06/12/20051 di Arrigo Amadori anno della fisica il significato della Relatività

06/12/20052 Sistemi di riferimento In fisica occorre sempre definire un sistema di riferimento per lo spazio ed un “orologio” per il tempo Ogni evento è caratterizzato dalla sua posizione nello spazio e dall’istante di tempo in cui esso avviene La descrizione dei fenomeni cambia se si cambia sistema di riferimento Il mondo visto da una giostra che ruota è davvero complicato ! Il sistema di riferimento più semplice è costituito da un sistema di assi cartesiani ortogonali tridimensionale 0xyz Un evento è così rappresentato dai 4 numeri (x, y, z, t)

06/12/20053 Sistemi di riferimento inerziali In natura esistono i sistemi di riferimento inerziali (SDRI) Rispetto ad un SDRI vale il principio d’inerzia (Galileo) : un corpo non soggetto a forze esterne (o se la risultante delle forze esterne è nulla) permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme I SDRI in verità sono un’astrazione matematica perché esistono sempre forze che “disturbano” i corpi ma, entro certi limiti, certi sistemi possono essere considerati, con sufficiente approssimazione, inerziali. Esempi di SDRI : Un treno che avanza su un binario rettilineo, liscio, a velocità costante Una nave che naviga con mare calmo a velocità costante su di una rotta rettilinea Un biliardo su cui la forza di gravità è neutralizzata dalla reazione del tavolo e gli attriti sono piccoli Una navicella spaziale a motori spenti sufficientemente lontana da ogni corpo celeste Tutti i SDRI si muovono di moto rettilineo uniforme fra loro. Il SDRI K’ si muove con velocità costante V (in intensità direzione e verso) rispetto al SDRI K e viceversa

06/12/20054 Principio di relatività galileiana Tutti i SDRI sono meccanicamente equivalenti (Galileo) Ovvero le leggi della meccanica classica (sintetizzata dai tre principi della dinamica di Newton) sono le stesse in tutti i SDRI La “vita” dentro un vagone ferroviario che viaggia con velocità costante su binari lisci e rettilinei, oppure su di una nave che naviga a velocità costante su di una rotta rettilinea è praticamente la “stessa”, cioè non ci “accorgiamo” di essere in moto La superficie della Terra su cui viviamo può essere considerata con buona approssimazione un SDRI anche se si tratta di un sistema di riferimento ruotante, quindi per definizione non inerziale. Solo esperimenti come l’osservazione della deviazione verso est di un grave che cade (Guglielmini, Bologna ), il pendolo di Foucault, oppure la rotazione dei venti che si osserva nei cicloni e negli anticicloni ecc. ci mostrano che viviamo in un sistema di riferimento non inerziale

06/12/20055 Trasformazioni di Galileo Consideriamo due SDRI, K e K’, dotati ciascuno di un orologio ed in moto relativo con velocità costante V (costante in intensità, direzione e verso) ed osserviamo gli eventi rispetto ai due SDRI separatamente Storicamente, le prime formule matematiche che legano spazio e tempo nei due SDRI sono dovute a Galileo e sono dette trasformazioni di Galileo Per esse lo spazio è relativo, cioè le coordinate di un punto sono diverse nei due SDRI, mentre il tempo è assoluto, cioè il tempo scorre nei due orologi (se identici e sincronizzati) allo stesso modo, cioè si ha t = t’ In particolare, se mi muovo rispetto a K’ con velocità v’, sarò visto, secondo Galileo ed il “buon senso”, muovermi rispetto a K con velocità v = V + v’

06/12/20056 Principio di costanza della velocità della luce Cosa succede se in K’ viene emesso un fascio di luce ? Sappiamo che la velocità della luce (così come di ogni altra radiazione elettromagnetica) è c = km/s circa (nel vuoto) Secondo le trasformazioni di Galileo dovremmo avere che rispetto a K la luce viaggia con velocità V + c In natura, invece, si verifica che la velocità della luce c è la stessa in ogni SDRI

