FACOLTA DINGEGNERIA CORSO DI RICERCA OPERATIVA a.a. 2001/2002 Problema di assegnamento di una compagnia aerea Università degli studi di Cagliari Studenti: Alessandro Gianluca Docente: Prof. ssa Paola Zuddas

La compagnia aerea Avion Travel effettua giornalmente i seguenti voli da Roma a Londra… 22:0020:005 21:0019:004 17:0015:003 12:0010:002 11:009:001 Arrivo a LONDRA Partenza da ROMA N° volo

23:0021:00E 22:0020:00D 16:0014:00C 11:009:00B 10:008:00A Arrivo a ROMA Partenza da LONDRA N° volo…e i seguenti da Londra a Roma

PROBLEMA: minimizzare il tempo di permanenza a terra degli aerei realizzando laccoppiamento ottimale tra voli in arrivo e voli in partenza, considerando inoltre la necessità di almeno unora a terra per problemi di manutenzione e rifornimento sui velivoli

SOLUZIONE: Quello in esame è un tipico problema di assegnamento che può essere formulato nel modo seguente:

Avendo indicato con: c ij il tempo di permanenza a terra dellaereo che, avendo completato il volo i viene assegnato al volo j x ij la variabile binaria indicante lassegnazione (x ij = 1) o la non assegnazione (x ij = 0) dellaereo proveniente dal volo i, al volo j la condizione che tra tutti gli aerei che hanno completato i voli i uno solo possa ripartire per il volo j la condizione che laereo che ha completato il volo i possa ripartire per uno solo dei j voli disponibili

Il tempo di permanenza a terra complessivo sarà determinato dalla somma dei tempi di permanenza a terra negli aeroporti Leonardo da Vinci di Fiumicino e Heathrow di Londra. Si rende necessaria quindi la risoluzione di due problemi distinti:

PROBLEMA 1 Minimizzazione dei tempi di permanenza a terra nellaeroporto Leonardo da Vinci Assumendo gli indici i e j come: abbiamo calcolato tutti i tempi di permanenza a Roma come differenza tra lorario di partenza del generico volo j e lorario darrivo del generico volo i, tenendo conto della necessità che questi non siano inferiori ad unora, ottenendo così la seguente tabella dei costi: i = A, …,E j = 1, …,5

TEMPI DI PERMANENZA A ROMA [ h ] E D C B A ARRIVO PARTENZA

MODELLO MATEMATICO MIN23X A1 + 24X A2 + 5X A3 + 9X A4 + 10X A X B1 + 23X B2 + 4X B3 + 8X B4 + 9X B X C1 + 18X C2 + 23X C3 + 3X C4 + 4X C X D1 + 12X D2 + 17X D3 + 21X D4 + 22X D X E1 + 11X E2 + 16X E3 + 20X E4 + 21X E5 Funzione obiettivo

1) X A1 + X A2 + X A3 + X A4 + X A5 = 1 2) X B1 + X B2 + X B3 + X B4 + X B5 = 1 3) X C1 + X C2 + X C3 + X C4 + X C5 = 1 4) X D1 + X D2 + X D3 + X D4 + X D5 = 1 5) X E1 + X E2 + X E3 + X E4 + X E5 = 1 6) X A1 + X B1 + X C1 + X D1 + X E1 = 1 7) X A2 + X B2 + X C2 + X D2 + X E2 = 1 8) X A3 + X B3 + X C3 + X D3 + X E3 = 1 9) X A4 + X B4 + X C4 + X D4 + X E4 = 1 10) X A5 + X B5 + X C5 + X D5 + X E5 = 1 Condizioni di vincolo

VALORE OTTIMALE DELLA FUNZIONE OBIETTIVO: 1) [h] VARIABLE VALUE REDUCED COST X A X B X C X D X E SOLUZIONE OTTIMA

Gli assegnamenti ottimali risultano pertanto: ACD E B VOLI IN ARRIVO VOLI IN PARTENZA

ATTENZIONE!! La matrice dei coefficienti (10 x 25): Ha rango 9 Pertanto le soluzioni ottime possibili sono: 16 Laccoppiamento trovato è ottimale ma non unico

