Alcune Applicazioni della Matematica Stefano Serra Capizzano e-mail: stefano.serrac@uninsubria.it

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Sfuocamento di un segnale T(segnale vero) = segnale sfuocato Funzione di sfuocamento Impulso T Segnale vero Segnale sfuocato

Formulazione algebrica La funzione di sfuocamento T è un’applicazione lineare! Siano f il vettore contenente i campionamenti del segnale vero g il vettore contenente i campionamenti del segnale sfuocato T la matrice costruita a partire dallo sfuocamento di un impulso Il vettore g è ottenuto mediante g = T*f La matrice T dell’esempio è

Una PSF più realistica T T Funzione di sfuocamento Impulso Segnale vero Segnale sfuocato

Operatore di sfuocamento La matrice che opera lo sfuocamento è Notazione stencil: [0.01, 0.02, 0.03, 0.05, 0.12, 0.17, 0.2, 0.17, 0.12, 0.05, 0.03, 0.02, 0.01]

Prodotto matrice-vettore (n-1 somme + n prodotti) x n = 2n2-n operazioni

Casi speciali ma importanti … In molte applicazioni: TAC Immagini astronomiche Simulazioni numeriche la matrice T ha una struttura ben definita: Circolanti Toeplitz … La struttura deve essere sfruttata per definire algoritmi più veloci!

Matrici Circolanti F e G matrici di Fourier prodotto matrice- vettore in cmlog2m operazioni Divide et impera z:=Gx, d:=Ft, Prodotto matrice-vettore con circolanti in 3cmlog2m operazioni

Matrici di Toeplitz Ricostruzione di segnali → matrici di Toeplitz Prodotto matrice-vettore Soluzione: si utilizza C! Elementi costanti lungo le diagonali. Circolante spazza-tura Esempio:

Sfuocamento di un’immagine Funzione di sfuocamento Impulso (stella) T Immagine vera Immagine sfuocata

Ricostruzione di Immagini … T(Immagine vera) = Immagine sfuocata T-1 T Imaging Astronomico Imaging Medico Militari Criminologia Applicazioni

Il ruolo di un piccolo rumore … (Immagine vera) = Immagine sfuocata + rumore = Immagine osservata + µ T T-1 regolarizzazione Problema: µ (il rumore) è piccolo ma T-1(µ) è grande. Soluzione: regolarizzazione (Tikhonov, Wavelets, ...).

Regolarizzazione Iterativa Il problema può essere formalizzato dal sistema lineare dove g rappresenta l’immagine osservata, f quella originale e A l’operatore di sfuocamento. Un metodo iterativo costruisce una successione di approssimazioni f0, f1, f2, … tale che Poiché f = A-1g è inutilizzabile a causa del rumore bisogna arrestare il metodo iterativo dopo pochi passi senza raggiungere la convergenza.

Errore di Ricostruzione L’errore di ricostruzione e’ la differenza fra l’immagine vera e quella calcolata. Un metodo iterativo nei primi passi lavora dove “vive” l’immagine e l’errore di ricostruzione si riduce, poi passa a lavorare dove “vive” il rumore e l’errore di ricostruzione cresce.

Immagine sfuocata + rumore = 1% Immagini ricostruite Immagine vera Immagine sfuocata + rumore = 1% Ricostruzione Sfuocamento di un punto 5 iterazioni 15 iterazioni 50 iterazioni

Altri Esempi … Immagini Vere Immagini Osservate Immagini Ricostruite

Ricerche veloci su Internet … l’esempio di Google

I criteri della ricerca Criteri di base: Non fa distinzione fra maiuscole e minuscole Ignora gli accenti e le parole “comuni” (e, per, …) Ricerca tutti i termini richiesti Ordinamento dei risultati: Non si limita al numero di occorrenze dei termini ricercati Esamina tutti gli aspetti del contenuto della pagina e delle pagine ad essa correlate Assegna una priorità in base alla “vicinanza” dei termini ricercati PageRank: importanza e qualità di una pagina nel Web

Il Ranking delle Pagine Web: I ω{1, ..., N=1010}, ω indicizza le pagine I(ω) = “importanza della pagina ω” I(ω) cresce se c’è un link (una connessione) da α a ω I(ω) cresce di più se I(α) è alto I(ω) cresce di meno se α ha molti link ω Web α

Il Ranking delle Pagine Web: II = [I(1), I(2), …, I(N)] A = [A(ω, α)], A(ω, α) = autovettore rispetto all’autovalore 1 di A ≥ 0 Def.: x autovettore relativo all’autovalore λ se Ax=λx, x≠0.

Un Esempio Web A B C D C Num. Iter. A B D 0.99 1925 0.4972 0.4966 0.0025 0.0037 0.95 377 0.4861 0.4830 0.0125 0.0184 0.85 119 0.4588 0.4502 0.0375 0.0534 0.75 68 0.4325 0.4191 0.0625 0.0859

Web e Algebra Lineare Numerica Un problema di Algebra Lineare Numerica di dimensione 1010 … (ed in continua crescita!). Relazioni con l’elegante Teoria delle Matrici non negative di Perron e Frobenius. Tecniche di estrapolazione vettoriale, partizionamento a blocchi (ricerche di struttura).

Quale Matematica? Matematica pura? Matematica applicata? Il confine tra ciò che è profondo e ciò che è superficiale è più significativo del confine (del tutto arbitrario) tra Matematica pura e Matematica applicata. La Matematica applicata non esiste … esistono invece le applicazioni della Matematica (parafrasando Pasteur sulla scienza).