06/12/20057 Principio di relatività ristretta Principio di relatività galileiana + principio di costanza della velocità della luce = principio di relatività ristretta (Einstein, 1905) I SDRI sono quindi fisicamente equivalenti Ovvero le leggi della fisica (includendo i fenomeni elettromagnetici ma escludendo la gravità) sono le stesse in tutti i SDRI Si dice “relatività ristretta” perché limitata ai soli SDRI Se consideriamo sistemi di riferimento di qualunque tipo o i fenomeni gravitazionali, avremo la teoria della relatività generale

06/12/20058 Trasformazioni di Lorentz Consideriamo due SDRI, K e K’, dotati ciascuno di un orologio ed in moto relativo con velocità costante V (costante in intensità, direzione e verso) ed osserviamo gli eventi rispetto ai due SDRI separatamente Le formule matematiche che legano spazio e tempo nei due SDRI e per le quali c sia costante sono dette trasformazioni di Lorentz Affinché la velocità della luce sia la stessa in tutti i SDRI, deve essere (lo si ricava matematicamente) che lo spazio è relativo ed anche il tempo è relativo La grande novità, rispetto a Galileo, è che t ≠ t’, cioè il tempo non è più una “entità” assoluta ed ogni SDRI misura il proprio tempo In particolare, se mi muovo rispetto a K’ con velocità v’, saro visto, secondo Einstein e contrariamente al “buon senso”, muovermi rispetto a K con velocità :

06/12/20059 Composizione delle velocità Supponiamo che sia V << c ; v’ << c. In questo caso v’V/c² ≈ 0 per cui si ha v ≈ v’ + V che è la trasformazione di Galileo. Per velocità in gioco piccole rispetto a c la meccanica classica di Galileo e Newton continua ad essere valida Si può affermare che per c  ∞ la teoria della relatività ristretta tende alla meccanica classica (per Galileo e Newton l’interazione fra i corpi viaggiava a velocità infinita) Dando a v’ e V velocità grandi fino a c è facile verificare che si ottiene al massimo v = c, e questo in coerenza col principio di costanza della velocità della luce

06/12/ Contrazione spaziale Un segmento in quiete rispetto a K’ se misurato rispetto a K risulta più corto Questa è una conseguenza matematica diretta delle trasformazioni di Lorentz La formula che lega le “due lunghezze” è : Se fosse V = 0 avremmo Se fosse V = c avremmo Se fosse e si avrebbe :

06/12/ Dilatazione temporale Un intervallo di tempo misurato rispetto a K’ risulta più lungo se misurato rispetto a K Questa è una conseguenza matematica diretta delle trasformazioni di Lorentz La formula che lega i “due tempi” è : Se fosse V = 0 avremmo Se fosse V = c avremmo Se fosse e si avrebbe :

06/12/ Paradosso dei gemelli Supponiamo che vi siano due gemelli, che chiameremo A e B, di cui uno, mettiamo B, un giorno, parte per un viaggio spaziale alla velocità Supponiamo che per B il viaggio duri 10 anni Per il gemello A il viaggio di B dura invece, a causa della dilatazione del tempo, più di 20 anni La stessa cosa può affermare B perché i due SDRI in cui i due gemelli si trovano sono, per il principio di relatività, fisicamente equivalenti Cosa succederà quando i due gemelli si incontreranno alla fine del viaggio ? A dirà : io ho visto il tuo orologio andare più lentamente del mio, per cui tu dovresti essere più giovane di me (il tuo viaggio per me ha durato più di 20 anni mentre per te ha durato 10 anni) B dirà : io ho visto il tuo orologio andare più lentamente del mio, per cui tu dovresti essere più giovane di me (il tuo viaggio per me ha durato più di 20 anni mentre per te ha durato 10 anni) I due gemelli, incontrandosi alla fine del viaggio, dovrebbero verificare che uno si è invecchiato di meno dell’altro e viceversa. In questo sta il paradosso Il paradosso, però, non sussiste perché il problema è mal posto. Quando il gemello B inizia il viaggio e quando, ritornando, lo finisce, il suo sistema di riferimento non è un SDRI perché esso non si muove rispetto all’altro di moto rettilineo uniforme, bensì accelera La teoria della relatività ristretta vale solo per i SDRI per cui un tale problema deve essere visto nell’ottica della teoria della relatività generale che si occupa appunto di sistemi di riferimento accelerati. In verità, un gemello sarà più giovane dell’altro. Verifiche di questo sono state fatte anche recentemente misurando come scorre il tempo su satelliti artificiali per le telecomunicazioni