PROBLEMA 2 Minimizzazione dei tempi di permanenza a terra nellaeroporto Heathrow di Londra In questo caso i domini degli indici i e j sono: i = 1, …,5 j = A, …,E I tempi di permanenza a Londra, calcolati come differenza (non inferiore ad unora) tra lorario di partenza del generico volo j e lorario darrivo del generico volo i, sono riportati nella seguente tabella dei costi:

TEMPI DI PERMANENZA A LONDRA [ h ] EDCBA ARRIVO PARTENZA

MODELLO MATEMATICO MIN21Y 1A + 22Y 1B + 3Y 1C + 9Y 1D + 10Y 1E + +20Y 2A + 21Y 2B + 2Y 2C + 8Y 2D + 9Y 2E + +15Y 3A + 16Y 3B + 21Y 3C + 3Y 3D + 4Y 3E + +11Y 4A + 12Y 4B + 17Y 4C + 23Y 4D + 24Y 4E + +10Y 5A + 11Y 5B + 16Y 5C + 22Y 5D + 23Y 5E Funzione obiettivo

Y 1A + Y 1B + Y 1C + Y 1D + Y 1E = 1 Y 2A + Y 2B + Y 2C + Y 2D + Y 2E = 1 Y 3A + Y 3B + Y 3C + Y 3D + Y 3E = 1 Y 4A + Y 4B + Y 4C + Y 4D + Y 4E = 1 Y 5A + Y 5B + Y 5C + Y 5D + Y 5E = 1 Y 1A + Y 2A + Y 3A + Y 4A + Y 5A = 1 Y 1B + Y 2B + Y 3B + Y 4B + Y 5B = 1 Y 1C + Y 2C + Y 3C + Y 4C + Y 5C = 1 Y 1D + Y 2D + Y 3D + Y 4D + Y 5D = 1 Y 1E + Y 2E + Y 3E + Y 4E + Y 5E = 1 Condizioni di vincolo

SOLUZIONE OTTIMA VALORE OTTIMALE DELLA FUNZIONE OBIETTIVO 1) [h] VARIABLE VALUE REDUCED COST Y 1E Y 2C Y 3D Y 4A Y 5B

Gli assegnamenti ottimali risultano pertanto: VOLI IN PARTENZA VOLI IN ARRIVO 4 D 3 5 E 10 2 B 11 1 A 3 C 2

Rango = 9 Pertanto le soluzioni ottime possibili sono: 16 Anche in questo caso la soluzione ottima trovata non è unica in quanto la matrice dei coefficienti (10 x 25) ha la stessa struttura di quella relativa al problema 1:

La sequenza ottima di voli tra Roma e Londra è: E C A B D 39 h37 h

Il problema generale di minimizzazione dei tempi di permanenza a terra degli aerei ammette quindi la soluzione ottima rappresentata nella diapositiva precedente e che implica un costo minimo totale pari a: z = z 1 + z 2 = = 76 h ore totali di permanenza a terra

La compagnia Avion Travel sta valutando lopportunità di raddoppiare i collegamenti Roma-Londra. PROBLEMA bis Per valutare la convenienza di questa scelta si richiede la conoscenza della variazione dei tempi di permanenza a terra in questa nuova situazione

La nuova tabella oraria giornalieria dei voli Roma-Londra diventerebbe… 24:0022: :0021:009 21:0019:008 20:0018:007 17:0015:006 15:0013:005 14:0012:004 11:009:003 10:008:002 8:006:001 Arrivo a LONDRA Partenza da ROMA N° volo

23:0021:00L 22:0020:00I 21:0019:00H 20:0018:00G 16:00F 14:00E 12:00D 10:00C 11:009:00B 10:008:00A Arrivo a ROMA Partenza da LONDRA N° volo…mentre quella Londra-Roma

PROBLEMA 1 bis I nuovi domini degli indici i e j sono: i = A, …,L j = 1, …,10 La tabella dei costi associata a questo problema risulta così costituita: Minimizzazione dei tempi di permanenza a terra nellaeroporto Leonardo da Vinci

TEMPI DI PERMANENZA A ROMA [ h ]

