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Energia potenziale 2

Abbiamo visto che il lavoro fatto da una forza conservativa su di una particella dipende soltanto dal punto di partenza e da punto di arrivo. Ne consegue che una tale forza può dipendere solo dalla posizione della particella, e non per esempio dal tempo, o dalla velocità della particella. Per esempio se la forza dipendesse dal tempo, adottando fra i due punti A e B un percorso che ci fa impiegare più tempo, il lavoro risulterebbe differente rispetto a quello risultante per un percorso che ci fa impiegare meno tempo. Il che abbiamo visto che non è il caso. 3

Consideriamo il caso di un percorso rettilineo di una massa m. Il lavoro fatto dalla risultante F delle forze applicate alla massa in questione è uguale alla variazione di energia cinetica della massa m L = Fdx = ½ mv 2 − ½ mv 0 2 ∫ x0x0 x Nel caso di un moto unidimensionale, tutte le forze che dipendono dalla posizione sono conservative. Se F dipende solo da x, l’energia cinetica del corpo dipende anche essa solo da x. Può essere diversa in posizioni differenti dell’asse x ma è sempre la stessa in un dato punto. L’esempio della palla lanciata verticalmente in alto o di una massa che incide su una molla illustrano questo caso. In queste condizioni stabiliremo che ogni variazione dell’energia di movimento, l’energia cinetica, lungo il percorso, è associata ad una variazione di segno opposto dell’energia di posizione, l’energia potenziale. 4

Rappresentando con U l’energia potenziale, questo enunciato risulta espresso dalla formula ΔK = −ΔU In base al teorema lavoro-energia che abbiamo appena riscritto, la variazione di energia cinetica vale: ΔK = F(x)dx da cui ne segue che: ΔU = − F(x)dx Questa quantità è funzione soltanto della posizione ∫ x0x0 x ∫ x0x0 x 5

Notiamo che in generale : ΔU = − F(x)dx = F(x)dx (abbiamo invertito gli estremi di integrazione) Quindi possiamo scrivere: ΔU = U(x) –U(x 0 ) = F(x) dx Cioè: la variazione dell’energia potenziale che si osserva posizionandosi in un punto x, rispetto al valore in un punto di riferimento x 0 è il lavoro fatto dalla forza quando la particella si muove dal punto x al punto x 0 ∫ x0x0 x ∫ x x0x0 ∫ x x0x0 6

U(x) –U(x 0 ) = F(x) dx ∫ x x0x0 Confrontando la formula appena enunciata: con la formula del teorema lavoro-energia: Fdx = ½ mv 2 − ½ mv 0 2 ∫ x0x0 x ci rendiamo conto che possiamo riscrivere quest’ultima come segue, semplicemente invertendo di segno ambo i membri dell’equazione − Fdx = ½ mv 0 2 − ½ mv 2 ∫ x0x0 x Dove il primo membro è uguale a U(x) –U(x 0 ) (cambiando il segno e invertendo i limiti) 7

Risulta quindi: U(x) –U(x 0 ) = ½ mv 0 2 − ½ mv 2 cioè: U(x) + ½ mv 2 = U(x 0 ) + ½ mv 0 2 Si noti che in questa equazione compaiono soltanto posizione e velocità Il membro di destra di questa equazione dipende soltanto dalla posizione e dalla velocità iniziali v 0 e x 0 e la quantità U + K a sinistra si mantiene pertanto costante ed uguale al valore iniziale in qualsiasi punto x durante il moto unidimensionale. Definiremo l’energia meccanica totale la quantità E = U + K Questa quantità si conserva durante il moto quando la forza in gioco è conservativa 8

In sostanza, abbiamo ricavato la Legge di Conservazione dell’Energia Meccanica (cinetica + potenziale): E = U + K di cui avevamo intuito fin dalla prima lezione l’esistenza. Energia potenziale U Energia cinetica K Energia Meccanica E 9

10 In molti casi, quando le forze in gioco sono conservative, e quando gli effetti di altre forze non conservative sono trascurabili, l’applicazione diretta di questa Legge ci consente di risolvere rapidamente un problema senza necessariamente trattare quantitativamente le forze in questione e senza quindi dovere applicare le Leggi di Newton.

11 ΔU = − F(x)dx ∫ x0x0 x Riscriviamo una delle formule precedenti: La relazione fra forza ed energia potenziale può essere anche scritta come segue: F(x) = − dU(x) / dx Infatti sostituendo questa formulazione nella formula precedente si ottiene una identità: ΔU = dU Quindi l’energia potenziale U è una funzione della posizione la cui derivata (cambiata di segno) dà la forza. Cioè a sua volta la forza (cambiata di segno) rappresenta la rapidità «spaziale» con cui cambia l’energia potenziale. Cioè il tasso di variazione di energia potenziale lungo x è rappresentato dalla forza. ∫ x0x0 x

