DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Codifica binaria dell’informazione Marco D. Santambrogio – Ver. aggiornata al 24 Agosto 2015

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Un obiettivo per domarli tutti… 2

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONEObiettivi Rappresentazione dell’informazione Da decimale a binario  Contiamo con i numeri binari Limiti della rappresentazione Complemento a due 3

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Codifica binaria 4 Claude Shannon nel 1948 nel paper: “A Mathematical Theory of Communication” Chi ha “inventato” il bit?

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Codifica binaria Alfabeto binario: usiamo dispositivi con solo due stati Alfabeto binario: usiamo dispositivi con solo due stati Problema: assegnare un codice univoco a tutti gli oggetti compresi in un insieme predefinito (e.g. studenti) Problema: assegnare un codice univoco a tutti gli oggetti compresi in un insieme predefinito (e.g. studenti) Quanti oggetti posso codificare con k bit: Quanti oggetti posso codificare con k bit:  1 bit  2 stati (0, 1)  2 oggetti (e.g. Vero/Falso)  2 bit  4 stati (00, 01, 10, 11)  4 oggetti  3 bit  8 stati (000, 001, …, 111)  8 oggetti  …  k bit  2 k stati  2 k oggetti Quanti bit mi servono per codificare N oggetti: Quanti bit mi servono per codificare N oggetti: k =  log 2 N   N ≤ 2 k  k ≥ log 2 N  k =  log 2 N  (intero superiore) Attenzione: ipotesi implicita che i codici abbiano tutti la stessa lunghezza Attenzione: ipotesi implicita che i codici abbiano tutti la stessa lunghezza 5

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Esempio di codifica binaria Problema: assegnare un codice binario univoco a tutti i giorni della settimana Problema: assegnare un codice binario univoco a tutti i giorni della settimana Giorni della settimana: Giorni della settimana:  N = 7  k ≥ log 2 7  k = 3 Con 3 bit possiamo ottenere 8 diverse configurazioni: Con 3 bit possiamo ottenere 8 diverse configurazioni:  Ne servono 7, quali utilizziamo?  Quale configurazione associamo a quale giorno? Attenzione: ipotesi che i codici abbiano tutti la stessa lunghezza Attenzione: ipotesi che i codici abbiano tutti la stessa lunghezza 6

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE I giorni della settimana in binario (1) 3 bit 8 “gruppi” 2 bit 4 “gruppi” Lunedì Martedì Mercoledì Giovedì Venerdì Sabato Domenica Lunedì Martedì Mercoledì Giovedì Venerdì Sabato Domenica 1 bit 2 “gruppi” Lunedì Martedì Mercoledì Giovedì Venerdì Sabato Domenica Lunedì Martedì Mercoledì Giovedì Venerdì Sabato Domenica 7

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE I giorni della settimana in binario (2) 3 bit 8 “gruppi” 2 bit 4 “gruppi” Lunedì Martedì Mercoledì Giovedì Venerdì Sabato Domenica Lunedì Martedì Mercoledì Giovedì Venerdì Sabato Domenica 1 bit 2 “gruppi” Lunedì Martedì Mercoledì Giovedì Venerdì Sabato Domenica Lunedì Martedì Mercoledì Giovedì Venerdì Sabato Domenica 8

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Stampa dei caratteri 9

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Quale è il codice ASCII di ‘a’? 10 Siamo sicuri? Ma quindi, quanto vale ‘a’? 97, 353, , 353=97+256, 609= =

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Quale è il codice ASCII di ‘a’? 11

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Quale è il codice ASCII di ‘a’? 12 Siamo sicuri? Ma quindi, quanto vale ‘a’? 97, 353, , 353=97+256, 609= = = *0 353 = *1 609 = *2

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE *i… quindi… Quanti caratteri ci sono?  256 Con quanti bit rappresento 256 numeri?  log = log = 8 13

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Codifica binaria dei caratteri Quanti sono gli oggetti compresi nell’insieme? Quanti sono gli oggetti compresi nell’insieme?  26 lettere maiuscole + 26 minuscole  52  10 cifre  Circa 30 segni d’interpunzione  Circa 30 caratteri di controllo (EOF, CR, LF, …) circa 120 oggetti complessivi  k =  log  = 7 Codice ASCII: utilizza 7 bit e quindi può rappresentare al massimo 2 7 =128 caratteri Codice ASCII: utilizza 7 bit e quindi può rappresentare al massimo 2 7 =128 caratteri  Con 8 bit (= byte) rappresento 256 caratteri (ASCII esteso)  Si stanno diffondendo codici più estesi (e.g. UNICODE) per rappresentare anche i caratteri delle lingue orientali 14

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE ASCII su 7 bit sp!"#$%&'()*+,-./ :;<=>? 101PQRSTUVWXYZ[\]^_ 110`abcdefghIjklmno 111pqrstuvwxYz{|}~canc 15

