Stefano CERONI - 753605 Sara TOIA - 753606 Università degli Studi di Milano Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Dipartimento di Informatica e Comunicazione Corso di Laurea in Tecnologie dell’Informazione e della Comunicazione e Informatica SIMULAZIONE DEL MOVIMENTO ONDOSO DI UN FLUIDO CON IL METODO DI KASS E MILLER TRAMITE UNA SUPERFICIE DI BEZIER Stefano CERONI - 753605 Sara TOIA - 753606

RICHIAMI SUI FLUIDI FLUIDO: sostanza che si deforma con continuità sotto l’applicazione di una forza di taglio.

RICHIAMI SUI FLUIDI FLUIDO: sostanza che si deforma con continuità sotto l’applicazione di una forza di taglio. Gli strumenti disponibili per lo studio di un fluido sono: Conservazione della massa Leggi di Newton Principi della termodinamica

Gli strumenti disponibili per lo studio di un fluido sono: RICHIAMI SUI FLUIDI FLUIDO: sostanza che si deforma con continuità sotto l’applicazione di una forza di taglio. Gli strumenti disponibili per lo studio di un fluido sono: Conservazione della massa Leggi di Newton Principi della termodinamica N.B.: nel nostro lavoro andremo ad utilizzare le leggi di Newton

DINAMICA DEI FLUIDI Le grandezze di base sono: ESTENSIVE (proporzionali alla massa del sistema) Massa scalare Momento lineare vettoriale Momento angolare vettoriale Energia scalare INTENSIVE (indipendenti dalla massa del sistema) Pressione scalare Velocità vettoriale

FISICA: MOTO ONDOSO Le onde sono provocate dall’attrito del vento con la superficie d’acqua

CARATTERISTICHE DI UN’ONDA FISICA: MOTO ONDOSO Le onde sono provocate dall’attrito del vento con la superficie d’acqua CARATTERISTICHE DI UN’ONDA lunghezza: distanza fra cresta e cresta oppure fra ventre e ventre altezza: distanza verticale tra cresta e cavo velocità di propagazione: spazio percorso da una cresta nell’unità di tempo

FISICA: MOTO ONDOSO Il moto del liquido viene espresso tramite le equazioni di Navier-Stokes:

FISICA: MOTO ONDOSO Il moto del liquido viene espresso tramite le equazioni di Navier-Stokes:

FISICA: MOTO ONDOSO Il moto del liquido viene espresso tramite le equazioni di Navier-Stokes: dove: u,v e w = componenti della velocità rispettivamente lungo le coordinate spaziali x,y,z p = pressione ν = coefficiente di viscosità del fluido ρ = densità del fluido fx,fy e fz = componenti forze esterne lungo le coordinate x,y,z

Per il nostro fluido deve essere soddisfatta anche l’equazione di continuità:

Per il nostro fluido deve essere soddisfatta anche l’equazione di continuità: Assicurando cioè che, preso un volume infinitesimale di liquido, la quantità di flusso entrante nella superficie che racchiude il volume, sarà uguale alla quantità di flusso uscente

SIMULAZIONE DEL MOVIMENTO ONDOSO DI UN FLUIDO CON IL METODO DI KASS E MILLER TRAMITE UNA SUPERFICIE DI BEZIER acqua in computer grafica = COMPLESSA DA SIMULARE

SIMULAZIONE DEL MOVIMENTO ONDOSO DI UN FLUIDO CON IL METODO DI KASS E MILLER TRAMITE UNA SUPERFICIE DI BEZIER acqua in computer grafica = COMPLESSA DA SIMULARE riflessione delle onde, movimento delle acque, comportamenti di oggetti immersi, ecc. …

DISPENDIO COMPUTAZIONALE SIMULAZIONE DEL MOVIMENTO ONDOSO DI UN FLUIDO CON IL METODO DI KASS E MILLER TRAMITE UNA SUPERFICIE DI BEZIER acqua in computer grafica = COMPLESSA DA SIMULARE riflessione delle onde, movimento delle acque, comportamenti di oggetti immersi, ecc. … DISPENDIO COMPUTAZIONALE

questo metodo permette la simulazione del movimento ondoso in maniera SIMULAZIONE DEL MOVIMENTO ONDOSO DI UN FLUIDO CON IL METODO DI KASS E MILLER TRAMITE UNA SUPERFICIE DI BEZIER questo metodo permette la simulazione del movimento ondoso in maniera veloce stabile facilmente implementabile senza un eccessivo dispendio computazionale

Per esprimere il moto del liquido, il metodo fa riferimento alle equazioni di Navier-Stokes.

