Riassunto della prima lezione Argomenti Definizioni fondamentali, regime dell’interesse semplice, regime dell’interesse composto

Operazioni finanziarie semplici INVESTIMENTO ATTUALIZZAZIONE

Grandezze equivalenti Considerando solamente durate unitarie per le operazioni finanziarie semplici possiamo considerare le seguenti relazioni: Inoltre:

Regime dell’interesse semplice INVESTIMENTO ATTUALIZZAZIONE

Regime dell’interesse composto INVESTIMENTO ATTUALIZZAZIONE

Esercizi ESERCIZIO 1 Dato un capitale iniziale di € 1.750 investito nel regime dell’interesse composto per tre anni al tasso di interesse annuo del 3,25% determinare il montante finale dell’operazione e l’interesse generato.

Esercizi ESERCIZIO 2 Dato un tasso di interesse annuo del 4,75% e sapendo che tra un anno e quattro mesi sarà disponibile un capitale di € 3.550, calcolare nel regime dell’interesse composto il valore attuale del capitale suddetto e la corrispondente misura dello sconto.

Argomenti Tassi equivalenti, tasso nominale, tasso istantaneo

Tassi equivalenti In un assegnato regime finanziario, due tassi di interesse, riferiti ad orizzonti temporali diversi, si dicono equivalenti se i corrispondenti fattori di capitalizzazione per un’operazione finanziaria della stessa durata t risultano uguali. i Tasso di interesse annuo i1/m Tasso di interesse periodale (riferito ad 1/m di anno) Esempio i1/2 Tasso di interesse semestrale i1/4 Tasso di interesse trimestrale i1/12 Tasso di interesse mensile Anni Periodi

Tassi equivalenti Se in corrispondenza del tasso di interesse annuo consideriamo la durata di una determinata operazione t espressa in anni, allora, in corrispondenza di un tasso periodale i1/m la durata della medesima operazione sarà pari a , espressa in frazioni di anno. ESEMPIO: Operazione finanziaria di durata pari ad 1 anno

Tassi equivalenti Regime dell’interesse semplice

Tassi equivalenti Regime dell’interesse composto

Esercizi ESERCIZIO 1 Dato un tasso di interesse quadrimestrale (i1/3) pari a 4,65%, nel regime dell’interesse composto, calcolare i tassi di interesse annuo (i) e mensile (i1/12) ad esso corrispondenti.

Esercizio Riprendendo i dati dell’esercizio precedente calcoliamo gli stessi tassi incogniti ipotizzando di trovarci nel regime dell’interesse semplice.

Tasso nominale di interesse Ipotizziamo di trovarci nel regime dell’interesse composto e che il capitale iniziale (C) sia investito ad un tasso annuo di interesse (i). L’interesse via via generato viene però corrisposto all’investitore a periodicità prefissate, ad esempio m volte l’anno. Dopo la prima frazione (1/m) di anno verrà quindi reso disponibile all’investitore l’interesse maturato. Questo interesse non viene automaticamente capitalizzato, al termine della seconda frazione di anno (2/m) il capitale fruttifero sarà ancora pari a C, di conseguenza anche alla fine di questo periodo l’investitore riceverà una cedola di interesse pari a

Tasso nominale di interesse Graficamente la situazione può essere così rappresentata M C C+Ci1/m 1/m 2/m 3/m 4/m t Ipotizzando che l’investimento duri un anno, alla fine di questo periodo l’investitore avrà ricevuto per ogni euro investito m “cedole” di pari importo (i1/m).

Tasso di interesse nominale Il tasso nominale annuo di interesse convertibile m volte nell’anno equivalente al tasso di interesse annuo effettivo (i), indicato con j(m), è la somma aritmetica delle cedole corrisposte all’investitore per ogni euro investito. Non ha un significato finanziario diretto, in quanto somma aritmetica di capitali disponibili ad epoche diverse

Esercizi ESERCIZIO 1 Dato un tasso di interesse annuo effettivo (i) del 10,25%, nel regime dell’interesse composto, determinare l’equivalente tasso di interesse nominale convertibile 3 volte l’anno (j(3)).

Tasso di interesse istantaneo Se il tasso di interesse nominale j(m) è convertibile infinite volte nell’anno, ossia è convertibile istante per istante, si può giungere al seguente risultato tramite le proprietà dei limiti notevoli. Dove la quantità è definita tasso istantaneo di interesse corrispondente al tasso di interesse effettivo annuo (i). Ricavando il tasso di interesse effettivo annuo dalla relazione appena enunciata si avrà:

Confronto tra tassi equivalenti Il tasso di interesse nominale annuo è: Minore di quello effettivo annuo se m>1; Maggiore di quello effettivo annuo se m<1 Uguale a quello effettivo annuo se m=1 Al crescere di m tende al valore del tasso di interesse istantaneo

Confronto tra tassi equivalenti L’andamento dei tassi equivalenti rappresentato graficamente è validato dalla seguente tabella dove sono evidenziati i valori dei tassi equivalenti a determinati tassi di interesse effettivi annui per diversi valori di m, nonché i relativi tassi istantanei di interesse.

Alcune relazioni notevoli

Tasso istantaneo di interesse -Capitalizzazione- Dalle relazioni precedenti risulta evidente che, nell’operazione di capitalizzazione, utilizzare il tasso effettivo annuo (i) o il corrispondente tasso istantaneo (δ) conduce agli stessi risultati. ESEMPIO Dato un capitale iniziale di € 100 investito nel regime dell’interesse composto ad un tasso di interesse effettivo annuo del 20% determinare il montante generato alla fine del terzo anno di investimento.

Tasso istantaneo di interesse -Attualizzazione- Ricordando che: Allora possiamo esprimere anche il fattore di attualizzazione tramite il tasso istantaneo di interesse: Si può di conseguenza affermare che anche per quanto riguarda l’operazione di attualizzazione è indifferente che essa venga svolta per mezzo del tasso effettivo di interesse annuale o tramite il tasso di interesse istantaneo corrispondente.

Tasso istantaneo di interesse -Attualizzazione- ESEMPIO Dato un tasso di interesse effettivo annuo del 15% determinare il valore attuale di un capitale finale di € 100 disponibile tra due anni.

Esercizi ESERCIZIO 1 Determinare il valore attuale di un capitale di € 3000 disponibile tra un anno e mezzo investito nel regime dell’interesse composto ad un tasso nominale convertibile semestralmente (j(2)) pari al 15%.

Esercizi ESERCIZIO 2 Determinare il valore attuale di un capitale di € 5000 disponibile tra due anni e nove mesi investito nel regime dell’interesse composto ad un tasso di interesse istantaneo (δ) pari al 12,5%.

Esercizi ESERCIZIO 3 Determinare il tasso di interesse istantaneo (δ) in base al quale un capitale di € 2400 genera un montante di € 3000 dopo un anno e mezzo.

Esercizi ESERCIZIO 4 Dato un tasso istantaneo di interesse (δ) pari al 10% calcolare il tasso semestrale di interesse equivalente (i1/2).