1 Lezione XI Avviare la presentazione col tasto “Invio”

Moto rotatorio: Esempi e ripasso 2

3 y x O P Un tipico semplice esempio di cinematica rotazionale: Una ruota ha una accelerazione angolare costante pari a 3 rad/sec 2. All’inizio del moto il segmento O-P è orizzontale. Determinare: a) lo spostamento angolare del segmento O-P (e quindi della ruota); e b) la velocità angolare della ruota 2 sec dopo l’inizio del moto.

4 Rivediamo i concetti che abbiamo studiato a riguardo e che ci servono per risolvere il quesito

x y Moto traslatorio + rotatorio Per descrivere un moto che oltre che traslatorio sia anche rotatorio, oltre che definire le coordinate x 0 -y 0 del punto di riferimento 0 sul corpo, rispetto al nostro sistema di riferimento, dovremo definire anche l’orientazione di un sistema di assi x’-y’ solidale col corpo, rispetto al nostro sistema di riferimento x-y y’ x’ 5

Abbiamo stabilito di studiare questo tipo di moto separando il moto traslatorio dal moto rotatorio. Abbiamo applicato in sostanza il principio di sovrapposizione. Cioè: ad ogni istante lo stato del corpo è definibile in base ad una traslazione + una rotazione 6

x y Traslazione Rotazione 7

x y Traslazione Rotazione 8

x y Traslazione Rotazione 9

Definizione formale di moto puramente rotatorio di un corpo rigido Il moto di un corpo rigido è puramente rotatorio se tutti i punti del corpo si muovono su dei cerchi i cui centri sono localizzati tutti lungo una retta detta asse di rotazione 10

Se per ogni punto del corpo in questione, tracciamo dei segmenti perpendicolari all’asse di rotazione, tutti questi segmenti ruoteranno di uno stesso angolo Δ θ in un dato intervallo di tempo Δt Δ θΔ θ Δ θΔ θ 11

E questo va inteso anche nel caso 3D 12

E questo va inteso anche nel caso 3D 13

Stabiliremo di misurare gli angoli di rotazione in radianti. Un radiante è l’angolo al centro in un cerchio sotteso da un arco di lunghezza s pari al raggio R. Pertanto un angolo θ è espresso in radianti dalla relazione θ = s / R s = R R 1 rad Poiché la circonferenza di un cerchio di raggio R è lunga 2πR, vi sono 2π radianti in un angolo giro. Quindi 2π rad = 360°  1 rad ≈ 57,3 ° 14

Lo spostamento angolare nell’intervallo di tempo Δt = t 2 − t 1 sarà Δθ = θ 2 − θ 1 Definiremo la velocità angolare media del corpo nell’intervallo Δt : = (θ 2 − θ 1 ) / (t 2 − t 1 ) = Δθ / Δt In perfetta analogia con quanto abbiamo studiato in cinematica nel caso lineare, la velocità angolare istantanea sarà data dal limite per Δt  0 di questo rapporto: ω(t) = lim Δθ / Δt = dθ /dt Δt  0 15 In analogia con quanto abbiamo già studiato, indicate con ω 1 e ω 2 le velocità angolari agli istanti t 1 e t 2 l’accelerazione angolare media è definita dalla relazione: = (ω 2 − ω 1 ) / (t 2 − t 1 ) = Δ ω / Δt e di conseguenza l’accelerazione angolare istantanea è data dalla relazione α (t) = lim Δ ω / Δt = d ω /dt Δt  0

La velocità angolare ha le dimensioni dell’inverso di un tempo: [ T -1 ] e in generale l’unità di misura è il radiante / sec 16 L’accelerazione angolare ha le dimensioni dell’inverso di un tempo quadrato: [ T -2 ] e in generale l’unità di misura è il radiante / sec 2

Analogia fra le grandezze cinematiche lineari e quelle angolari Caso lineareCaso rotazionale x[L]θ[ ] v = dx /dt[L T -1 ]ω = dθ /dt[T -1 ] a = dv/dt = d 2 x/dt 2 [L T -2 ]α = dω/dt = d 2 θ/dt 2 [T -2 ] Le dimensioni lineari differiscono dalle corrispondenti dimensioni angolari per un fattore avente dimensione di una lunghezza, il che deriva dalla definizione di radiante θ= s / R che è un numero puro, essendo il rapporto fra due lunghezze 17

Queste grandezze sono vettori ? Consideriamo il caso dello spostamento angolare θ Si può verificare sperimentalmente che gli spostamenti angolari non si sommano come vettori. Infatti se si sommassero come vettori dovrebbero obbedire alle regole sulla somma dei vettori e in particolare alla proprietà commutativa della somma di due vettori, cioè: θ 1 + θ 2 = θ 2 + θ 1 18

Un libro ruota di 90° in senso orario visto di fronte, e poi in senso antiorario visto da sopra. Se l’ordine delle due rotazioni viene invertito la posizione finale è differente Lo stesso succede se si adotta un angolo di rotazione più piccolo, per esempio di 45°, ma in questo caso la differenza di orientazione finale è minore Nel caso di angoli sempre più piccoli, la differenza di orientazione finale tende a 0 19