Per esprimere il moto del liquido, il metodo fa riferimento alle equazioni di Navier-Stokes. Poiché queste sono complesse, Kass e Miller si avvalgono di tre assunzioni:

Per esprimere il moto del liquido, il metodo fa riferimento alle equazioni di Navier-Stokes. Poiché queste sono complesse, Kass e Miller si avvalgono di tre assunzioni: il fluido è una superficie con valori di altezza

Per esprimere il moto del liquido, il metodo fa riferimento alle equazioni di Navier-Stokes. Poiché queste sono complesse, Kass e Miller si avvalgono di tre assunzioni: il fluido è una superficie con valori di altezza la componente verticale della velocità va ignorata

Per esprimere il moto del liquido, il metodo fa riferimento alle equazioni di Navier-Stokes. Poiché queste sono complesse, Kass e Miller si avvalgono di tre assunzioni: il fluido è una superficie con valori di altezza la componente verticale della velocità va ignorata la componente orizzontale della velocità è costante

NO A ONDE CHE SI INFRANGONO NO A CORRENTI VERTICALI Per esprimere il moto del liquido, il metodo fa riferimento alle equazioni di Navier-Stokes. Poiché queste sono complesse, Kass e Miller si avvalgono di tre assunzioni: il fluido è una superficie con valori di altezza la componente verticale della velocità va ignorata la componente orizzontale della velocità è costante NO A ONDE CHE SI INFRANGONO NO A CORRENTI VERTICALI

b(x) = altezza del suolo h(x) = altezza dell’acqua Sapendo che: b(x) = altezza del suolo h(x) = altezza dell’acqua La profondità dell’acqua d (x) sarà data da: d (x) = h(x) – b(x)

Considerando le assunzioni viste precedentemente, le equazioni del moto ondoso diventano:

Considerando le assunzioni viste precedentemente, le equazioni del moto ondoso diventano: dove u(x) = velocità orizzontale dell'onda g = accelerazione di gravità

Considerando le assunzioni viste precedentemente, le equazioni del moto ondoso diventano: Legge di Newton (F = ma) dove u(x) = velocità orizzontale dell'onda g = accelerazione di gravità

Considerando le assunzioni viste precedentemente, le equazioni del moto ondoso diventano: Legge di Newton (F = ma) Legge di Conservazione del volume dove u(x) = velocità orizzontale dell'onda g = accelerazione di gravità

Differenziando la prima rispetto a x, e la seconda rispetto a t si ottiene:

Differenziando la prima rispetto a x, e la seconda rispetto a t si ottiene: Sostituendo avremo:

Differenziando la prima rispetto a x, e la seconda rispetto a t si ottiene: Sostituendo avremo: che è l'equazione che esprime la legge del moto di un'onda di velocità v = (gd) ½

Per risolvere l’equazione è necessario costruire una rappresentazione discreta dell’equazione continua. Ovvero, bisogna procedere con una discretizzazione, ottenendo:

Per risolvere l’equazione è necessario costruire una rappresentazione discreta dell’equazione continua. Ovvero, bisogna procedere con una discretizzazione, ottenendo:

Il risultato acquisito va integrato. Ci sono diversi modi per procedere. Kass e Miller suggeriscono di utilizzare un metodo implicito di primo ordine.

Si ottiene:

Si ottiene: che, con i dovuti ri-arrangiamenti, diventa:

Linearizzando l’ultima equazione si ottiene:

Linearizzando l’ultima equazione si ottiene: dove A è una matrice quadrata, così composta:

A questo punto è possibile procedere con l’implementazione dell’algoritmo.