Le Onde Gravitazionali: Introduzione Sperimentale

Contenuto Lezione 6 1) Le OG come soluzioni delle Eq. di Einstein: richiami 2) Effetti di un’ OG 3) Cosa accade “veramente” in un laboratorio 4) Ordini di grandezza in gioco: il ruolo degli oggetti astrofisici compatti 5) Segnali attesi da sorgenti astrofisiche

Richiami sulla derivazione Linearizzazione delle Equazioni di Einstein Ricordiamo che… Il tensore energia-impulso definisce la metrica attraverso le equazioni di Einstein In generale non risolvibile analiticamente….. gik » hik + hik |hik| « 1 IPOTESI DI CAMPO DEBOLE APPROSSIMAZIONE AL PRIMO ORDINE IN h DEL TENSORE DI RIEMANN GAUGE ARMONICA (ANNULLA TERMINI E MANTIENE IL CAMPO DEBOLE)

Cos’è un’onda gravitazionale (*) t ed r indicano le coordinate spazio-temporali del sistema di riferimento particolare in cui vale la gauge armonica ed in cui il campo è debole. Cos’è un’onda gravitazionale Linearizzazione delle Equazioni di Einstein ٱ Soluzione tipo “potenziali ritardati” (già descrive la propagazione a velocità c) (*) ٱ Nel vuoto Ogni soluzione è scrivibile come sovrapposizione di onde piane

Cos’è un’onda gravitazionale (*) t ed r indicano le coordinate spazio temporali del sistema di riferimento particolare (anzi dei sistemi di riferimento particolari, esistono infatti altre gauge possibili) in cui vale la gauge armonica ed in cui il campo è debole. (**) Bisogna riflettere sul significato di questi termini: Il primo è la solita espressione del vettore d’onda: ci dice che il vettore è massless (E^2/c^2 – p^2 = 0). Lo vedi applicando l’operatore quadratello all’onda piana….Resta km km eikmxm = 0, da cui la condizione che hai scritto ed il suo ovvio significato. Il secondo è la gauge armonica che tradotta sulla particolare soluzione di onda piana mi dice che la divergenza di h barra è nulla, ovvero che vale la condizione di trasversalità. Quindi onda piana trasversa a massa nulla (ovvero che si propaga alla velocità della luce). Cos’è un’onda gravitazionale Linearizzazione delle Equazioni di Einstein ٱ (*) Soluzione tipo “potenziali ritardati” (già descrive la propagazione a velocità c) Nel vuoto ٱ (Dalle Equazioni del moto) (**) (Condizione di Gauge Armonica per l’onda piana)

Cos’è un’onda gravitazionale Linearizzazione delle Equazioni di Einstein Nel vuoto ٱ Gauge TT Si annullano 4 delle 6 componenti indipendenti del tensore e Direzione di propagazione z

Cos’è un’onda gravitazionale Linearizzazione delle Equazioni di Einstein Sovrapposizione di due onde piane polarizzate + e X 5 parametri reali identificano l’onda: due angoli (direzione di propagazione) e due ampiezze di polarizzazione complesse, ovvero due numeri reali più la fase relativa.

Cos’è un’onda gravitazionale (*) t è il tempo proprio misurato nel sistema di riferimento mentre la forma di h è la stessa di sopra, ricavata nel TT. Cos’è un’onda gravitazionale Linearizzazione delle Equazioni di Einstein Per comprendere il significato dei due stati di polarizzazione ‘+’ e ‘X’ è necessario riprendere l’equazione che governa la distanza tra due particelle libere (Equazione delle geodetiche): Se v<<c questa si riduce a scrivere…. Nell’ipotesi di campo debole la relazione che determina l’evoluzione della distanza tra due masse x è: (*)

