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Teoria cinetica dei gas - I

Nella teoria cinetica dei gas si estendono i concetti e le leggi della meccanica fino al livello microscopico, cioè fino a dimensioni atomiche. Vedremo che attraverso una trattazione microscopica è possibile prevedere molte caratteristiche e quantità fisiche osservate a livello macroscopico. Ovviamente, applicando la teoria e le leggi di Newton non ci possiamo aspettare di trattare informazioni sulla posizione e velocità di ogni singola particella di un gas. Adotteremo quindi un approccio statistico, ricavando i valori medi di determinate grandezze. E in effetti, ciò che poi si misura sperimentalmente è il valore medio di alcune grandezze e non le proprietà individuali delle particelle di cui si compone il gas.

Rivediamo il concetto di equazione di stato di un gas perfetto (o ideale) Abbiamo visto che l’equazione di stato di una sostanza è la relazione fra la sua pressione, il suo volume specifico e la sua temperatura. Gli esperimenti mostrano che una equazione di stato esiste per qualsiasi sostanza omogenea, sia essa un solido, un liquido o un gas. Sebbene in molti casi non sia possibile formulare in modo semplice l’equazione di stato, una equazione del tipo: F (p, v, T) = 0 esiste per qualsiasi sostanza. Anche se in molti casi noi non siamo in grado di risolvere l’ equazione in questione, la Natura lo sa fare, nel senso che sperimentalmente osserviamo che le grandezze fisiche in questione obbediscono ad una relazione del genere. 4

Per avere un’idea di questa tipologia di equazioni ci siamo serviti di grafici in cui si riportano le misure sperimentali e si interpolano le corrispondenti curve. Abbiamo supposto di avere misurato la pressione p, la temperatura T, il volume V e la massa di un gas, e per il volume abbiamo preso in considerazione il volume specifico v per esempio definito in base al numero di moli n di sostanza, cioè v = V / n Quindi abbiamo considerato tutti i dati raccolti ad un data temperatura T e abbiamo calcolato per ogni set i di misure il rapporto: p i v i /T e abbiamo riportato in un grafico il valore di questo rapporto in funzione della pressione p. Per ogni temperatura T abbiamo ottenuto un set di misure che abbiamo interpolato con una curva continua 5

p v / T p (atm) T1T T2T2 T3T3 E abbiamo fatto una interessante scoperta: ad ogni temperatura i valori della quantità p v / T in funzione della pressione p si dispongono lungo una curva facilmente interpolabile Non solo: le curve convergono tutte verso lo stesso punto R all’avvicinarsi di p a zero E inoltre: si osserva che il valore di p v / T per p  0 è lo stesso per tutti i gas R 6

Utilizzando per la grandezza di p v / T le seguenti unità di misura: p nt / m 2 v m 3 / kg-mole T°K E’ risultato che: R = x 10 3 joules / kg-mole-°K La costante R è denominata costante universale dei gas. Risulta quindi che a basse pressioni si può scrivere per tutti i gas: p v / T = R  p v = R T o anche: p V = n R T 7

Abbiamo anche visto che in molte applicazioni, risulta conveniente definire un «gas ideale» che obbedisce alla legge: p v = R T per tutti i valori di pressione. Questa è quella che si chiama equazione di stato di un gas ideale p (atm) p v / T R Qualsiasi T 8

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Come si può vedere le trasformazioni isoterme, cioè quelle che avvengono a temperatura T costante, sono rappresentate da iperboli nel piano p-V: p V = n R T Abbiamo anche visto per esempio che la semplicità di questa relazione permette di calcolare il lavoro fatto da un gas ideale durante una espansione isotermica. 10

11 Passiamo adesso alla definizione di un modello di gas secondo la teoria cinetica Adotteremo le seguenti esemplificazioni: Un gas consiste di particelle chiamate molecole. A seconda del gas, ciascuna molecola potrà consistere di un atomo o di un gruppo di atomi. In molti casi tutte le molecole saranno considerate identiche. Le molecole sono in moto casuale e obbediscono alle Leggi di Newton. Le molecole si muovono in tutte le direzioni con varie velocità. Nel trattarne il moto assumeremo la validità della meccanica newtoniana. Il numero totale di molecole è grande. Il moto di ogni singola molecola può cambiare bruscamente a seguito di urti. Una qualsiasi molecola seguirà in generale un moto a zig-zag. Tuttavia essendoci un numero elevatissimo di urti supporremo che rimanga inalterata la distribuzione delle velocità molecolari.

12 Il volume delle molecole è una frazione trascurabile del volume del gas. In sostanza, anche se abbiamo molte molecole, esse sono estremamente piccole. Sappiamo infatti che il volume di un gas può essere facilmente ridotto e quindi questa ipotesi è certamente plausibile. Sulle molecole non agisce alcuna forza apprezzabile, se non durante una collisione. Quindi durante due urti successivi ogni singola molecola si muove di moto uniforme, cioè a velocità costante e in linea retta. Poiché abbiamo supposto che le dimensioni di una molecola siano piccole, la distanza media fra le molecole è relativamente grande, quindi assumeremo che il raggio di azione delle forze molecolari sia confrontabile con le dimensioni molecolari Gli urti sono perfettamente elastici e di durata trascurabile. Cioè gli urti fra le molecole e con le pareti conservano sia l’energia cinetica che la quantità di moto.

