Avviare la presentazione col tasto “Invio” Lezione XII -c Avviare la presentazione col tasto “Invio”

Alcune applicazioni del moto armonico

Il pendolo semplice Il pendolo semplice è un sistema costituito da una massa puntiforme sospesa ad un filo inestendibile. Quando viene spostata dalla sua posizione di equilibrio, e abbandonato a se stesso, il pendolo oscilla in un piano verticale sotto l’azione della forza di gravità. Il moto del pendolo è periodico e vogliamo calcolarne il periodo T

Riconsideriamo la geometria del sistema e definiamo gli assi di riferimento e le forze in gioco. La massa vale m e il filo di lunghezza l forma un angolo θ con la verticale. Le forze che agiscono sulla massa m sono la forza di gravità mg diretta in verticale verso il basso e T, la tensione del filo. Scegliamo una coppia di assi cartesiani diretti uno verso il raggio e uno verso la tangente al cerchio su cui si muove la massa. Scomponiamo mg in una componente radiale mg cos θ e una componente tangenziale mg sin θ

Il moto che ne risulta quindi NON è armonico La componente radiale e la tensione del filo istante per istante sono uguali e contrarie e infatti non c’è moto della massa m in senso radiale. La componente tangenziale è la forza di richiamo esercitata su m tendente e ricondurla alla sua posizione di equilibrio. La forza di richiamo pertanto è: F = −m g sin θ NOTA: la forza F non è proporzionale allo spostamento angolare θ ma a sin θ Il moto che ne risulta quindi NON è armonico Tuttavia, se θ è piccolo sin θ ≈ θ , dove θ è espresso in radianti. Lo spostamento lungo l’arco di cerchio è x = l θ e per piccoli angoli il moto è praticamente rettilineo

T = 2π 𝑚 𝑘 = 2π 𝑙 𝑔  non dipende dalla massa m Quindi: assumendo sin θ ≈ θ si ha F = −m g θ = −m g 𝑥 𝑙 = − 𝑚 𝑔 𝑙 x Questa è proprio la condizione di applicazione delle formula del moto armonico F = −k x in cui k = 𝑚 𝑔 𝑙 Quindi: per piccole oscillazioni, il periodo T del pendolo semplice vale: T = 2π 𝑚 𝑘 = 2π 𝑙 𝑔  non dipende dalla massa m

Il pendolo di torsione Q O P O P Supponiamo di avere un disco sospeso per il suo centro di massa da un filo. Il filo a sua volta è solidamente ancorato ad un supporto fisso. Con il disco in posizione di equilibrio tracciamo un segmento radiale che unisce il centro O con un punto P come in figura. Se si ruota il disco sul piano orizzontale fino a portarlo alla posizione Q, il filo si torce ed esercita pertanto un momento che tende a riportarlo alla posizione di equilibrio.

τ = −ϰ θ τ = I α = I 𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 −ϰ θ = I 𝑑2𝜃 𝑑𝑡2  𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 = − ϰ 𝐼 θ Il momento in questione quindi è un momento di richiamo che per la Legge di Hooke è proporzionale alla entità della torsione. Cioè: τ = −ϰ θ Il simbolo ϰ è una costante che dipende dalle proprietà del filo e viene detta costate di torsione. Il segno negativo indica il fatto che si tratta di un momento di richiamo. In perfetta analogia col caso lineare dell’oscillatore armonico, scriveremo: τ = I α = I 𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 Che, utilizzando la τ = −ϰ θ diventa una equazione analoga al caso lineare dell’oscillatore armonico: −ϰ θ = I 𝑑2𝜃 𝑑𝑡2  𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 = − ϰ 𝐼 θ

𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 = − ϰ 𝐼 θ 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = − 𝑘 𝑚 x θ = θm cos (ωt + δ) T = 2π 𝐼 𝜘 Infatti, l’equazione differenziale in θ 𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 = − ϰ 𝐼 θ è identica alla equazione differenziale in x che abbiamo già visto per l’oscillatore armonico lineare: 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 = − 𝑘 𝑚 x dove I e ϰ hanno sostituito k e m, e la soluzione pertanto è θ = θm cos (ωt + δ) In analogia col caso lineare il periodo di oscillazione T è dato dalla: T = 2π 𝐼 𝜘

Il pendolo fisico Ogni corpo che possa oscillare in un piano verticale intorno ad un determinato asse si chiama pendolo fisico. Il pendolo fisico quindi è una generalizzazione del pendolo semplice.

