© Copyright - Consoli – Trinaistich - Astorina A lezione di: Tecnologie Chimiche ˝ LE FORMULE NON SONO LA FISICA, MA SOLO UNA SUA RAPPRESENTAZIONE SINTETICA. ˝ Prof. S. Consoli © Copyright - Consoli – Trinaistich - Astorina

per i liquidi ideali si scrive: z1 + p1 / y + v12 / 2 g = z2 + p2 / y + v22 / 2 g = H (costante) S I M B O L I       E       I N T E R P R E T A Z I O N I a) z = quota geometrica o energia potenziale; b) p = pressione; c) v = velocità; d) H = carico idraulico; y = peso specifico; g = accelerazione di gravità; p / y = quota piezometrica o energia di pressione; v2 / 2 g = quota cinetica o energia cinetica.

per i liquidi reali si scrive: z1 + p1 / y + v12 / 2 g = z2 + p2 / y + v22 / 2 g + Σ Yi = H (costante) S I M B O L I       E       I N T E R P R E T A Z I O N I a) z = quota geometrica o energia potenziale; b) p = pressione; c) v = velocità; d) H = carico idraulico; e) Σ Y i = somma delle perdite di carico. y = peso specifico; g = accelerazione di gravità; p / y = quota piezometrica o energia di pressione; v2 / 2 g = quota cinetica o energia cinetica;

C O N D I Z I O N I  D I  V A L I D I T A’ : z1 + p1 / y + v12 / 2 g = z2 + p2 / y + v22 / 2 g + Σ Yi = H (costante) Sez. 1 Sez. 2 i pedici 1 e 2 si riferiscono a 2 sezioni della stessa corrente liquida; fra le sezioni 1 e 2 non devono esserci macchine; fra le sezioni 1 e 2 non devono esserci ingressi o uscite di liquido; fra le sezioni 1 e 2 non devono esserci forniture o sottrazioni di calore; il liquido deve essere incomprimibile; la condotta deve essere indeformabile; il regime deve essere permanente.

Dal punto di vista dimensionale, il teorema di Bernoulli si può interpretare in due modi: come quota da misurare in metri; come energia da misurare in Joule (per ogni chilogrammo massa di liquido nel sistema internazionale); o in chilogrammi peso per metro (per ogni chilogrammo peso di liquido nel sistema pratico). Ricordiamo che 1 [ kgp m ] = 9,81 [ J ].

come quota: quota o altezza geometrica: [z] = [m]; quota o altezza piezometrica: [p / y] = [(kgp / m2) / (kgp / m3)] = [m]; quota o altezza cinetica: [v2 / g] = [(m2 / s2) / (m / s2)] = [m].

come energia: nell'esposizione ci serviremo di alcuni artifici aritmetici che non influenzano né la filosofia né il calcolo. Energia potenziale o di posizione: moltiplichiamo e dividiamo z per m g ottenendo: z m g / m g ; la quantità z m g non è altro che l'energia potenziale di una massa m che si trova alla quota z in un campo gravitazionale g: nel sistema pratico si misura in [kgp m]; la quantità m g non è altro che il peso di una massa m che si trova in un campo gravitazionale g, e nel sistema pratico si misura in [kgp]; se noi ci riferiamo ad 1 kgp di liquido sull'asse del tubo, la quantità m g vale 1 e quindi si ottiene: [z] = [z m g / m g] = [kgp m / 1] = [kgp m];

Fasi successive: [p / y] = [(kgp m) / 1] = [kgp m]; Energia di pressione: usando le definizioni elementari di pressione e di peso specifico (F forza; A area; P peso; V volume; h altezza), si ottiene: [p / y] = [(F / A) / (P / V)] = [(F / A) / (P / A h)] = [F h / P]; ricordando che F h è il lavoro compiuto da una forza F per effetto di uno spostamento h e che P vale 1 kgp, possiamo scrivere: [p / y] = [(kgp m) / 1] = [kgp m];

Fasi successive: Energia cinetica: moltiplichiamo e dividiamo v2 / 2 g per m ottenendo: v2 m / 2 m g; ricordando che la quantità v2 m / 2 non è altro che l'energia cinetica di una massa m che si muove alla velocità v, che la quantità m g non è altro che il peso e vale 1 kgp e che la massa nel sistema pratico si trova come rapporto fra il peso e l'accelerazione di gravità, si ottiene: [v2 / 2 g] = [v2 m / 2 m g] = [v2 P / 2 g P] = [v2 P / g 1] = [(m2 / s2) kgp / (m / s2)] = [kgp m] ;

NOTA BENE: anche le perdite di carico Σ Yi saranno misurate in metri oppure in J.    