Quindi: θ 1 + θ 2 = θ 2 + θ 1 Ma: dθ 1 + dθ 2 = dθ 2 + dθ 1 Gli spostamenti angolari infinitesimi obbediscono alla proprietà commutativa dell’algebra vettoriale e infatti sono vettori 20

Di conseguenza, la velocità angolare: ω(t) = dθ /dt poiché dθ è un vettore e dt è uno scalare, ω è un vettore (e di conseguenza anche α ) Ma qual è la rappresentazione grafica di questo vettore? Consideriamo per esempio Un cilindro che ruota attorno al proprio asse in senso antiorario: ω Il vettore velocità angolare ω è una freccia lungo la direzione dell’asse di rotazione, orientata verso l’alto se la rotazione è in senso antiorario e viceversa se è in senso orario, la cui lunghezza è pari al modulo ω. 21

La cosiddetta regola della mano destra. Nozione mnemonica: se con la mano destra si afferra idealmente l’asse di rotazione, in modo che le dita si avvolgano intorno ad esso nel senso della rotazione, allora il pollice disteso punta nella direzione del vettore ω 22

Rotazione con accelerazione angolare costante Il caso più semplice di un moto rotatorio è quello che avviene con accelerazione costante In questo caso le equazioni del moto sono del tutto analoghe a quelle lineari (moto traslatorio): Moto traslatorioMoto rotatorio v = v 0 + a tω = ω 0 + α t x = ½ ( v 0 + v ) tθ = ½ ( ω 0 + ω ) t x = v 0 t + ½ a t 2 θ = ω 0 t + ½ α t 2 23

24 y x O P Torniamo quindi al quesito: Una ruota ha una accelerazione angolare costante pari a 3 rad/sec 2. All’inizio del moto il segmento O-P è orizzontale. Determinare: a) lo spostamento angolare del segmento O-P (e quindi della ruota); e b) la velocità angolare della ruota 2 sec dopo l’inizio del moto.

25 (a) L’accelerazione angolare α e il tempo t sono dati, vogliamo trovare θ. Quindi useremo la θ = ω 0 t + ½ α t 2 All’inizio del moto si ha t = 0 ω 0 = 0 e α = 3 rad/sec 2 Dopo 2 sec si avrà: θ = 0 x 2 sec + ½ (3 rad/sec 2 ) (2 sec) 2 = 6 rad (b) l’accelerazione α e il tempo t sono dati, vogliamo ottenere ω, quindi useremo la: ω = ω 0 + α t e cioè: ω = 0 + (3 rad/sec 2 ) (2 sec) = 6 rad/sec

26 Se in un esempio del genere interviene una forza ci potrebbe essere chiesto di calcolarne il momento…

27 Una ruota è libera di ruotare attorno ad un asse orizzontale passante per l’origine O di un sistema di assi x-y come in figura. Una forza di 10 nt è applicata ad un raggio r in punto P distante 1 m dal centro. Il segmento O-P forma un angolo di 30° con l’asse x. La forza agisce nel piano x-y formando un angolo di 45° con l’asse x Calcolare il momento che agisce sulla ruota y x O r P 30° 45°

Momento di una forza Definizione: Se una forza F agisce su un punto P la cui posizione rispetto al riferimento O è individuata da un vettore r, il momento della forza rispetto a O è un vettore definito dalla: τ = r x F dove il simbolo x rappresenta il prodotto vettoriale fra r e F Il modulo di τ è dato dalla relazione: τ = r F sin θ dove θ è l’angolo fra r e F La direzione è ortogonale al piano individuato da r e F, e il verso segue la regola della mano destra 28

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Le dimensioni del momento della forza sono quelle di forza x distanza E cioè [ M L T −2 L ]  [ M L 2 T −2 ] L’unità di misura il nt-metro Vediamo adesso di risolvere il quesito che ci era stato proposto  30

31 Una ruota è libera di ruotare attorno ad un asse orizzontale passante per l’origine O di un sistema di assi x-y come in figura. Una forza di 10 nt è applicata ad un raggio r in un punto P distante 1 m dal centro. Il segmento O-P forma un angolo di 30° con l’asse x. La forza agisce nel piano x-y formando un angolo di 45° con l’asse x Calcolare il momento che agisce sulla ruota y x O r P 30° 45°

32 Applichiamo la definizione di momento di una forza: τ = r x F dove il simbolo x rappresenta il prodotto vettoriale fra r e F Il modulo di τ è dato dalla relazione: τ = r F sin θ In questo caso l’angolo θ è dato da: θ = 45° − 30° = 15° Pertanto il modulo del momento è dato da: τ = r F sin θ = (1 m) (10 nt) (sin 15°)

33 (1 m) (10 nt) (sin 15°) (1 m) (10 nt) (0,26) = 2,6 nt-m Si tratterà di un momento lungo l’asse z. Riguardo al verso, applicando la regola della mano destra troveremo che punta verso di noi.