Cos’è un’onda gravitazionale (*) t è il tempo proprio misurato nel sistema di riferimento mentre la forma di h è la stessa di sopra, ricavata nel TT. Cos’è un’onda gravitazionale Linearizzazione delle Equazioni di Einstein Integrando, per piccole variazioni della distanza…. Si può quindi comprendere il significato dei due stati di polarizzazione guardando gli effetti su un anello di masse libere di questa deformazione di natura mareale, semplicemente inserendo al posto del tensore h ciascuno dei due tensori di polarizzazione di cui sopra ed ottenere le note deformazioni indotte… Stato + Stato X

Cos’è un’onda gravitazionale Linearizzazione delle Equazioni di Einstein Per comprendere il significato dei due stati di polarizzazione ‘+’ e ‘X’ è necessario riprendere l’equazione che governa la distanza tra due particelle libere (Equazione delle geodetiche): Se v<<c questa si riduce a scrivere….

L’effetto y (0,L,0) x Free Fall Mirrors (0,0,0) (L,0,0) E’ la distanza spazio-temporale tra il punto di partenza ed il punto di arrivo di un raggio di luce. L’effetto y (0,L,0) x Free Fall Mirrors Intervallo tra due eventi contigui dello spazio-tempo connessi da un raggio di luce (0,0,0) (*) (L,0,0) Svolgo l’esercizio sull’asse x dy=dz = 0 Tempo impiegato dal raggio di luce per raggiungere lo specchio terminale come visto dall’orologio sul Beam-Splitter

Tempo totale andata-ritorno (*) Il segno – è necessario dal fatto che sto tornando indietro e quindi la distanza dx tra i due punti contigui è negativa. L’effetto y (0,L,0) x Free Fall Mirrors (0,0,0) (L,0,0) Idem per il ritorno (*) Tempo totale andata-ritorno

Tempo totale andata-ritorno asse y L’effetto y (0,L,0) x Free Fall Mirrors (0,0,0) (L,0,0) Ripeto il ragionamento sull’asse y (dx=dz=0), ottenendo l’espressione identica con hyy in luogo di hxx Tempo totale andata-ritorno asse y

L’effetto y (0,L,0) x Free Fall Mirrors (0,0,0) (L,0,0) Ipotesi di bassa frequenza wt << 1 (Perturbazione costante durante il round trip) (0,0,0) Consideriamo un’onda polarizzata ‘+’ che si propaga lungo l’asse z (hyy = - hxx, =h, ovvero perturbazioni di segno opposto nei due bracci). (L,0,0) Più lunghi sono i bracci, più grande è lo sfasamento Differenza nei tempi di arrivo (Sfasamento dei fasci interferenti)

L’effetto y (0,L,0) x Free Fall Mirrors (0,0,0) (L,0,0) dove Se L è troppo grande l’ipotesi di perturbazione costante durante il round-trip viene meno… E’sufficiente ripetere l’esercizio considerando invece In luogo di h costante… (0,0,0) (L,0,0) Termine precedente dove Correzione A frequenze maggiori dell’inverso del tempo di round trip si ha una depressione dell’effetto

L’effetto Si può affrontare il caso generale in cui l’onda gravitazionale proviene da una generica direzione (identificata dagli angoli q e f) per i due stati di polarizzazione ‘+’ e ‘x’ q è l’angolo polare f è l’angolo azimutale Si osservi dove si annullano gli effetti dovuti alle due polarizzazioni. L’effetto ‘+’ per incidenze lungo i piani bisettrici (Cos 2f = 0) e l’effetto ‘X’ per incidenze lungo i piani assiali x-z ed y-z (Sin 2f = 0) o lungo il piano x-y (Cosq= 0). Un interferometro è cieco solo per direzioni di incidenza lungo le bisettrici del piano x-y. L’interferometro non è “direzionale”….. La media della risposta su tutte le direzioni di incidenza per onde non polarizzate è circa 5-1/2 del massimo.