MODELLO MATEMATICO MIN20X A1 + 22X A2 + 23X A3 + 2X A4 + 3X A5 + 5X A6 + 8X A7 + 9X A8 + 11X A9 + 12X A X B1 + 21X B2 + 22X B3 + 1X B4 + 2X B5 + 4X B6 + 7X B7 + 8X B8 + 10X B9 + 11X B X C1 + 20X C2 + 21X C3 + 24X C4 + 1X C5 + 3X C6 + 6X C7 + 7X C8 + 9X C9 + 10X C X D1 + 18X D2 + 19X D3 + 22X D4 + 23X D5 + 1X D6 + 4X D7 + 5X D8 + 7X D9 + 8X D X E1 + 16X E2 + 17X E3 + 20X E4 + 21X E5 + 23X E6 + 2X E7 + 3X E8 + 5X E9 + 6X E X F1 + 14X F2 + 15X F3 + 18X F4 + 19X F5 + 21X F6 + 24X F7 + 1X F8 + 3X F9 + 4X F X G1 + 12X G2 + 13X G3 + 15X G4 + 17X G5 + 19X G6 + 22X G7 + 23X G8 + 1X G9 + 2X G X H1 + 11X H2 + 12X H3 + 14X H4 + 16X H5 + 18X H6 + 21X H7 + 22X H8 + 24X H9 + 1X H X I1 + 10X I2 + 11X I3 + 13X I4 + 15X I5 + 17X I6 + 20X I7 + 21X I8 + 23X I9 + 24X I X L1 + 9X L2 + 10X L3 + 12X L4 + 14X L5 + 16X L6 + 19X L7 + 20X L8 + 22X L9 + 23X L10 Funzione obiettivo

1) X A1 + X A2 + X A3 + X A4 + X A5 + X A6 + X A7 + X A8 + X A9 + X A10 = 1 2) X B1 + X B2 + X B3 + X B4 + X B5 + X B6 + X B7 + X B8 + X B9 + X B10 = 1 3) X C1 + X C2 + X C3 + X C4 + X C5 + X C6 + X C7 + X C8 + X C9 + X C10 = 1 4) X D1 + X D2 + X D3 + X D4 + X D5 + X D6 + X D7 + X D8 + X D9 + X D10 = 1 5) X E1 + X E2 + X E3 + X E4 + X E5 + X E6 + X E7 + X E8 + X E9 + X E10 = 1 6) X F1 + X F2 + X F3 + X F4 + X F5 + X F6 + X F7 + X F8 + X F9 + X F10 = 1 7) X G1 + X G2 + X G3 + X G4 + X G5 + X G6 + X G7 + X G8 + X G9 + X G10 = 1 8) X H1 + X H2 + X H3 + X H4 + X H5 + X H6 + X H7 + X H8 + X H9 + X H10 = 1 9) X I1 + X I2 + X I3 + X I4 + X I5 + X I6 + X I7 + X I8 + X I9 + X I10 = 1 10) X L1 + X L2 + X L3 + X L4 + X L5 + X L6 + X L7 + X L8 + X L9 + X L10 = 1 Vincoli…

11) X A1 + X B1 + X C1 + X D1 + X E1 + X F1 + X G1 + X H1 + X I1 + X L1 = 1 12) X A2 + X B2 + X C2 + X D2 + X E2 + X F2 + X G2 + X H2 + X I2 + X L2 = 1 13) X A3 + X B3 + X C3 + X D3 + X E3 + X F3 + X G3 + X H3 + X I3 + X L3 = 1 14) X A4 + X B4 + X C4 + X D4 + X E4 + X F4 + X G4 + X H4 + X I4 + X L4 = 1 15) X A5 + X B5 + X C5 + X D5 + X E5 + X F5 + X G5 + X H5 + X I5 + X L5 = 1 16) X A6 + X B6 + X C6 + X D6 + X E6 + X F6 + X G6 + X H6 + X I6 + X L6 = 1 17) X A7 + X B7 + X C7 + X D7 + X E7 + X F7 + X G7 + X H7 + X I7 + X L7 = 1 18) X A8 + X B8 + X C8 + X D8 + X E8 + X F8 + X G8 + X H8 + X I8 + X L8 = 1 19) X A9 + X B9 + X C9 + X D9 + X E9 + X F9 + X G9 + X H9 + X I9 + X L9 = 1 20) X A10 + X B10 + X C10 + X D10 + X E10 + X F10 + X G10 + X H10 + X I10 + X L10 = 1 …e ancora vincoli!

