Massimizzazione del profitto di una pasticceria UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CAGLIARI FACOLTÀ DI INGEGNERIA Corso di Laurea in Ingegneria Civile Massimizzazione del profitto di una pasticceria

Si è suddiviso il lavoro nelle seguenti fasi: Definizione del problema Costruzione del modello matematico di programmazione lineare (PL) Risoluzione delle istanze Analisi dei risultati ottenuti

1. DEFINIZIONE DEL PROBLEMA L'obiettivo è massimizzare il profitto di una pasticceria con la vendita di 4 tipologie di vassoi di dolci sardi.

1. DEFINIZIONE DEL PROBLEMA Si è ipotizzato di considerare una pasticceria che può produrre in un mese: da 300 kg a 550 kg di amaretti da 100 kg a 150 kg di ciambelline da 50 kg a 70 kg di gueffus da 50 kg a 70 kg di pabassinas I dolci vengono venduti in vassoi da 1 kg così composti:

Vassoio 1 1 kg di amaretti a € 13.40 1. DEFINIZIONE DEL PROBLEMA Vassoio 1 1 kg di amaretti a € 13.40

1. DEFINIZIONE DEL PROBLEMA Vassoio 2 0.350 kg di amaretti + 0.150 kg di ciambelline + 0.250 kg di gueffus + 0.250 kg di pabassinas a € 16.50

Vassoio 3 1 kg di ciambelline a € 14.20 1. DEFINIZIONE DEL PROBLEMA Vassoio 3 1 kg di ciambelline a € 14.20

1. DEFINIZIONE DEL PROBLEMA Vassoio 4 0.200 kg di amaretti + 0.300 kg di ciambelline + 0.300 kg di gueffus + 0.200 kg di pabassinas a € 16.80 Si ipotizza infine che non siano disponibili più di 300 vassoi di tipo 1 e non più di 1000 vassoi degli altri tipi.

2. COSTRUZIONE DEL MODELLO DI PL SET E INDICI I: insieme dei dolci (amaretti, ciambelline, gueffus e pabassinas) J: insieme delle tipologie dei vassoi (vassoio 1, vassoio 2, vassoio 3, vassoio 4) i: indice che identifica i dolci j: indice che identifica i vassoi DATI rj: ricavo unitario generato dal vassoio j ϵ J aij: quantità di ciascun dolce i ϵ I presente nella tipologia di vassoio j ϵ J ui: quantità massima producibile di dolce i ϵ I li: quantità minima producibile di dolce i ϵ I uj: numero di vassoi disponibili di vassoi di tipo j ϵ J VARIABILI DECISIONALI vj: numero di vassoi di tipo j che si intende produrre

4. ANALISI DEI RISULTATI La vendita dei vassoi 4 non è remunerativa. Si procede alla scrittura dell'istanza su LINDO 6.1 MAX 13.40 V1 + 16.50 V2 + 14.20 V3 + 16.80 V4 S.T. V1 + 0.350 V2 + 0.200 V4 < 550 0.150 V2 + V3 + 0.300 V4 < 150 0.250 V2 + 0.300 V4 < 70 0.250 V2 + 0.200 V4 < 70 V1 + 0.350 V2 + 0.200 V4 > 300 0.150 V2 + V3 +0.300 V4 > 100 0.250 V2 + 0.300 V4 > 50 0.250 V2 + 0.200 V4 > 50 V1 < 300 V2 < 1000 V3 < 1000 V4 < 1000 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 6 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 10173.60 VARIABLE VALUE REDUCED COST V1 300.000000 0.000000 V2 280.000000 0.000000 V3 108.000000 0.000000 V4 0.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 152.000000 0.000000 3) 0.000000 14.200000 4) 0.000000 10.440000 5) 0.000000 47.040001 6) 98.000000 0.000000 7) 50.000000 0.000000 8) 20.000000 0.000000 9) 20.000000 0.000000 10) 0.000000 13.400000 11) 720.000000 0.000000 12) 892.000000 0.000000 13) 1000.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 6 Il ricavo ottimale sarà di € 10173.60 ottenuto dalla vendita di 300 vassoi 1, 280 vassoi 2 e 108 vassoi 3. La vendita dei vassoi 4 non è remunerativa.