L’effetto Osservazione Importante: Cosa accade in un “Laboratorio Classico” Vale la fisica Classica con l’aggiunta di un termine “classico” di marea Sistema del CM Ha la stessa forma ottenuta nel sistema TT (Vedi Gravitation Par.37.2) Regoli Rigidi Tempo unico in tutto il laboratorio La Relatività Generale può essere “dimenticata” nello studio degli effetti in Laboratorio: tutto si comporta classicamente con l’aggiunta di una forza di marea di forma nota.

L’effetto Osservazione Importante: Cosa accade in un “Laboratorio Classico” Vale la fisica Classica con l’aggiunta di un termine “classico” di marea Sistema del CM Regoli Rigidi Tempo unico in tutto il laboratorio Ha la stessa forma ottenuta nel sistema TT (Vedi Gravitation Par.37.2) Molto importante per stabilire cosa accade veramente in termini sp pratici al passaggio di un’onda gravitazionale.

L’effetto Osservazione Importante: Cosa accade in un “Laboratorio Classico” Vale la fisica Classica con l’aggiunta di un termine “classico” di marea Sistema del CM Regoli Rigidi Tempo unico in tutto il laboratorio Molto importante per stabilire cosa accade veramente in termini sp pratici al passaggio di un’onda gravitazionale.

forza classica che si sovrappone alle altre forze di natura elastica. L’effetto Osservazione Importante: Cosa accade in un “Laboratorio Classico” Gli effetti di un’OG su una sbarra possono essere descritti attraverso una forza classica che si sovrappone alle altre forze di natura elastica.

La Generazione Sviluppo di Multipolo (rsource/l) (*) Il valore di d punto è costante nel tempo e quindi d due punti, da cui dipende l’energia di emissione, è nullo. Idem per il momento angolare. L’energia emessa dipende dalla derivata del momento angolare. (**) Nota il termine TT nell’espressione che vuol dire che il quadrupolo deve essere calcolato nel sistema TT, ovvero usando le coordinate fissate in quella Gauge. La Generazione Sviluppo di Multipolo (rsource/l) Dalla conservazione dell’impulso (*) (*) Dalla conservazione del momento Primo termine dello sviluppo non necessariamente nullo (**)

La Generazione Sviluppo di Multipolo (rsource/l) (*) La luminosità della sorgente viene ricavata dalla forma del tensore energia-impulso dell’onda che si propaga nella direzione z e che ha come uniche componenti non nulle T00(densità di Energia), T0z (Flusso di Energia) e Tzz (Flusso di impulso). In particolare, il flusso di Energia T0z = c T00 = T0z / c = 1/16p x c3/G x <dh+/dt 2 + dhx/dt 2 > dove <> indica la media su diverse lunghezze d’onda. La Generazione Sviluppo di Multipolo (rsource/l) Dalla conservazione dell’impulso Dalla conservazione del momento Primo termine dello sviluppo non necessariamente nullo (*) Luminosità della sorgente

Ordini di grandezza in gioco w Numero Piccolissimo: (3.6 x 1052 W)-1 M = 1000 tonellate L = 100 m w = 10 rad / s (al limite del carico di rottura) Luminosità dell’ordine di 10-26 W !!! Vedremo in seguito come solo una frazione risibile di questa Energia possa essere intercettata da un detector: sezioni d’urto tipiche di un rivelatore a barra sono dell’ordine di 10-20

Ordini di grandezza in gioco w Oggetto Astrofisico Compatto (Espressioni relativistiche della stessa fisica) 3 10-2 Pre-coalescinig Neutron Stars Situazione Rovesciata !!! Luminosità dell’ordine di 1043 W  1017 Luminosità Solari

Ordini di grandezza in gioco w Oggetto Astrofisico Compatto (Espressioni relativistiche della stessa fisica) Pre-coalescinig Neutron Stars 3 10-2 3 10-2 Situazione Rovesciata !!! Energie enormi che condizionano l’evoluzione (sostenibili solo per frazioni di sec)