VALORE OTTIMALE DELLA FUNZIONE OBIETTIVO: 1) [h] VARIABLE VALUE REDUCED COST X A X B X C X D X E X F X G X H X I X L SOLUZIONE OTTIMA

Gli assegnamenti ottimali risultano pertanto: ACD E FGH IL B VOLI IN ARRIVO VOLI IN PARTENZA

La matrice dei coefficienti (20 x 100): ha rango 19 Pertanto le soluzioni ottime possibili sono: 81 Laccoppiamento trovato è ottimale ma non unico

PROBLEMA 2 bis Minimizzazione dei tempi di permanenza a terra nellaeroporto Heathrow di Londra Assumendo gli indici i e j come: i = 1, …,10 j = A, …,L e ricalcolando i tempi di permanenza a terra abbiamo ottenuto la seguente tabella dei costi:

TEMPI DI PERMANENZA A LONDRA [h]

MODELLO MATEMATICO MIN 24Y 1A + 1Y 1B + 2Y 1C + 4Y 1D + 6Y 1E + 8Y 1F + 10Y 1G + 11Y 1H + 12Y 1I + 13Y 1L Y 2A + 23Y 2B + 24Y 2C + 2Y 2D + 4Y 2E + 6Y 2F + 8Y 2G + 9Y 2H + 10Y 2I + 11Y 2L Y 3A + 22Y 3B + 23Y 3C + 1Y 3D + 3Y 3E + 5Y 3F + 7Y 3G + 8Y 3H + 9Y 3I + 10Y 3L Y 4A + 19Y 4B + 20Y 4C + 22Y 4D + 24Y 4E + 2Y 4F + 4Y 4G + 5Y 4H + 6Y 4I + 8Y 4L Y 5A + 18Y 5B + 19Y 5C + 21Y 5D + 23Y 5E + 1Y 5F + 3Y 5G + 4Y 5H + 5Y 5I + 6Y 5L Y 6A + 16Y 6B + 17Y 6C + 19Y 6D + 21Y 6E + 23Y 6F + 1Y 6G + 2Y 6H + 3Y 6I + 4Y 6L Y 7A + 13Y 7B + 14Y 7C + 16Y 7D + 18Y 7E + 20Y 7F + 22Y 7G + 23Y 7H + 24Y 7I + 1Y 7L Y 8A + 12Y 8B + 13Y 8C + 15Y 8D + 17Y 8E + 19Y 8F + 21Y 8G + 22Y 8H + 23Y 8I + 24Y 8L + + 9Y 9A + 10Y 9B + 11Y 9C + 13Y 9D + 15Y 9E + 17Y 9F + 19Y 9G + 20Y 9H + 21Y 9I + 22Y 9L + + 8Y 10A + 9Y 10B + 10Y 10C + 12Y 10D + 14Y 10E + 16Y 10F + 18Y 10G + 19Y 10H + 20Y 10I + 21Y 10L Funzione obiettivo

1)Y 1A + Y 1B + Y 1C + Y 1D + Y 1E + Y 1F + Y 1G + Y 1H + Y 1I + Y 1L = 1 2)Y 2A + Y 2B + Y 2C + Y 2D + Y 2E + Y 2F + Y 2G + Y 2H + Y 2I + Y 2L = 1 3)Y 3A + Y 3B + Y 3C + Y 3D + Y 3E + Y 3F + Y 3G + Y 3H + Y 3I + Y 3L = 1 4)Y 4A + Y 4B + Y 4C + Y 4D + Y 4E + Y 4F + Y 4G + Y 4H + Y 4I + Y 4L = 1 5)Y 5A + Y 5B + Y 5C + Y 5D + Y 5E + Y 5F + Y 5G + Y 5H + Y 5I + Y 5L = 1 6)Y 6A + Y 6B + Y 6C + Y 6D + Y 6E + Y 6F + Y 6G + Y 6H + Y 6I + Y 6L = 1 7)Y 7A + Y 7B + Y 7C + Y 7D + Y 7E + Y 7F + Y 7G + Y 7H + Y 7I + Y 7L = 1 8)Y 8A + Y 8B + Y 8C + Y 8D + Y 8E + Y 8F + Y 8G + Y 8H + Y 8I + Y 8L = 1 9)Y 9A + Y 9B + Y 9C + Y 9D + Y 9E + Y 9F + Y 9G + Y 9H + Y 9I + Y 9L = 1 10)Y 10A + Y 10B + Y 10C + Y 10D + Y 10E + Y 10F + Y 10G + Y 10H + Y 10I + Y 10L = 1 Condizioni di vincolo

