grafi e reti Ottimizzazione su Reti - Network Optimization Testi : Network Flows: Theory, Algorithms, and Applications, Ahuja, Magnanti, Orlin Linear Programming and Network Flows, Bazaraa, Jarvis, Sherali

grafi e reti Koenigsberg Bridge Problem Introduzione alle Reti ed agli algoritmi di rete Flusso su Reti e applicazioni

I ponti di Koenigsberg: Euler 1736 “Teoria dei Grafi” 1736 Leonard Eüler Visitò Koenigsberg La gente si chiedeva se fosse possibile effettuare un percorso con inizio e fine coincidenti attraversando ciascun ponte esattamente una volta Si diceva che fosse impossibile

I ponti di Koenigsberg: Euler 1736 A 1 2 3 B 4 C 5 6 7 D E' possibile partire da A, attraversare ciascun ponte esattamente una volta, e tornare in A?

I ponti di Koenigsberg: Euler 1736 A 1 2 3 B 4 C 5 6 7 D Modellazione (Concettualizzazione): I posti a terra sono “nodi”.

I ponti di Koenigsberg: Euler 1736 A 1 2 3 B 4 C 5 6 7 D Modellazione : i ponti sono “archi.”

I ponti di Koenigsberg: Euler 1736 A 1 2 3 B 4 C 5 6 7 D esiste un “cammino” che parte da A e termina in A e attraversa ciascun arco esattamente una volta?

Definizioni Grafo (o Rete) non orientato Grafo (o Rete) orientato 2 3 4 1 a b c d e Grafo (o Rete) non orientato 2 3 4 1 a b c d e Grafo (o Rete) orientato Rete G = (N, A) Nodi N = {1, 2, 3, 4} Archi A = {(1,2), (1,4), (3,2), (3,4), (2,4)} in un grafo non orientato (i,j) = (j,i)

Cammino: esempio: 5, 2, 3, 4. (oppure 5, c, 2, b, 3, e, 4) nessun nodo è ripetuto. la direzione è ignorata. 2 3 4 a b c 1 5 d e camm. orientato esempio: 1, 2, 5, 3,4 (oppure 1, a, 2, c, 5, d, 3, e, 4) nessun nodo è ripetuto. la direzione è rispettata. 2 3 4 a b c 1 5 d e Ciclo (loop) 1, 2, 3, 1. (oppure 1, a, 2, b, 3, e) un cammino con 2 o più nodi, il primo coincide con l'ultimo. 2 3 4 a b c d 1 e 2 3 4 a b c d 1 e ciclo orientato: 1, 2, 3, 4, 1 oppure 1, a, 2, b, 3, c, 4, d, 1 ciclo in cui la direzione è rispettata.

circuiti cammini in cui nodi e archi possono essere ripetuti 2 3 4 1 a b c d e 5 cammini in cui nodi e archi possono essere ripetuti esempio di circuito orientato: 1-2-3-5-4-2-3-5 un circuito è chiuso se il primo e ultimo nodo coincidono.

alberi Albero: Grafo connesso privo di cicli 2 3 4 1 a b c d e 5 f g 2 3 4 1 Albero: Grafo connesso privo di cicli Foglia: nodo con un solo arco incidente Foglie: 1,2,3 Albero ricoprente di un grafo G(N,A): N nodi N-1 archi

I ponti di Koenigsberg: Euler 1736 A 1 2 3 provate  B 4 C 5 6 7 D esiste un “cammino” che parte da A e termina in A e attraversa ciascun arco esattamente una volta? ciclo euleriano

aggiungiamo 2 ponti 3 8 1 2 4 5 6 9 7 A B C D ecco il cammino. A, 1, B, 5, D, 6, B, 4, C, 8, A, 3, C, 7, D, 9, B, 2, A Nota: il numero di archi incidenti in B è il doppio del numero di volte che B compare nel cammino.

cicli Euleriani 4 1 2 4 3 7 6 5 A C D B 8 9 Il grado di un nodo in un grafo non orientato è uguale al numero di archi incidenti 6 4 4 Teorema. un grafo non orientato possiede un ciclo euleriano se e solo se (1) ogni nodo ha grado pari (2) il grafo è connesso (esiste un cammino tra ogni coppia di nodi).

Cicli Hamiltoniani un ciclo hamiltoniano è un ciclo che tocca ciascun nodo esattamente una volta noto come traveling salesman tour.

il gioco di Hamilton Nel 1857 il matematico irlandese, Sir William Rowan Hamilton, inventò un gioco con la speranza di guadagnarci molto l'obiettivo del gioco era più o meno quello di trovare un circuito hamiltoniano. il gioco non ebbe successo commerciale ma la matematica dei cicli hamiltoniani è oggi molto conosciuta

il gioco di Hamilton start viene risolto come problema del commesso viaggiatore

Applicazioni Trasporti Trasporto di beni su reti Scheduling di flotte di aerei: reti spazio/tempo Produzione Scheduling di beni per la produzione Flusso di prodotti in sistemi inventariati Comunicazioni Progetto e sviluppo di sistemi di comunicazione Flusso di informazioni su una rete Assegnazione del personale Assegnazione di equipaggi allo scheduling di flotte Assegnazione di autisti a veicoli See if I can tie this back to the student’s comments about thesis work.