06/12/ Spazio-tempo quadridimensionale Lo spazio ed il tempo rappresentano per Einstein un tutt’uno indistinguibile a 4 dimensioni, il cosiddetto cronotopo Un evento, infatti, è rappresentato da un insieme ordinato di 4 numeri (x,y,z,t) Un punto si muove nello spazio-tempo quadridimensionale lungo una linea detta linea d’universo

06/12/ L’energia secondo Einstein Secondo la meccanica classica un corpo in quiete possiede energia cinetica nulla Secondo la teoria della relatività ristretta un corpo in quiete possiede l’energia : Siccome c è molto grande, questa energia è enorme (energia nucleare di fissione e fusione, energie delle stelle) Per esempio, una massa di 1 kg produce (se trasformata completamente) una energia pari a :

06/12/ Principio di equivalenza La teoria della relatività ristretta si occupa dei sistemi di riferimento inerziali (SDRI) e di come in essi si propagano le radiazioni elettromagnetiche (d’ora in poi diremo semplicemente la luce) La teoria della relatività generale si occupa dei sistemi di riferimento non inerziali (SDRNI) (accelerati, ruotanti ecc.) ed in particolare della forza di gravità La forza di gravità ha la peculiarità che corpi di massa diversa (in assenza di attrito) cadono con la stessa accelerazione (g = 9,8 m/s² circa sulla superficie terrestre) D’altra parte, rispetto ad un SDRNI, i corpi hanno una accelerazione indipendente dalla loro massa dovuta al moto accelerato del sistema di riferimento stesso rispetto ad un SDRI (per esempio una giostra ed il seguente caso) Immaginiamo una astronave sufficientemente lontana da ogni corpo celeste che viaggi per inerzia a razzi spenti (moto rettilineo uniforme rispetto alle stelle fisse). Tale astronave è con ottima approssimazione un SDRI. Immaginiamo che in un certo istante vengano accesi i razzi in modo che la navicella presenti una accelerazione costante pari a g = 9,8 m/s² rispetto alle stelle fisse. Cosa sperimenteranno gli astronauti all’interno della navicella ? Essi vedranno “cadere” i corpi, che prima fluttuavano liberamente, tutti in una stessa direzione con accelerazione uguale a g. Gli astronauti non potranno in nessun modo rilevare una differenza rispetto a ciò che accade sulla superficie terrestre Il principio di equivalenza afferma appunto che un campo gravitazionale è equivalente ad un SDRNI

06/12/ Spazio-tempo curvo Un campo gravitazionale è quindi descrivibile da un SDRNI costituito da quattro coordinate (x,y,z,t), le prime tre spaziali, la quarta temporale Un campo gravitazionale è quindi equivalente ad uno spazio-tempo quadridimensionale che può essere euclideo (piatto) o non euclideo (curvo) Lo spazio euclideo è quello in cui valgono per esempio il teorema di Pitagora, il teorema che afferma che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, il teorema che afferma che il rapporto fra circonferenza e diametro vale ¶ ecc. Uno spazio non euclideo è quello in cui non valgono (anche uno solo !) i teoremi della geometria euclidea Un esempio di spazio non euclideo a due dimensioni è la superficie della sfera. In essa, per esempio, la somma degli angoli interni di un triangolo può essere 270° ! Si dice, in generale, che un campo gravitazionale incurva lo spazio- tempo La fisica dei campi gravitazionali si riduce allora ad un “problema di geometria” in generale non euclidea (questo fatto è di fondamentale importanza e distingue la gravità dalle altre interazioni fondamentali : la elettromagnetica e la nucleare debole e forte) La matematica che descrive le proprietà degli spazi curvi è il cosiddetto calcolo tensoriale. Esso è dovuto principalmente ai grandi matematici Gauss ( ), Riemann ( ), Ricci- Curbastro (romagnolo di Lugo, ), Levi-Civita (1873 – 1941)