Indichiamo con m la massa del corpo, con P il punto dove passa l’asse di rotazione, con C il suo centro di massa e con I il suo momento di inerzia rispetto a P. Sia r il raggio vettore P-C. Supponiamo di spostare il corpo di un angolo θ dalla sua posizione di equilibrio (che è quella in cui il centro di massa C giace sulla verticale passante per P). P r θ C −m g Il momento della forza di gravità mg sarà τ = −mg r sin θ

𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 = −ϰ θ / I ϰ = mg r T = 2π 𝐼 𝜘 = 2π 𝐼 𝑚g𝑟 Da questa formula τ = −mg r sin θ risulta che τ è proporzionale a sin θ e non a θ quindi la condizione per il moto armonico non sarebbe soddisfatta. Tuttavia per piccoli angoli risulta sin θ ≈ θ per cui potremo scrivere: τ = −ϰ θ dove: ϰ = mg r D’altra parte sappiamo che: τ = I 𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 per cui potremo scrivere: 𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 = −ϰ θ / I Questa equazione l’abbiamo già vista e porta alla: T = 2π 𝐼 𝜘 = 2π 𝐼 𝑚g𝑟

Relazione fra il moto armonico e il moto circolare uniforme Vedremo adesso che c’è una interessante relazione fra il moto armonico rettilineo e il moto circolare uniforme. Inoltre, il moto circolare uniforme è anche l’esempio di una composizione di moti armonici semplici, un fenomeno che incontreremo spesso nello studio delle onde.

OQ con l’asse x (angolo iniziale). A Si consideri un punto Q che si muove su di un cerchio di raggio A con velocità angolare costante ω rad /sec. Il punto P è la proiezione di Q sul diametro orizzontale, e cioè sull’asse delle x. y Q Chiameremo Q punto di riferimento e il cerchio su cui Q si muove «cerchio di riferimento». Mentre Q gira, P si muove avanti e indietro sul diametro orizzontale. La coordinata x di P è sempre la stessa di quella di Q. Analogamente per le componenti orizzontali della velocità e dell’accelerazione. Al tempo t = 0, sia δ l’angolo formato dal raggio OQ con l’asse x (angolo iniziale). A δ O x P t = 0

x = A cos (ωt + δ) y Q A ωt + δ O x P t > 0 Poiché la velocità angolare ω è costante, ad ogni istante di tempo successivo, l’angolo fra il raggio OQ e l’asse delle x sarà dato da ωt + δ Pertanto, ad ogni istante la coordinata x di Q (e P) sarà: x = A cos (ωt + δ) Quindi il punto P si muove di moto armonico Cioè: il moto armonico può essere considerato come la proiezione di un moto circolare uniforme su di un diametro. y Q A ωt + δ O x P t > 0

raggio rotante nel cerchio di riferimento A seguito di questa definizione del moto armonico riferito al moto circolare uniforme si ha: La ω di un moto armonico è la velocità angolare del punto di riferimento La frequenza del moto armonico equivale al numero di rivoluzioni nell’unità di tempo del punto di riferimento Quindi f = ω / 2π, e di conseguenza ω = 2π f Il tempo impiegato dal punto di riferimento a compiere una rivoluzione completa equivale al periodo T del moto armonico. Quindi T = 2π / ω ossia ω = 2π / T L’ampiezza del moto armonico equivale al raggio del cerchio di riferimento La fase ωt + δ del moto armonico corrisponde all’angolo formato dal raggio rotante nel cerchio di riferimento

Se avessimo considerato la proiezione y invece che la proiezione x avremmo ottenuto il seguente risultato: y = A sin (ωt + δ) Si tratta nuovamente di moto armonico, che differisce dal precedente soltanto per la fase iniziale δ − π/2 E infatti il moto armonico può essere ottenuto come proiezione su un qualunque diametro del moto sul cerchio del punto di riferimento Q. Inversamente, il moto circolare uniforme può essere ottenuto come combinazione di due moti armonici

moti armonici ortogonali. Composizione di moti armonici Vediamo allora il caso più generale di moti risultanti dalla combinazione di moti armonici ortogonali. In fisica occorre di frequente il caso in cui un moto sia la combinazione di due moti armonici rettilinei fra loro ortogonali, cioè la somma di due oscillazioni indipendenti Ci soffermeremo adesso sul caso in cui le frequenze delle due vibrazioni sono le stesse: x = Ax cos (ωt + δx) y = Ay cos (ωt + δy) Le due relazioni indicano due moti armonici ortogonali (uno lungo x e uno lungo y) aventi la stessa frequenza angolare ω ma diversa ampiezza e fase

𝑥 𝑦 = Ax Ay e cioè  y = Ay Ax x Nel caso in cui anche le fasi iniziali δx e δy siano equali, è facile rendersi conto che il moto nel piano x-y è rettilineo. Infatti considerando le due equazioni: x = Ax cos (ωt + δ) y = Ay cos (ωt + δ) e dividendole membro a membro, si ha: 𝑥 𝑦 = Ax Ay e cioè  y = Ay Ax x Questa è l’equazione di una retta nel piano x-y con pendenza Ay / Ax

Ay Ax = 1 Ay Ax = 2 y y Ay Ay O O O x x Ax Ax Quindi per δx = δy si hanno per esempio i seguenti moti: y y Ay Ay 45° 60° O O O Ax x x Ax Ay Ax = 1 Ay Ax = 2

Se invece δx ≠ δy si avranno in generale dei moti ellittici Se invece δx ≠ δy si avranno in generale dei moti ellittici. In questo caso l’orientazione dell’ellisse è data sempre dal rapporto Ay Ax mentre la differenza di fase determina il rapporto fra i due semiassi dell’ellisse (infatti anche un segmento è un caso particolare di ellisse «chiusa»