1 Lezione V – seconda parte Avviare la presentazione col tasto “Invio”

Lavoro ed Energia 2

Come abbiamo già visto, il problema della dinamica di un punto materiale è: determinare come si muove la particella, note le forze che agiscono su di essa. Con il termine come si muove si intende come varia nel tempo la sua posizione. Se per esempio il moto è unidimensionale, il problema è quindi determinare x come funzione del tempo x(t). Nel nostro primo approccio alla dinamica, nelle lezioni precedenti, abbiamo affrontato e risolto il problema semplice che si presenta quando le forze in gioco sono costanti, utilizzando essenzialmente la II Legge di Newton: F = ma 3

Rivediamo questo caso semplice che abbiamo già trattato e cioè quello di una forza F = costante. Se la forza F applicata sulla particella (o la risultante delle forze F i ) risulta costante, poiché in base alla II Legge di Newton possiamo sempre scrivere che: a = F / m Adottando come sistema di riferimento un asse x lungo la direzione della forza (direzione che NON cambia, in quanto la forza è costante), sappiamo già che possiamo ridurre la trattazione al caso scalare e che potremo scrivere le semplici equazioni del moto: x(t) = v 0 t + ½ at 2 v(t) = v 0 + at Dove appunto: a = F/m 4

x x(t) t Il problema è un po’ più complicato quando la forza agente sulla particella non è costante, e si configura per esempio un moto del genere: x x(t) t x(t) = v 0 t + ½ at 2 5

Ma perché sarebbe così complicato determinare x(t) nel caso in cui F non è costante ? Cioè nel caso in cui F = F(t) ? Forse in questo caso NON vale la II Legge di Newton ? NO, la II Legge di Newton vale sempre e quindi se F = F(t) risulterà a = a(t) : a(t) = F(t) / m E allora? visto che possiamo comunque ricavare a(t) da F(t), una volta nota a(t), nell’equazione del moto v(t) = v 0 + at possiamo scrivere v(t) = v 0 + a(t)t ??? NO! 6

Non dimentichiamo che l’accelerazione è una quantità ricavata dal calcolo differenziale: a(t) = dv(t)/dt Se conosciamo la funzione a(t) e vogliamo ricavare v, possiamo certamente scrivere dv(t) = a(t) dt Il che, se a(t) = costante = a implica che ad ogni intervallo di tempo infinitesimo dt si osserva lo stesso incremento infinitesimo di velocità dv = a dt e quindi in un generico intervallo finito di tempo Δt si osserverà Δv = a Δt che altro non è che la precedente equazione del moto: v(t) = v 0 + at Ma questo risultato è valido solo se a = costante !!! 7

Se invece a non è costante, per esempio nel caso generale che abbiamo immaginato in cui è nota la dipendenza di F dal tempo, e quindi di conseguenza la dipendenza di a dal tempo a(t) = F(t) /m come si fa a ricavare v(t) ? Per esempio: t a(t) = F(t)/m 0 a(t) 8

Abbiamo riconsiderato la formula: dv(t) = a(t) dt Questa è una formula differenziale, ma certamente è applicabile con buona approssimazione nel caso di intervalli di tempo Δt abbastanza piccoli, e in cui si adotta per a(t) un valore costante pari al suo valore medio al tempo t i nell’intorno dell’intervallo di tempo in questione. Abbiamo visto che potremo certamente scrivere che: Δv(t 1 ) = a(t 1 ) Δt t t1t1 0 a(t) ΔtΔt a(t 1 ) 9

E in generale, per ogni intervallo relativamente piccolo Δt nell’intorno di un istante t i in cui l’accelerazione media vale a(t i ), potremo scrivere Δv(t 1 ) = a(t 1 ) Δt Δv(t 2 ) = a(t 2 ) Δt ……………… Δv(t i ) = a(t i ) Δt ……………… Δv(t N ) = a(t N ) Δt t 0 a(t) 10

Quindi, dato un valore iniziale della velocità v 0 all’istante t=0, il valore di velocità ad un istante successivo di tempo t N tale che: t N – t 0 = ∑ Δt i Sarà dato dalla relazione: v = v 0 + ∑ a(t i ) Δt Questa formula, nel caso di intervalli di tempo infinitesimi, e cioè per Δt  0 si chiama integrale di a (t) rispetto al tempo t ed è definito come segue: v = v 0 + a(t) dt i = 0 N N ∫ t = 0 t 11

Nel seguito, limiteremo la nostra attenzione alle forze che dipendono dalla posizione della particella. Ve ne sono una varietà in Fisica: per esempio la forza gravitazionale, la cui intensità dipende dal quadrato della distanza, la forza esercitata da una molla deformata, su un corpo a cui è attaccata, etc… Lo studio di questi casi ci condurrà alla definizione di importanti grandezze fisiche come il Lavoro e l’Energia Cinetica, e di seguito alla definizione più generale di Energia e alla sua Legge di Conservazione. 12

Lavoro fatto da una forza costante Consideriamo ancora il caso di una forza F = costante, e di un moto rettilineo lungo la direzione della forza. In questo caso, come sappiamo possiamo ridurre nuovamente lo studio al caso unidimensionale (scalare) (moto lungo l’asse x ). E sappiamo già che la particella di muoverà di moto accelerato con accelerazione costante a = F/m F Definiamo Lavoro fatto dalla forza F sulla particella come il prodotto del modulo della forza F per la distanza percorsa dalla particella L = F d x 13