06/12/ Principio di relatività generale Il principio di relatività ristretta afferma che le leggi della fisica (includendo il campo elettromagnetico ma escludendo il campo gravitazionale) sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali (SDRI) Il principio di relatività generale afferma che le leggi della fisica (includendo anche il campo gravitazionale) sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento, anche non inerziali (SDRNI) (Einstein, 1916) In questo modo, le “descrizioni del mondo” fatte rispetto a sistemi di riferimento qualunque, non necessariamente inerziali, sono del tutto equivalenti Rimangono escluse dalla prima stesura della teoria della relatività le forze nucleari scoperte successivamente al Einstein stesso lavorò per una teoria unificante che comprendesse tutte le interazioni note (forza gravitazionale, forza elettromagnetica, forza nucleare debole e forte). Nel frattempo sorgeva e si affermava l’altra grande teoria fisica del ‘900, la meccanica quantistica che descrive i fenomeni microscopici. Oggi si sta tentando una unificazione di relatività e meccanica quantistica sulla base della teoria delle stringhe

06/12/ Equazione gravitazionale di Einstein Le masse creano un campo gravitazionale che incurva lo spazio-tempo I corpi che si muovono in un tale spazio-tempo incurvato seguono traiettorie che sono linee geodetiche ovvero linee di minima distanza ( vedi pag. seguente ) Il legame matematico fra le masse generatrici del campo gravitazionale e la curvatura dello spazio-tempo è data dall’equazione di Einstein. Esprimiamola in forma sintetica e concettuale (in realtà si tratta di una equazione molto complessa) : curvatura dello spazio-tempo = distribuzione della masse Si tratta di una equazione in grado di descrivere in modo completo un sistema di masse in interazione gravitazionale : le masse si muovono seguendo linee geodetiche in uno spazio-tempo la cui curvatura è definita dalle masse stesse in movimento

06/12/ Esempi di geodetiche su spazi bidimensionali curvi Il concetto di geodetica è la generalizzazione negli spazi curvi del concetto di retta dello spazio euclideo

06/12/ Conseguenze della teoria della relatività generale La teoria della relatività generale prevede che lo spazio-tempo non sia in generale euclideo (piatto) ma sia curvo. Ciò comporta delle conseguenze non prevedibili né descrivibili nell’ambito della meccanica classica. Queste conseguenze” aprono” nuovi ed affascinanti capitoli nella fisica moderna. Le principali conseguenze della non “piattezza” dello spazio-tempo sono : spostamento del perielio di Mercurio deviazione dei raggi di luce da parte delle masse red-shift (spostamento verso i rosso) gravitazionale buchi neri onde gravitazionali ipotesi cosmologiche

06/12/ Spostamento del perielio di Mercurio Il perielio di Mercurio (punto dell’orbita più vicina al Sole) si sposta molto lentamente in modo che l’orbita del pianeta non sia una ellisse chiusa. Questo fenomeno era noto già da molto tempo prima di Einstein e non è spiegabile nell’ambito della meccanica classica. D’altra parte non vi sono pianeti o altri corpi celesti che “disturbano” l’orbita di Mercurio, né altre cause tipo la non perfetta sfericità del Sole Il fenomeno si spiega considerando che lo spazio nelle vicinanze del Sole (in cui si trova ad orbitare Mercurio) è sufficientemente incurvato (secondo la relatività generale) da disturbare esso stesso l’orbita di Mercurio I calcoli teorici dell’incurvamento tramite l’equazione gravitazionale di Einstein confermano i dati sperimentali