12 I due esempi classici di sistemi conservativi unidimensionali Due esempi classici di forze conservative sono la forza di gravità e la forza di richiamo di una molla Nel caso della forza di gravità, il moto unidimensionale è verticale. Assumendo l’asse positivo delle y diretto verso l’alto, la forza di gravità risulta diretta secondo il verso negativo delle y. Si ha quindi: F = −mg = costante (che rappresenta un caso particolare di una forza dipendente dalla posizione). Per l’energia potenziale potremo scrivere pertanto: U(y) – U(0) = (−mg) dy = mgy Il caso della forza di gravità = Fdy ∫ y 0 ∫ y 0 Adottando una energia potenziale nulla per y = 0, si ha semplicemente: U (y) = m g y

13 Il fatto che l’energia potenziale di una massa m ad una certa altezza dal suolo cresca con l’altezza è certamente coerente con la nostra esperienza quotidiana: Maggiore è l’altezza h dalla quale lasciamo cadere una massa m, maggiore è la velocità (e quindi l’energia cinetica) con cui arriva al suolo.

14 Il caso della forza di una molla Consideriamo la forza esercitata da una molla elastica su di una massa m che si muove su di una superficie orizzontale (priva di attrito), e consideriamo il punto x 0 = 0 come posizione di equilibrio della molla. La forza F esercitata sulla massa m quando la deformazione è x vale F = −k x dove k è la costante elastica della molla L’energia potenziale è data dalla formula: U(x) − U(0) = (−kx) dx Se scegliamo U(0) = 0, l’energia potenziale, come pure la forza, è nulla nella posizione di riposo della molla e risulta: U(x) − U(0) = (−kx) dx = ½ kx 2 (metodo grafico delle aree) ∫ x 0 ∫ x 0

15 Sistemi conservativi a 2 e 3 dimensioni Tutto quanto abbiamo discusso fino adesso per il caso unidimensionale, in cui la forza era orientata lungo la direzione del moto si può facilmente generalizzare al caso di un moto in più dimensioni. L’ipotesi che stiamo considerando è comunque quella in cui il lavoro fatto da una data forza F dipende soltanto dai punti estremi del moto del percorso. In questo caso la forza in questione è una forza conservativa.

16 In questo caso, l’energia potenziale U sarà una funzione delle coordinate x,y, z dello spazio in cui avviene il moto, e cioè U = U(x,y,z) E di nuovo troveremo che l’energia meccanica è conservata: K + U = E = costante Cioè: ½ mv x 2 + ½ mv y 2 + ½ mv z 2 + U(x,y,z) = E

17 Forze non conservative Ricapitoliamo: Partendo dal teorema lavoro-energia: L = ΔK abbiamo trovato che quando la risultante F delle forze è conservativa, il lavoro fatto può essere espresso come diminuzione dell’energia potenziale: −ΔU = ΔK Questo ci ha condotto all’idea della conservazione dell’energia cinetica + energia potenziale, cioè: ΔK + ΔU = 0 Δ(K + U) = 0 K + U = costante Abbiamo chiamato questa costante E, energia meccanica totale del sistema

18 Supponiamo adesso che fra le forze agenti sulla massa in questione ve ne siano alcune non conservative. Il lavoro fatto dalla risultante delle forze sarà uguale alla somma del lavoro fatto dalle forze conservative e da quelle non conservative: In base al teorema lavoro-energia, potremo quindi scrivere sempre: L conserv + L non-conserv = ΔK D’altra parte, il lavoro fatto dalle forze conservative può essere scritto come diminuzione dell’energia potenziale: L conserv = −ΔU Da cui: L non-conserv = ΔK + ΔU E cioè: L non-conserv = Δ(K + U) = ΔE

19 L non-conserv = Δ(K + U) = ΔE Quindi: in presenza di forze non conservative, l’energia meccanica totale E di un sistema non è costante, ma cambia di un ammontare pari al lavoro effettuato dalle forze non conservative. Nel caso della forza dissipativa come la forza d’attrito, cosa ne è stato dell’energia meccanica totale ? In questo caso, l’energia meccanica si è trasformata in calore, e risulta che l’energia termica sviluppata è esattamente eguale alla energia meccanica dissipata

20 La conservazione dell’energia Abbiamo visto che nel caso di forze non conservative risulta che il teorema lavoro energia può essere scritto come segue: L non-conserv = ΔK + ΔU In generale la formulazione più corretta sarà: L non-conserv = ΔK + ∑ ΔU dove il simbolo di sommatoria si riferisce ai contributi di energia potenziale di tutte le forze conservative presenti. Allo stesso tempo, possono essere presenti diverse forze non conservative, di cui la forza di attrito che abbiamo visto che sviluppa energia termica è solo un esempio.

21 Una importante affermazione, che fino adesso non è stata mai contraddetta dai risultati sperimentali è la seguente: L’energia totale di un sistema, come risulta dalla somma dell’energia cinetica, dell’energia potenziale, dell’energia termica e di altre forme di energia, non cambia

22 Alcune considerazioni: Abbiamo iniziato l’approccio alla conservazione dell’energia parlando della conservazione dell’energia meccanica K+U. Poi abbiamo scoperto che l’energia meccanica si conserva solo nel caso di forze conservative. Per esempio nel caso di forze d’attrito, l’energia meccanica non si conserva ma viene dissipata in energia termica Adesso abbiamo affermato che l’energia totale di un sistema, come risulta dalla somma dell’energia cinetica, dell’energia potenziale, dell’energia termica e di altre forme di energia, non cambia

23 Sembra quasi che si voglia rincorrere assolutamente un teorema (la conservazione dell’energia, appunto) invocando eventuali altre forme di energia, laddove apparentemente l’energia non si sarebbe conservata. Di fatto è l’esperienza che ci conferma la veridicità del teorema.