13 Nello sviluppo della teoria cinetica, si suppone che in un gas perfetto (o ideale) tutte le ipotesi enunciate siano rigorosamente vere In particolare si suppone di potere trattare gli urti fra le molecole assimilando ad urti fra «biglie completamente elastiche» Per giustificare questa assunzione, è bene entrare un attimo nel merito di come nella teoria cinetica vengono modellate le forze intermolecolari

14 Forze intermolecolari Le forze fra molecole sono di origine elettromagnetica. Tutte le molecole contengono infatti cariche elettriche in movimento, e sebbene ogni molecola sia elettricamente neutra, le molecole interagiscono fra di loro elettricamente. Possiamo immaginare che quando due molecole si avvicinano l’una all’altra, le cariche di ciascuna sono disturbate, cosi da disporsi su una simmetria differente da quella usuale. Ne risulta una forza intermolecolare. Questo fenomeno si verifica a distanze sufficientemente piccole, e si tratta quindi di forze a corto range. Se le molecole si avvicinano molto, così che le cariche esterne cominciano a sovrapporsi, la forza intermolecolare diventa repulsiva.

15 La tipica «buca di potenziale» che caratterizza la forza intermolecolare fra due molecole appare come in figura: U r Repulsivo Attrattivo

16 Avevamo già visto in meccanica che la presenza di un potenziale repulsivo genera urti del tutto paragonabili agli urti «per contatto» fra delle biglie:

17 In generale, possiamo immaginare che nel caso di un potenziale attrattivo l’effetto di URTO che si osserva sia simile e cioè del tutto paragonabile al caso di orbite aperte: Orbita chiusa: Orbita aperta:

18 Quindi anche un potenziale attrattivo produce a tutti gli effetti un «urto», del tutto simile a quello prodotto da un potenziale repulsivo.

19 Quindi a tutti gli effetti, l’esistenza della «buca di potenziale» corrispondente alle forze intermolecolari, genera una varietà di urti dipendente dal raggio di azione (cioè della sezione d’urto), così come avevamo già visto in meccanica.

20 Sezione d’urto σ

21 Calcolo cinetico della pressione Consideriamo un gas in un recipiente di forma cubica di lato l, dotato di pareti perfettamente elastiche: x y z Consideriamo le due facce A 1 e A 2 ortogonali all’asse x ciascuna di area l 2 e consideriamo una particolare molecola che viaggia a velocità v A2A2 A1A1 v

22 Scomponiamo la velocità v nelle sue componenti v x v y e v z. Se questa particella urta contro la parete A 1, rimbalzerà indietro con una componente della velocita v x uguale e opposta, mentre non vi sarà alcun cambiamento in v y e v z. Quindi la variazione Δp di quantità di moto della particella sarà data dalla: Δp = p f − p i = −m v x − (m v x ) = −2 m v x che è una variazione di quantità di moto ortogonale ad A 1 Quindi la quantità di moto trasmessa ad A 1 sarà : 2 m v x Supponiamo adesso che questa particella raggiunga A 2 senza urtare altre particelle. Il tempo impiegato per attraversare il cubo sarà Δt = l / v x

23 Di nuovo, urtando A 2 la particella inverte la sua velocità e se non subisce altri urti raggiunge nuovamente A 1 con la stessa velocità. L’intero percorso richiede un tempo Δt = 2 l / v x quindi il numero di collisioni per unità di tempo che questa particella subisce con la parete A 1 è dato da: numero collisioni = v x / 2 l e quindi la quantità di moto che trasmette a A 1 nell’unità di tempo è data da: numero collisioni x Δp = ( v x / 2 l ) (2 m v x ) = m v 2 x / l

24 Per determinare la forza esercitata su A 1 ricordiamo che la forza è proprio la variazione di quantità di moto per unità di tempo: F = Δp /Δt. E poiché abbiamo appena visto che la variazione di quantità di moto per unità di tempo vale: Δp /Δt = m v 2 x / l. per determinare la forza totale esercitata da tutte le molecole su A 1 dobbiamo sommare m v 2 x / l per tutte le particelle. Poi per trovare la pressione divideremo questa forza totale per la superfice, cioè l 2. Cioè: Pressione p = (m / l 3 )( v 2 x1 + v 2 x2 + ….. v 2 xN )

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26 In tutto questo però abbiamo trascurato gli urti fra particelle. Tuttavia, trattandosi di urti elastici fra particelle di equale massa, risultano scambi di velocità in cui ci sarà sempre una particella che prosegue il suo moto con la velocità di un’altra particella. Quindi trascurare gli urti non dovrebbe alterare il risultato macrosopico ottenuto. La trattazione fatta si applica ovviamente anche a tutte le pareti del cubo.