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE bit, Byte, KiloByte, MegaByte, … bit = solo due stati, “0” oppure “1”. Byte = 8 bit, quindi 2 8 = 256 stati KiloByte [KB]= 2 10 Byte = 1024 Byte ~ 10 3 Byte MegaByte [MB]= 2 20 Byte = 1'048'576 Byte ~ 10 6 Byte GigaByte [GB]= 2 30 Byte ~ 10 9 Byte TeraByte [TB]= 2 40 Byte ~ Byte PetaByte [PB]= 2 50 Byte ~ Byte ExaByte [EB]= 2 60 Byte ~ Byte 16

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Da Hobbit a Hobbyte 17

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Da Hobbit a Hobbyte 18

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Da base 10 a base 2 Dato un numero K rappresentato in base dieci, la sua rappresentazione in base due sarà del tipo b n b n-1 b n-2 … b 1 b 0  b i : cifra binaria Per convertire un numero in base dieci nel corrispondente in base due si devono trovare i resti delle divisioni successive del numero K per due 19

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Da base 10 a base 2 Esempio: il numero 6 10 : 6/2 = 3 resto 0 3/2 = 1 resto 1 1/2 = 0 resto 1 Leggendo i resti dal basso verso l’alto, si ha che la rappresentazione binaria del numero 6 10 è Per una corretta verifica basta riconvertire il risultato alla base 10  Cioè, calcolare 1 x x x

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Da base 10 a base 2 Perché = 6 10 ? 6/2 = 3 resto 00 x /2 = 1 resto 11 x /2 = 0 resto 1 1 x 2 2 = 6 1 x x x 2 0 = 1 x x 2 0 con resto x x 2 0 = 1 x 2 0 con resto x 2 0 = 0 con resto

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Da base 10 a base 2 Esempio: il numero : 345/2 = 172 resto 1 172/2 = 86 resto 0 86/2 = 43 resto 0 43/2 = 21 resto 1 21/2 = 10 resto 1 10/2 = 5 resto 0 5/2 = 2 resto 1 2/2 = 1 resto 0 1/2 = 0 resto 1 Leggendo i resti dal basso verso l’alto  Larappresentazione binaria del numero è

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Altre basi: ottale, esadecimale Sistema ottale  Utilizza una notazione posizionale basata su otto cifre (0,1,…,7) e sulle potenze di 8  Esempio: = 1 x x x 8 0 = 67 Sistema esadecimale  Utilizza una notazione posizionale basata su sedici cifre (0,1,…,9,A,B,C,D,E,F) e sulle potenze di 16  Esempio: = 1 x x x 16 0 = 259  Esempio: AC4 16 = 10 x x x 16 0 =

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Operazioni su numeri binari Vediamo solo il caso della addizione nella codifica binaria:  Si mettono in colonna i numeri da sommare  Si calcola il riporto ogni volta che la somma parziale supera il valore 1 Addizione: = 0 con riporto = 1 con riporto = 1 con riporto = 0 con riporto 1 24

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Operazioni su numeri binari Addizione: = 0 con riporto = 1 con riporto = 1 con riporto = 0 con riporto 1 Esempi: = = = =

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Codici a lunghezza fissa Se si usa un numero prestabilito di cifre si ha un codice a lunghezza fissa In questo modo si pone anche un limite al numero massimo rappresentabile Esempio: qual è il numero più grande rappresentabile con 4 cifre?  In base 10:9999  In base 2:1111(=15 10 )  In base 16:FFFF(= )  In base 8:7777(= ) 26

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Il fattoriale Dato n, intero positivo, si definisce n fattoriale e si indica con n! il prodotto dei primi n numeri interi positivi minori o uguali di quel numero. In formule Nota:  0! = 1  1! = 1  2! = 2, 3! = 6,… 27

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Il fattoriale: codice 28

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Proviamo ad eseguirlo… 29

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Proviamo ad eseguirlo… 30

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Proviamo ad eseguirlo… 31

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Proviamo ad eseguirlo… 32

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Proviamo ad eseguirlo… 33 WAT

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Codici a lunghezza fissa Numeri maggiori di quello massimo rappresentabile causano problemi di overflow  Ovvero per essere rappresentati richiedono più cifre di quelle a disposizione Esempio: 4 cifre  In base 10: =  In base 2: = (=16 10 )  In base 16:FFFF + 1= (= )  In base 8: = (= ) 34

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Codici a lunghezza fissa In generale, con N cifre a disposizione e base b il più grande numero (intero positivo) rappresentabile si può esprimere come b N – 1 Esempio: N=4  In base 10:9999 =  In base 2:1111 =  In base 16:FFFF =  In base 8:7777 =

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Codici a lunghezza fissa Esempio di overflow nel sistema binario dovuto a operazioni aritmetiche:  = 9 (in sistema decimale)  abbiamo usato solo una cifra decimale per il risultato Ricordiamo: 5 10 = 101 2, 4 10 = = (in sistema binario) Errore: overflow (non può essere codificato 9 10 = con tre bit) 36