Ordini di grandezza in gioco (*) La formula è derivata direttamente dal tensore energia-impulso dell’onda che si propaga nella direzione z e che ha come uniche componenti non nulle T00(densità di Energia), T0z (Flusso di Energia) e Tzz (Flusso di impulso). In particolare, il flusso di Energia T0z = c T00 = T0z / c = 1/16p x c3/G x <dh+/dt 2 + dhx/dt 2 > dove <> indica la media su diverse lunghezze d’onda. Scrivendo h due punti come 4p2f2h2, si ottiene la formula indicata nel trasparente. La dipendenza del flusso incidente dall’inverso del quadrato della distanza è mascherata dentro h che, come visto, dipende dall’inverso della distanza. Ordini di grandezza in gioco w (*) Flusso di Energia ad una distanza r Se h = 10-20  3% dell’energia solare (1 kW/m2) incide sulla terra (per frazioni di secondo)

Ordini di grandezza in gioco w M M 2r0 Emissione al doppio della frequenza di rotazione (non dipendente dal tempo e quindi nullo per l’emissione)

Ordini di grandezza in gioco w M M 2r0 OG in un punto a distanza R sull’asse z

Ordini di grandezza in gioco w M M 2r0 Esprimendo in funzione del raggio di Schwarzild ed usando l’equazione Newtoniana che mi fornisce il valore della frequenza orbitale in funzione del raggio…. (!)

Ordini di grandezza in gioco w M M 2r0 Esprimendo in funzione del raggio di Schwarzild ed usando l’equazione Newtoniana che mi fornisce il valore della frequenza orbitale in funzione del raggio….

Ordini di grandezza in gioco w Sistema “binario da laboratorio” M M 2r0 (Condizione per essere in zona d’onda)

Sorgenti Astrofisiche REGOLE BASE Rottura della simmetria sferica

Sorgenti Astrofisiche chirp BINARIE COALESCENTI Tempo di Permanenza cresce fortemente alle basse frequenze

Sorgenti Astrofisiche COLLASSI STELLARI Esplosioni da nane bianche per cattura Supernovae Tipo I e tipo II Stelle Supermassive (Centro galattico) Impulsi della durata di qualche millisecondo Pochi eventi per secolo (VIRGO Cluster) Diversi eventi al mese

Sorgenti Astrofisiche STELLE DI NEUTRONI Sorgenti Periodiche Bassa ampiezza ma lungo tempo di integrazione 10-4 - 10-2

Sorgenti Astrofisiche BACKGROUND Sovrapposizione incoerente da sorgenti astrofisiche sconosciute Natura Cosmologica

A Simple Detector h = 10-21  fgw = 3·10-11 rad

Fabry-Perot Cavities to increase the effect Amplify the length-to-phase transduction Storage time: Effective length: L’=L(2F/p)

Optical Readout Noise 20 W  1 kW Power fluctuations limit the phase sensitivity. Ultimate power fluctuations associated to the quantum nature of light Shot noise 20 W  1 kW

Quantum Limit To reduce shot noise increase the light power but… Radiation pressure fluctuations: Not a limit for the 1st generation interferometers

Detector Scheme Seismic Isolation Low dissipations Fabry-Perot Recycling Vacuum

Network 3 km 600 m TAMA 4 & 2 km 300 m AIGO

Materiale Didattico Lezione 6 Testo utile D.G.Blair: The detection of gravitational waves (Cap.1 e 2) . TESINE POSSIBILI Rassegna sui segnali gravitazionali attesi in relazione alle sensibilità degli apparati Tesina (complicata) sulla descrizione dell’effetto nei vari sistemi di riferimento

Cosa Sapere per l’esame 1) La derivazione formale va saputa (ma è parte del Corso di RG) 2) Sapere discutere in modo critico gli ordini di grandezza in gioco 3) Sapere svolgere una rassegna della sorgenti di OG (senza entrare in complicati dettagli astrofisici) 4) Il principio di funzionamento di un rivelatore interferometrico (ripreso nella prossima lezione)