Vendendo almeno 50 vassoi di ogni tipologia l'istanza diventa: MAX 13.40 V1 + 16.50 V2 + 14.20 V3 + 16.80 V4 S.T. V1 + 0.350 V2 + 0.200 V4 < 550 0.150 V2 + V3 + 0.300 V4 < 150 0.250 V2 + 0.300 V4 < 70 0.250 V2 + 0.200 V4 < 70 V1 + 0.350 V2 + 0.200 V4 > 300 0.150 V2 + V3 +0.300 V4 > 100 0.250 V2 + 0.300 V4 > 50 0.250 V2 + 0.200 V4 > 50 V1 < 300 V2 < 1000 V3 < 1000 V4 < 1000 V1 > 50 V2 > 50 V3 > 50 V4 > 50 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 9938.40 VARIABLE VALUE REDUCED COST V1 300.000000 0.000000 V2 220.000000 0.000000 V3 102.000000 0.000000 V4 50.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 163.000000 0.000000 3) 0.000000 14.200000 4) 0.000000 57.480000 5) 5.000000 0.000000 6) 87.000000 0.000000 7) 50.000000 0.000000 8) 20.000000 0.000000 9) 15.000000 0.000000 10) 0.000000 13.400000 11) 780.000000 0.000000 12) 898.000000 0.000000 13) 950.000000 0.000000 14) 250.000000 0.000000 15) 170.000000 0.000000 16) 52.000000 0.000000 17) 0.000000 -4.704000 NO. ITERATIONS= 1 Il ricavo si abbasserà a € 9938.40 ottenuto con la vendita di 300 vassoi 1, 220 vassoi 2, 102 vassoi 3 e 50 vassoi 4.

Si aumenta di € 1. 00 il ricavo unitario dei vassoi 1 e 3, e di € 2 Si aumenta di € 1.00 il ricavo unitario dei vassoi 1 e 3, e di € 2.00 il ricavo unitario dei vassoi 2 e 4. L'istanza sarà: MAX 14.40 V1 + 18.50 V2 + 15.20 V3 + 18.80 V4 S.T. V1 + 0.350 V2 + 0.200 V4 < 550 0.150 V2 + V3 + 0.300 V4 < 150 0.250 V2 + 0.300 V4 < 70 0.250 V2 + 0.200 V4 < 70 V1 + 0.350 V2 + 0.200 V4 > 300 0.150 V2 + V3 +0.300 V4 > 100 0.250 V2 + 0.300 V4 > 50 0.250 V2 + 0.200 V4 > 50 V1 < 300 V2 < 1000 V3 < 1000 V4 < 1000 V1 > 50 V2 > 50 V3 > 50 V4 > 50 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 10880.40 VARIABLE VALUE REDUCED COST V1 300.000000 0.000000 V2 220.000000 0.000000 V3 102.000000 0.000000 V4 50.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 163.000000 0.000000 3) 0.000000 15.200000 4) 0.000000 64.879997 5) 5.000000 0.000000 6) 87.000000 0.000000 7) 50.000000 0.000000 8) 20.000000 0.000000 9) 15.000000 0.000000 10) 0.000000 14.400000 11) 780.000000 0.000000 12) 898.000000 0.000000 13) 950.000000 0.000000 14) 250.000000 0.000000 15) 170.000000 0.000000 16) 52.000000 0.000000 17) 0.000000 -5.224000 NO. ITERATIONS= 0 Il ricavo aumenterà a € 10880.40 ottenuto vendendo ugualmente 300 vassoi 1, 220 vassoi 2, 102 vassoi 3 e 50 vassoi 4.

CONCLUSIONI Per ricavare delle soluzioni ottime che massimizzino i profitti della pasticceria presa in considerazione ci si è serviti dell'ausilio del software LINDO 6.1. Impostando il problema in base ai dati iniziali si è ottenuto un profitto di € 10173.60. Si evince che la vendita dei vassoi 4 non è remunerativa e che la produzione massima di amaretti può essere limitata a 398 kg per non avere rimanenze di prodotto. In una seconda istanza si è voluto imporre di vendere almeno 50 vassoi di ogni tipologia. Il profitto si è ridotto a € 9938.40. Questo ha confermato che la vendita dei vassoi 4 non è conveniente. In terza istanza si è deciso di aumentare di € 1.00 il ricavo unitario dei vassoi 1 e 3, e di € 2.00 il ricavo unitario dei vassoi 2 e 4 per cercare di aumentare il profitto, continuando ad imporre la vendita di almeno 50 vassoi di ciascuna tipologia. Si deduce che con quest'ultima modifica il profitto effettivamente aumenta fino a € 10880.40. Si deduce quindi che la scelta ottimale per massimizzare il profitto è quella di imporre la vendita di almeno 50 vassoi per ciascuna tipologia e aumentare il ricavo unitario di € 1.00 per i vassoi 1 e 3, e di € 2.00 per i vassoi 2 e 4, riuscendo così ad avere un ricavo massimo di € 10880.40.