventi A, si definisce “evento intersezione” di E e di F ( E Ç F ) l’evento che si verifica quando si verifica sia E sia F, cioè quell’evento costituito da tutte le descrizioni di S che appartengono sia ad E che ad F.

A = { Æ , { (T,T) } , ... , { (T,T),(T,C) } , … , S } Sottoevento E Í F A = { Æ , { (T,T) } , ... , { (T,T),(T,C) } , … , S } definizione: Dati due eventi E ed F , si definisce E come un “sottoevento di F ” ( E Í F ) quando l’insieme delle descrizioni di E è contenuto nell’insieme delle descrizioni di F ; conseguenza: il verificarsi di E implica il verificarsi di F , ma non vale il viceversa. E = { (T,T) } ; F = { (T,T),(T,C) } _ E Í F

Sottoevento E Í F Diagramma di Venn che mostra l’evento E come sottoevento di F nello spazio campione S Ricordiamo che: Dati due eventi E ed F, appartenenti allo spazio degli eventi A, si definisce E come un “sottoevento di F” ( E Í F ) quando l’insieme delle descrizioni di E è contenuto nell’insieme delle descrizioni di F

Eventi uguali - Eventi mutamente esclusivi A = { Æ , { (T,T) } , ... , { (T,T),(T,C) } , … , S } definizione: Due eventi E ed F , si dicono “uguali” quando l’insieme delle descrizioni di E è formato dagli stessi elementi che formano l’insieme delle descrizioni di F ; definizione: Due eventi E ed F , si dicono “mutuamente esclusivi” ( o “mutuamente escludentisi” ) quando l’insieme delle descrizioni di E è disgiunto dall’insieme delle descrizioni di F ; E Ç F = Æ

A = { Æ , { (T,T) } , ... , { (T,T),(T,C) } , … , S } Funzione di insieme A = { Æ , { (T,T) } , ... , { (T,T),(T,C) } , … , S } definizione: Una funzione si dice: “funzione di insieme” quando ha: - come dominio una collezione di insiemi e - codominio nell’insieme dei numeri reali.

A = { Æ , { (T,T) } , ... , { (T,T),(T,C) } , … , S } Funzione di insieme A = { Æ , { (T,T) } , ... , { (T,T),(T,C) } , … , S } definizione: Una funzione si dice: “funzione di insieme” quando ha: - come dominio una collezione di insiemi e - codominio nell’insieme dei numeri reali. Ora possiamo enunciare la definizione assiomatica di probabilità:

Definizione assiomatica di probabilità Una funzione di probabilità P è una funzione di insieme che: ha per dominio lo spazio degli eventi A , A = { Æ , { (T,T) } , ... , { (T,T),(T,C) } , … , S } ( … ha come dominio una collezione di insiemi ) - ha per codominio l’intervallo [ 0, 1 ] , ( … ha codominio nell’insieme dei numeri reali ) - soddisfa i 3 assiomi di Kolmogoroff

Assiomi di Kolmogoroff P A I° P II° III° se E1 , E2 , … , En , ... è una sequenza di eventi mutamente esclusivi dello spazio degli eventi A e se l’evento unione di tali eventi appartiene allo spazio degli eventi A, allora la probabilità dell’evento unione è pari alla somma delle probabilità dei singoli eventi: P

Assiomi di Kolmogoroff Gli assiomi di Kolmogoroff forniscono la definizione assiomatica della probabilità. Essi non ci dicono quale sia il valore della probabilità di un evento, ma solo quali siano le funzioni che possono essere definite come “funzioni di probabilità”. L’obiettivo di tale definizione è quello di consentire la previsione e la descrizione degli eventi mediante un modello matematico costituito dallo spazio di probabilità ( S, A, P [ ● ] ). Lo spazio di probabilità è formato da: S spazio campione; A spazio degli eventi; P [ ● ] probabilità di ciascun evento. Lo spazio di probabilità è formato da: S insieme degli eventi elementari; A insieme di tutti gli eventi; P [ ● ] probabilità di ciascun evento.

Particolarizzazione del III assioma se E1 , E2 , … , En , ... è una sequenza di eventi mutamente esclusivi dello spazio degli eventi A e se l’evento unione di tali eventi appartiene allo spazio degli eventi A, allora la probabilità dell’evento unione è pari alla somma delle probabilità dei singoli eventi: P se E1 , E2 , … , En è una sequenza finita di eventi mutamente esclusivi dello spazio degli eventi A e se l’evento unione di tali eventi appartiene allo spazio degli eventi A, allora P

Conseguenza del II assioma di Kolmogoroff P se E è un evento dello spazio degli eventi A allora: P

Altre conseguenze degli assiomi di Kolmogoroff P qualunque siano gli eventi E ed F si ha: se E Í F si ha: P

Applicazione degli assiomi di Kolmogoroff: funzioni di probabilità

Applicazione degli assiomi di Kolmogoroff esempio 1: Supponiamo di avere un’urna contenente 5 palline di cui 2 bianche e 3 nere: , ‚, Ž, , . L’esperimento casuale consiste nella estrazione… esempio 2: supponiamo di dare corso ad un esperimento che si svolge in due fasi: fase 1: si lancia una moneta; fase 2: se il lancio della moneta ha dato: T : si lancia una seconda moneta; C : si lancia un dado a 6 facce.