06/12/ Deviazione dei raggi di luce da parte delle masse Un campo gravitazionale produce un incurvamento dello spazio tale per cui la luce non segue più un cammino rettilineo Per questo motivo, durante una eclissi totale di sole, le stelle in prossimità prospettica con la superficie del Sole, vengono viste in posizioni apparenti diverse da quelle in assenza del Sole Poco dopo la pubblicazione della teoria della relatività generale il fenomeno fu verificato sperimentalmente corrispondere alla previsione teorica A livello astronomico più ampio, sono state scoperte recentemente delle vere e proprie lenti gravitazionali costituite da intere galassie

06/12/ Red-shift gravitazionale Un orologio posto in un campo gravitazionale intenso, siccome lo spazi-tempo ne è fortemente incurvato, viene visto rallentare rispetto ad un orologio posto lontano dal campo. Il tempo in un campo gravitazionale scorre (rispetto ad un punto lontano) tanto più lentamente quanto è maggiore è l’intensità del campo. La luce proveniente da una stella massiccia (che genera un forte campo gravitazionale) sarà vista con frequenza minore, quindi più rossa Questo fenomeno si chiama red-shift (spostamento verso il rosso) gravitazionale (da non confondersi con il red-shift cosmologico (vedi più avanti))

06/12/ Buchi neri Una stella, quando le reazioni nucleari che la tengono in equilibrio si esauriscono, inizia un processo di collasso gravitazionale Se la massa della stella è sufficientemente grande si produce un buco nero Un buco nero possiede una concentrazione di massa tale da incurvare lo spazio attorno a sé in modo che la luce (come ogni altro corpo) non ne può più uscire Un buco nero, quindi, è in grado di assorbire massa ed energia dall’esterno ma non è più in grado di emetterne (si suppone avvenga in effetti una lenta “evaporazione” a causa di effetti quantistici) Un buco nero è circondato da una superficie immaginaria, detta orizzonte degli eventi. Se qualcosa (massa o energia) entra all’interno di tale superficie non ne può più uscire

06/12/ Onde gravitazionali Se una grande quantità di materia subisce una rapida accelerazione (per esempio in un collasso gravitazionale di una stella) la curvatura dello spazio- tempo subisce una “increspatura”, vengono cioè generate onde gravitazionali Tali onde furono previste teoricamente da Einstein ed hanno la caratteristica di viaggiare alla velocità della luce c ed essere onde trasversali (come la luce) Le onde gravitazionali, data la loro estrema debolezza, non sono state ancora verificate sperimentalmente nonostante i diversi esperimenti in atto. Quando saranno verificate, esse apriranno una nuova proficua “finestra” per studiare il cosmo

06/12/ Cosmologia L’equazione gravitazionale di Einstein permette di descrivere l’universo nel suo insieme Con la teoria della relatività generale la cosmologia diventa una scienza dagli incredibili ed enormi sviluppi Ponendo alcune condizioni aprioristiche derivanti da considerazioni generali sulla struttura dell’universo, l’equazione gravitazionale di Einstein fornisce diverse soluzioni corrispondenti a diversi modelli di universo Essenzialmente si hanno due classi di modelli : i modelli stazionari ed i modelli non stazionari (evolutivi) I modelli stazionari possono essere (paradossalmente) non espansivi o espansivi La condizione principale che di solito si pone alla struttura su larga scala dell’universo è che lo spazio sia omogeneo ed isotropo, ovvero che l’universo sia mediamente lo stesso (in termini di densità) in ogni suo punto. Questa ipotesi è accettata in generale da tutti i modelli Per quanto riguarda l’omogeneità ed isotropia del tempo, le cose sono più complicate. Ammettendo questa ipotesi, si presuppone che l’universo sia sempre lo stesso nel passato e nel futuro. In generale i modelli stazionari la ammettono, gli altri (ovviamente) no L’accettabilità fisica di un modello cosmologico teorico dipende se il modello è in accordo con le osservazioni astronomiche che via via vengono fatte Le osservazioni mostrano i seguenti fondamentali fenomeni di rilevanza cosmologica : red-shift cosmologico delle galassie (rilevato da Hubble negli anni ‘20, interpretabile immaginando che l’universo sia in espansione per cui le galassie sembrano allontanarsi producendo effetto Doppler (lo stesso fenomeno per cui il fischio del treno viene udito più basso in frequenza quando il treno si allontana)) radiazione fossile di fondo (rilevato da Penzias e Wilson negli anni ‘60, spiegabile immaginando che questa radiazione nelle microonde (circa 4 K di temperatura) sia la luce rimasta dell’ipotetica esplosione (il big bang) che ha dato “origine” all’universo)