Esempio 1 Un blocco di massa m scivola lungo una superficie curva priva di attrito come in figura. In ogni istante, la forza normale N risulta perpendicolare alla superficie e quindi alla direzione del moto e pertanto NON esegue lavoro. Soltanto la forza gravitazionale compie lavoro e questa forza è conservativa. Pertanto l’energia meccanica si conserva e scriveremo: mgy 1 + ½ mv 1 2 = mgy 2 + ½ mv 2 2 Da cui si ricava: v 2 2 = v g (y 2 – y 1 ) Se il blocco inizialmente è a riposo ad una quota y = h, si ha quindi: v 2 = (2 g h) ½

Esempio 2 Supponiamo di disporre di una molla con costante elastica k = 800 nt/m, posizionata come in figura. Supponiamo di comprimere la molla di 0,05 m rispetto alla posizione di equilibrio e di porre davanti la molla un biglia di 0,02 kg. Facendo l’ipotesi che la superfice orizzontale sia priva di attrito, con quale velocità la palla si distaccherà dalla molla ?

Trattandosi di una forza conservativa (la forza esercitata dalla molla), l’energia meccanica si conserva. L’energia meccanica iniziale è l’energia potenziale della molla: ½ k x 2 L’energia meccanica finale è l’energia cinetica della biglia: ½ mv 2 Pertanto scriveremo : ½ k x 2 = ½ mv 2 Da cui risulta: v = x (k/m) 1/2 = 0,05m x ((800 nt/m)/0,02 kg) 1/2 v = 10 m/s

Esempio 3 Consideriamo un pendolo semplice. Il moto si svolge nel piano x-y, si tratta cioè di un moto bidimensionale. La tensione del filo è sempre perpendicolare alla traiettoria della massa m per cui tale forza non compie lavoro. Se il pendolo viene spostato di un angolo θ dalla sua posizione di equilibrio e poi lasciato libero, soltanto la forza gravitazionale compie lavoro sulla massa m. Poiché si tratta di una forza conservativa, possiamo applicare la legge di conservazione dell’energia in due dimensioni e scrivere: ½ mv x 2 + ½ mv y 2 + U(x,y) = E x y

Possiamo porre: v x 2 + v y 2 = v 2 dove v è la velocità lungo l’arco Inoltre U = m g y dove l’origine dell’asse y coincide col punto più basso Quindi: ½ mv 2 + m g y = E Quando posizioniamo la massa ad un angolo θ ed un’altezza h, la sua energia cinetica è nulla, quindi: E = m g h In ogni punto sarà quindi: ½ mv 2 + m g y = m g h  ½ mv 2 = m g (h –y) Quindi la velocità massima si ha per y = 0 ed è v = (2 g h) 1/2 La velocità minima risulta in y = h dove v = 0

Esempio 4 Un blocco di 10 kg viene lanciato in salita lungo un piano inclinato di 30° con una velocità inziale di 5 m/s. Il blocco percorre 2 m, si ferma e poi ritorna alla base. Quesito: Calcolare la velocità con cui il blocco ritorna alla base, e la forza d’attrito f. 30° 2 m Quando siamo alla sommità del moto, l’energia cinetica è zero, mentre l’energia potenziale è data dal lavoro esercitato contro la forza di gravità, a scapito appunto dell’energia cinetica. U = m g h = = (10kg) (9,8 m/s 2 ) (2m) (cos 60°) = 98 joule Alla base, dove il moto è iniziato è U = 0 mentre l’energia cinetica era K = ½ m v 2 = ½ (10kg) (5 m/s) 2 = = 125 joule

Risulta una differenza netta di energia di 98 joule − 125 joule = −f x 2 m da cui risulta: f = 27 joule / 2 m = 13,5 nt Consideriamo adesso la discesa. Alla sommità avevamo: U = 98 joule La perdita di energia cinetica dovuta all’attrito durante la discesa sarà sempre 27 joule, per cui l’energia cinetica all’arrivo sarà 98 – 27 = 71 joule Da cui ½ m v 2 = 71 joule  v = (71 x 2 / 10kg) 1/2 = 3,7 m/s

Riassumendo: La massa parte con una velocità in salita di 5 m/s Ritorna al punto di partenza con una velocità di 3,7 m/s Questo è dovuto alla perdita netta di energia, che si è trasformata in calore a causa dell’attrito sia in andata che in ritorno. Pertanto se quando la massa torna al punto di partenza trova una molla che semplicemente le inverte il moto, risalirebbe ma percorrendo una distanza minore, e arriverebbe al punto di partenza con una velocità sempre più bassa, fino a fermarsi.