Applicazione degli assiomi di Kolmogoroff Gli assiomi di Kolmogoroff ci permettono di verificare se una funzione arbitraria può essere assunta come “funzione di probabilità. esempio 1: Supponiamo di avere un’urna contenente 5 palline di cui 2 bianche e 3 nere: , ‚, Ž, , . L’esperimento casuale consiste nella estrazione in successione di due palline, senza reimmissione della prima pallina estratta. Lo spazio campione S è dato da: S = { (,‚), (,Ž), (,), (,), (‚,), (‚,Ž),…, (Ž,), (Ž,‚),…, (,) }

Applicazione degli assiomi di Kolmogoroff Definiamo poi i seguenti eventi: E1: la prima pallina estratta sia bianca E2: la seconda pallina estratta sia bianca E3: la prima pallina estratta sia bianca e la seconda sia nera E4: la prima e la seconda pallina estratte siano entrambe bianche E5: la somma dei numeri delle palline estratte sia uguale a 5 E6: la somma dei numeri delle palline estratte sia minore o uguale a 5 E7: la somma dei numeri delle palline estratte sia minore o uguale a 4 E8: la somma dei numeri delle palline estratte sia minore o uguale a 10 E9: la somma dei numeri delle palline estratte sia uguale a 10

Applicazione degli assiomi di Kolmogoroff Definiamo poi i seguenti eventi: E1: la prima pallina estratta sia bianca E2: la seconda pallina estratta sia bianca E3: la prima pallina estratta sia bianca e la seconda sia nera E4: la prima e la seconda pallina estratte siano entrambe bianche E5: la somma dei numeri delle palline estratte sia uguale a 5 E6: la somma dei numeri delle palline estratte sia minore o uguale a 5 E7: la somma dei numeri delle palline estratte sia minore o uguale a 4 E8: la somma dei numeri delle palline estratte sia minore o uguale a 10 E9: la somma dei numeri delle palline estratte sia uguale a 10

Applicazione degli assiomi di Kolmogoroff Gli eventi definiti possono essere rappresentati dagli insiemi: E1 = { (,‚), (,Ž), (,), (,), (‚,), (‚,Ž), (‚,), (‚,) } E2 = { (,‚), (‚,), (Ž,), (Ž,‚), (,), (,‚), (,), (,‚) } E3 = { (,Ž), (,), (,), (‚,Ž), (‚,), (‚,) } E4 = { (,‚), (‚,) } E5 = { (,), (‚,Ž), (Ž,‚), (,) } E6 = { (,‚), (,Ž), (,), (‚,), (‚,Ž), (Ž,), (Ž,‚), (,) } E7 = { (,‚), (,Ž), (‚,), (Ž,) } E8 = S E9 = Æ

Applicazione degli assiomi di Kolmogoroff Lo spazio campione S è finito ed è composto da 20 “punti campione”: # S = N = 20 P I punti campione sono equiprobabili pertanto: P Se si introduce la funzione è possibile verificare che essa è funzione di insieme e soddisfa i 3 assiomi di Kolmogoroff ed è pertanto una funzione di probabilità.

Applicazione degli assiomi di Kolmogoroff La funzione di probabilità definita ci permette di individuare la probabilità che “la somma dei numeri delle palline estratte sia uguale a 5”, cioè la probabilità dell’evento E5. S = { (,‚), (,Ž), (,), (,), (‚,), (‚,Ž),…, (Ž,), (Ž,‚),…, (,) } : # S = 20 E5 = { (,), (‚,Ž), (Ž,‚), (,) } : # E5 = 4 Allo stesso risultato saremmo giunti, ma in modo formalmente meno rigoroso, mediante la valutazione a priori (o classica) della probabilità. P

Applicazione degli assiomi di Kolmogoroff Gli assiomi di Kolmogoroff ci permettono di verificare se una funzione arbitraria può essere assunta come “funzione di probabilità. esempio 2: supponiamo di dare corso ad un esperimento si svolge in due fasi: fase 1: si lancia una moneta; fase 2: se il lancio della moneta ha dato: T : si lancia una seconda moneta; C : si lancia un dado a 6 facce. Quando l’esperimento si svolge in più passi successivi, per elencare i possibili punti campione può essere utile ricorrere ad un diagramma ad albero

Applicazione degli assiomi di Kolmogoroff fase 1: si lancia una moneta; fase 2: se il lancio della moneta ha dato: T : si lancia una seconda moneta; C : si lancia un dado a 6 facce.

Applicazione degli assiomi di Kolmogoroff individuata la probabilità p j di ciascun punto campione: p j = P [{ sj }] con j = 1, 2, … , N e con p j = 1 definiamo per ogni evento Ei Í S: P p j si può dimostrare che la P [Ei ] è funzione di insieme e soddisfa i tre assiomi di Kolmogoroff pertanto essa è una “funzione di probabilità”.

Probabilità assiomatica: conclusioni La definizione assiomatica di probabilità si basa sui tre assiomi di Kolmogoroff e ci porta a concludere che una funzione può essere considerata “funzione di probabilità” se rispetta tali assiomi. Le due funzioni mostrate negli esempi, l’una valida nel caso di punti campione equiprobabili: l’altra valida nel caso più generale: possono essere considerate funzioni di probabilità. P P p j

Dalla popolazione oggetto allo spazio campione tramite la misurazione Si definisce “popolazione oggetto” l’insieme di tutti quegli elementi che hanno in comune almeno una caratteristica. Limitiamo il nostro interesse a quelle caratteristiche che sono classificabili come “grandezze misurabili” (numerali, razionali, strumentali, selettive o complesse). Lo “spazio campione” è costituito dai possibili risultati della misurazione della caratteristica comune della popolazione oggetto.

Nella prossima puntata ... Dalla probabilità alla statistica le variabili casuali dalla popolazione oggetto alla variabile casuale variabili casuali discrete funzione di distribuzione cumulativa funzione di densità discreta variabili casuali continue funzione di densità di probabilità le funzioni di probabilità ed i loro parametri media, varianza e scarto quadratico medio quantili la distribuzione normale i parametri della distribuzione normale dalla distribuzione normale a quella standardizzata introduzione agli stimatori