06/12/ Modelli cosmologici stazionari non espansivi Spazio omogeneo ed isotropo Tempo omogeneo ed isotropo Curvatura dello spazio costante e positiva Nel caso esemplificativo bidimensionale un tale modello corrisponde ad una sfera Il modello (proposto inizialmente dallo stesso Einstein) non spiega il red- shift cosmologico né la radiazione fossile

06/12/ Modelli cosmologici stazionari espansivi Modello stazionario nella densità di materia ma in espansione nel tempo con creazione spontanea e continua di un atomo di idrogeno ogni m³ ogni anno Il modello risulta omogeneo nello spazio e nel tempo ed allo stesso tempo risulta espansivo. La creazione spontanea di atomi di idrogeno mantiene costante la densità della materia Il modello spiega il red shift cosmologico ma non la radiazione fossile Il modello presenta il problema “filosofico” di ammettere la “creazione continua” (nulla si crea, nulla si distrugge, ma tutto si trasforma …)

06/12/ Modelli cosmologici non stazionari Spazio omogeneo ed isotropo Tempo non omogeneo e non isotropo Ipotesi del big bang (circa 13,7 miliardi di anni fa tutto l’universo era concentrato in una regione di spazio teoricamente puntiforme, detta singolarità). Dal big bang trae origine, espandendosi, l’universo come lo conosciamo oggi Si hanno modelli chiusi, aperti, piatti e con espansione a velocità crescente L’ipotesi del big bang è coerente con il red-shift cosmologico e con l’esistenza della radiazione fossile Il problema fondamentale dell’ipotesi del big bang è l’evoluzione futura dell’universo (se continuerà ad espandersi ed in che modo oppure inizierà a contrarsi)

06/12/ Modello cosmologico non stazionario chiuso Curvatura costante positiva Modello bidimensionale : superficie sferica Densità maggiore della massa critica Espansione + contrazione (big bang + big crunch) anche in sequenza In un certo istante

06/12/ Modello cosmologico non stazionario aperto Curvatura costante negativa Modello bidimensionale : sella Densità minore della massa critica Velocità di espansione decrescente tendente ad un valore positivo In un certo istante

06/12/ Modello cosmologico non stazionario piatto Curvatura costante nulla Modello bidimensionale : piano Densità uguale alla massa critica Velocità di espansione decrescente tendente a 0 Geometria euclidea

06/12/ Modello cosmologico non stazionario a velocità crescente Le ultime recenti osservazioni indicherebbero che l’universo sarebbe costituito al 96 % di materia oscura (23 %) e di energia oscura (73 %). Il rimanente 4 % formerebbe l’universo usuale che vediamo e misuriamo con i nostri strumenti (perché emette radiazione elettromagnetica) Materia ed energia oscure anche perché di natura sconosciuta Sarebbe in atto una espansione accelerata (big rip) dell’universo in antitesi col carattere attrattivo della forza gravitazionale L’espansione accelerata sarebbe causata dall’energia oscura ed è descrivibile matematicamente con l’aggiunta all’equazione gravitazionale di Einstein della costante cosmologica L’energia oscura potrebbe essere spiegabile fisicamente mettendola in relazione con l’esistenza della ZPE (zero point energy, energia quantistica di punto zero), energia intrinseca del vuoto che riempirebbe il cosmo Attualmente la cosmologia è in forte sviluppo e vengono prodotti modelli sempre più evoluti e complessi. Modelli cosmologici a stringhe, multiuniverso ecc.