Consideriamo adesso il caso in cui la forza (sempre costante) non agisce però lungo la direzione di moto: F x In questo caso definiremo il Lavoro fatto dalla forza F sulla particella come il prodotto della componente F x della forza lungo la direzione di moto, per la distanza percorsa dalla particella L = F x d L = F cos (θ) d Se θ = 0, il Lavoro è semplicemente F d, come per il caso precedente, mentre se θ = 90° il lavoro fatto dalla forza F sulla particella è nullo. FxFx 14

Il Lavoro è una quantità scalare ed altro non è che il prodotto scalare dei vettori F e d L = F d 15

Unità di misura del Lavoro L’unità di misura del lavoro è il lavoro fatto dall’unità di forza nel muovere un corpo dell’unità di lunghezza nella direzione della forza. Quindi nel sistema SI l’unità di lavoro è 1 Newton-metro, detto joule. Un’altra unità di misura in uso è il kilogrammetro, definita come 1kgm = 9,8 joule 16

Lavoro fatto da una forza variabile Consideriamo il caso di una forza che varia soltanto in modulo, che agisce lungo la direzione x, e supponiamo di conoscere come varia il modulo F in funzione di x. Ci poniamo il quesito di calcolare il lavoro fatto da questa forza variabile quando il punto materiale si sposta da x 1 a x 2. Supponiamo per esempio di sapere che la funzione F(x) sia come in figura : x F(x) x1x1 x2x2 0 17

x F(x) x1x1 x2x2 0 Dividiamo lo spostamento totale x 1  x 2 in tanti piccoli intervalli consecutivi Δx. Il lavoro fatto falla forza F nello spostare il punto materiale da x i a x i + Δx, assumendo che la forza sia costante nell’intervallo in questione, sarà dato da ΔL = F(x i ) Δx ΔxΔx  ΔL = F(x i ) Δx = area del rettangolo 18

x F(x) x1x1 x2x2 0 Il lavoro totale fatto forza F nello spostare il punto materiale da x 1 a x 2, sarà dato approssimativamente dalla somma di un numero di termini come di seguito: L 12 ≈ ∑ F(x i ) Δx ΔxΔx 19

x F(x) x1x1 x2x2 0 Per migliorare la nostra approssimazione, possiamo suddividere in intervalli Δx sempre più piccoli. L 12 ≈ ∑ F(x i )Δx ΔxΔx 20

Otterremo un risultato esatto per il lavoro fatto dalla forza F(x) nello spostare il punto da x 1 a x 2, attraverso un processo al limite: L 12 = lim ∑ F(x i ) Δx = F(x) dx Δx  0 ∫ x1x1 x2x2 x F(x) x1x1 x2x2 0 Questa relazione definisce l’integrale di F rispetto a x da x 1 a x 2 e numericamente è esattamente uguale all’area indicata in figura 21

Supponiamo di avere una molla attaccata ad una parete, e supponiamo che nel suo stato di equilibrio l’estremità della molla sia posizionata alla coordinata x 0 x0x0 x La forza esercitata dalla molla quando è stata allungata fino ad un certo valore x dalla sua posizione di equilibrio x 0, è data dalla cosiddetta Legge di Hooke: F = − k (x−x0) e il suo verso è sempre opposto allo spostamento da x 0 x0x0 x F k = costante elastica della molla 22

Quando la molla è allungata x > x 0 ; quando la molla è compressa x < x 0 La forza F è sempre diretta verso x 0, e quindi cambia segno quando il suo estremo passa per la posizione di riposo x 0 x0x0 x x0x0 x Possiamo assumere x 0 = 0 e la formula diviene semplicemente F = − k x 23

Per deformare la molla, è sufficiente applicare alla molla una forza F’ esattamente eguale e contraria alla forza F esercitata dalla molla su di noi. La forza che applicheremo sarà quindi: F’ = kx. Il lavoro fatto da questa forza F’ per allungare la molla da 0 a x è: L = kxdx = ½ kx 2 ∫ x 0 Come calcolare un integrale così semplice, in modo grafico: (l’integrale è l’area….) F’(x) x F’(x) = kx kx Area = ½ kx 2 24

Il caso che abbiamo trattato è molto semplice, infatti abbiamo preso in esame: a)uno spostamento che avviene lungo un asse x b)una forza F che varia solo in modulo, ma ha sempre direzione lungo lo stesso asse x Conosciamo la dipendenza di F dallo spostamento, cioè conosciamo F(x) 25

Più in generale la forza F può variare sia in direzione che in modulo, e la particella su cui questa forza è applicata può muoversi lungo un cammino curvilineo. Per calcolare il lavoro in questo caso generale, dobbiamo conoscere l’angolo θ fra la forza F in un dato punto della traiettoria e lo spostamento infinitesimo ds in quello stesso punto. dsds F θ In questo caso dovremmo integrare la seguente: dL = F ds = F cos θ ds 26

Potenza Fin qui non abbiamo considerato il tempo impiegato per compiere un dato lavoro. E in base alla definizione di lavoro, non c’è dubbio che per spostare un corpo ad una data altezza, compiamo lo stesso lavoro L, qualsiasi tempo t ci impieghiamo. Non c’è dubbio, tuttavia, che il tempo impiegato per compiere un dato lavoro, o meglio la rapidità con cui viene compiuto, può essere rilevante in alcune applicazioni. Rifacendoci al concetto di derivata che abbiamo già introdotto in diverse occasioni, definiremo la potenza P come la rapidità con cui il lavoro L è compiuto, quindi: P = dL / dt (potenza istantanea) = ΔL / Δt (potenza media) Ovviamente, se la potenza è costante nel tempo: P = L t 27

Avendo adottato nel sistema SI il joule come unità di misura del lavoro, l’unità di misura della potenza sarà 1 joule /s denominato Watt. 28