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Rappresentazione dei numeri Possiamo rappresentare i numeri usando un numero variabile di cifre (che dipende dal valore che si vuole rappresentare)  Come? Introduciamo un simbolo speciale che indica dove termina la rappresentazione di un numero e inizia quella del numero successivo  Esempio: 1001#11#1 (codice a lunghezza variabile, # separatore) Esistono anche “codici di espansione”, che permettono di definire dei codici a lunghezza variabile senza far uso del carattere di separazione 37

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Rappresentazione dei numeri In realtà, una semplice codifica binaria come quella discussa fino ad ora non è sufficiente, per due motivi:  Numeri negativi  Numeri con la virgola Per questi numeri vengono utilizzate delle rappresentazioni differenti  Per esempio “complemento a due” per rappresentare i numeri negativi 38

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Numeri negativi Si può pensare di usare un bit per il segno  “0” identifica “+”  “1” identifica “-” Gli altri bit vengono usati per codificare il valore assoluto (modulo) del numero [ , ] [0, ] 39

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Numeri negativi - problemi Con 3 bit avremo: Problemi: Il numero 0 ha due rappresentazioni Per l’operazione di somma si deve tener conto dei segni degli addendi (+2) =(-3) (-5 ERRATO) 40

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Il fattoriale: codice 41

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Proviamo ad eseguirlo… 42 int sono interi con segno

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Il fattoriale: unsigned int 43

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Proviamo ad eseguirlo… 44 Ora solo overflow

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Numeri negativi: Complemento a due Il bit più significativo rappresenta il segno del numero: 0 per i numeri positivi e 1 per i numeri negativi La rappresentazione di un numero positivo si ottiene codificando il valore assoluto del numero con i bit restanti La rappresentazione di un numero negativo si ottiene in tre passi:  Si rappresenta in complemento a due il numeri positivo con lo stesso valore assoluto del numero negativo da codificare  Si invertono tutti i bit in tale rappresentazione (0  1,1  0)  Si somma uno al risultato ottenuto al passo precedente 45

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Complemento a due Esempio (con 4 bit a disposizione):  La codifica di +5 è 0101  La codifica del numero –5 avviene in tre passi: La rappresentazione in complemento a due di +5 è 0101 Invertendo tutti i bit si ottiene 1010 Sommando 1 si ottiene 1011, la rappresentazione in complemento a due di -5 46

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Complemento a due Per ottenere un numero con segno data la sua rappresentazione in complemento a due:  Se il primo bit è 0 il numero è positivo: per calcolarne il valore assoluto si esegue la conversione da binario a decimale  Se il primo bit è 1 il numero è negativo: Si ignora il primo bit Si invertono i restanti bit Si converte il numero da binario a decimale Si somma uno al numero ottenuto per ottenere il valore assoluto del numero negativo 47

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Complemento a due Esempio: 1011  Si esclude il primo bit  Invertendo 011 si ottiene 100 che è codifica di 4  Va aggiunto 1 per ottenere il valore assoluto 5  Il risultato è quindi -5 48

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Complemento a due Con 3 bit avremo: Esempi di addizione: (+2) =(-5) (-3) (+7) =(-5) (+2) Nel secondo esempio, l’overflow è ignorato 49

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE E ora.. Quanto fa 0,4 * 20? 50

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE E ora.. Quanto fa 0,4 * 20? 51

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE E ora.. Quanto fa 0,4 * 20? 52

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE E ora.. Quanto fa 0,4 * 20? 53 WATWAT

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Exe per casa… 54

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Exe 1: Codifica dell’informazione Quanti bit si devono utilizzare per rappresentare 300 informazioni distinte? Quanti byte occupa la parola “psicologia” se la si codifica utilizzando il codice ASCII? Dati 12 bit per la codifica, quante informazioni distinte si possono rappresentare? 55

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Exe 2: Codifica dei suoni Quanto spazio occupa un suono della durata di 30 secondi campionato a 100 Hz (100 campioni al secondo), in cui ogni campione occupa 4 byte? 56

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Exe 3: Codifica dei numeri Codificare il numero nella corrispondente rappresentazione binaria Ordinare in modo crescente i seguente numeri: , 12 8, , Codificare il numero negativo –15 10 nella rappresentazione in complemento a due 57

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Exe 4: Codifica delle immagini Quanti bit occupa un’immagine di 100 x 100 pixel in bianco e nero? Quanti byte occupa un’immagine di 100 x 100 pixel a 256 colori? Se un’immagine a di colori occupa 2400 byte, da quanti pixel sarà composta? 58

DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE Fonti per lo studio + Credits Fonti per lo studio  Informatica arte e mestiere, S. Ceri, D. Mandrioli, L. Sbattella, McGrawHill Capitolo 11  Introduzione ai sistemi informatici, D. Sciuto, G. Buonanno, L. Mari, 4a Ed, McGrawHill Capitolo 2  The Art & Craft of Computing, S. Ceri, D. Mandrioli, L. Sbattella, Addison-Wesley Capitolo 13 Credits  P. Spoletini  J. Sproston 59