Y 1A + Y 2A + Y 3A + Y 4A + Y 5A + Y 6A + Y 7A + Y 8A + Y 9A + Y 10A = 1 Y 1B + Y 2B + Y 3B + Y 4B + Y 5B + Y 6B + Y 7B + Y 8B + Y 9B + Y 10B = 1 Y 1C + Y 2C + Y 3C + Y 4C + Y 5C + Y 6C + Y 7C + Y 8C + Y 9C + Y 10C = 1 Y 1D + Y 2D + Y 3D + Y 4D + Y 5D + Y 6D + Y 7D + Y 8D + Y 9D + Y 10D = 1 Y 1E + Y 2E + Y 3E + Y 4E + Y 5E + Y 6E + Y 7E + Y 8E + Y 9E + Y 10E = 1 Y 1F + Y 2F + Y 3F + Y 4F + Y 5F + Y 6F + Y 7F + Y 8F + Y 9F + Y 10F = 1 Y 1G + Y 2G + Y 3G + Y 4G + Y 5G + Y 6G + Y 7G + Y 8G + Y 9G + Y 10G = 1 Y 1H + Y 2H + Y 3H + Y 4H + Y 5H + Y 6H + Y 7H + Y 8H + Y 9H + Y 10H = 1 Y 1I + Y 2I + Y 3I + Y 4I + Y 5I + Y 6I + Y 7I + Y 8I + Y 9I + Y 10I = 1 Y 1L + Y 2L + Y 3L + Y 4L + Y 5L + Y 6L + Y 7L + Y 8L + Y 9L + Y 10L = 1 Condizioni di vincolo

SOLUZIONE OTTIMA VALORE OTTIMALE DELLA FUNZIONE OBIETTIVO 1) [h] VARIABLE VALUE REDUCED COST Y 1B Y 2D Y 3E Y 4G Y 5F Y 6I Y 7L Y 8A Y 9C Y 10H

Gli assegnamenti ottimali risultano pertanto: VOLI IN PARTENZA VOLI IN ARRIVO I 2 D 3 E 1 F 4 G 19 H 1 L 1 B 11 A C

La matrice dei coefficienti (20 x 100): ha rango 19 Pertanto le soluzioni ottime possibili sono: 81 Anche in questo caso laccoppiamento trovato è ottimale ma non unico

La sequenza ottima di voli tra Roma e Londra è: BGHDIELFAC h 56 h

La soluzione ottima del problema di assegnamento nel caso si attuasse il raddoppio del numero dei collegamenti Roma-Londra è pari a: z = z 1 + z 2 = = 104 h ore totali di permanenza a terra

CONCLUSIONI Limitando lanalisi ai tempi di permanenza a terra risulta più proficua la soluzione con 20 voli giornalieri in quanto: Lincremento dei tempi di permanenza a terra è circa del 37% in corrispondenza di un incremento del 100% del numero di voli; Il tempo medio di permanenza a terra per velivolo è pari a 5,2 h contro le 7,6 h che si hanno attualmente.

OSSERVAZIONI Come visto in precedenza, per via della particolare struttura delle matrici dei coefficienti, le soluzioni trovate, pur essendo ottime, non sono uniche. Questa pluralità di soluzioni consente di modificare la sequenza dei voli che potrebbe rendersi necessaria a seguito di altri vincoli non considerati in questanalisi. E facile determinare le soluzioni alternative intervenendo direttamente sulla tabella dei costi una volta nota una soluzione ottima.

E D C B A A P Prendiamo in esame la tabella dei costi relativa al PROBLEMA 1 con in evidenza la soluzione ottima trovata:

E immediato notare che è possibile scambiare gli assegnamenti dei voli D ed E tra loro (così come tra i voli A e C) ottenendo lo stesso tempo totale di permanenza a terra E D C B A A P

E D C B A A P Le combinazioni di questi scambi (e degli altri possibili non evidenziati) danno luogo allinfinità di soluzioni resa evidente in precedenza da considerazioni in merito al rango della matrice dei coefficienti.

SOFTWARE UTILIZZATO Demo Lindo/PC Release 6.1(27 Nov. 01) Lindo Systems, Inc North Dayton St. Chicago, IL Dimensioni massime del modello: Vincoli 150 Variabili 300 Variabili intere 50 Nonzeros Homepage Lindo Systems Homepage Lindo Systems