SE UNA FORMA DI ENERGIA CRESCE, UN'ALTRA DIMINUISCE. E', questa, una immediata conseguenza del principio di conservazione dell'energia applicato all'idraulica. Vediamo alcuni casi riferiti a due sezioni di una condotta percorsa da un liquido ideale(*), nelle condizioni di validità del teorema di Bernoulli. Nelle figure il verso di percorrenza è da sinistra a destra; la linea dei carichi totali è in rosso; la linea piezometrica è in blu ; tutte le quote vanno prese dall'asse del tubo (*) Nel caso del liquido reale, valgono le stesse considerazioni e quasi le stesse figure, purché si ricordi che la linea dei carichi e la piezometrica sono inclinate verso il basso nel senso del moto.

1) tubo orizzontale, sezione costante: in questo caso le tre forme di energia sono assolutamente costanti lungo la condotta e le linee rappresentative sono entrambe orizzontali (fig. 1); Linea piezometrica Carichi totali figura 1 Verso di percorrenza 1 2 infatti: z1 = z2;       v12 / 2 g = v22 / 2 g       essendo       v1 = v2;       quindi       p1 / g = p2 / g.

2) tubo orizzontale, sezione variabile: in questo caso l'energia cinetica cresce dove il diametro è minore e diminuisce dove il diametro è maggiore, per cui la linea piezometrica assume l'aspetto di una spezzata, più distante dalla linea dei carichi totali (che è sempre e solo orizzontale!) dove il diametro diminuisce, più vicina dove il diametro aumenta (fig. 2); Linea piezometrica Carichi totali figura 2 Verso di percorrenza 3 4 1 2 z1 = z3;    ma     v12 / 2 g > v32 / 2 g  ;  essendo       v1 > v3;    quindi    p1 / g < p3 / g. Il contrario accade fra le sezioni 4 e 2.

3) tubo in salita, sezione costante: in questo caso l'energia cinetica è costante e quindi la linea piezometrica è orizzontale; diminuisce però la sua distanza dall'asse del tubo per cui l'energia di pressione diminuisce di quanto aumenta l'energia potenziale. Possiamo scrivere infatti (fig. 3): Carichi totali figura 3 Linea piezometrica Verso di percorrenza 1 2 z1 < z2;       v12 / 2 g = v22 / 2 g       essendo       v1 = v2;       quindi       p1 / g > p2 / g. L'aumento di quota si è verificato a spese della pressione.

4) tubo in salita, sezione variabile: in questo caso (come nel caso 2) l'energia cinetica cresce dove il diametro è minore e diminuisce dove il diametro è maggiore, per cui la linea piezometrica assume l'aspetto di una spezzata, più distante dalla linea dei carichi totali dove il diametro diminuisce, più vicina dove il diametro aumenta ; inoltre (come nel caso 3) diminuisce la sua distanza dall'asse del tubo per cui l'energia di pressione diminuisce di quanto aumenta l'energia potenziale. Possiamo scrivere quindi (fig. 4): Carichi totali figura 4 Linea piezometrica Verso di percorrenza 3 4 2 1 z1 < z3; v12 / 2 g > v32 / 2 g       essendo       v1 > v3;    quindi       p1 / g > p3 / g. Il contrario accade fra le sezioni 4 e 2. Per effetto della diminuzione della velocità, fra le sezioni 3 e 4 si ha un recupero parziale di pressione.

5) tubo in discesa, sezione costante: in questo caso (come nel caso 3) l'energia cinetica è costante e quindi la linea piezometrica è orizzontale; aumenta però la sua distanza dall'asse del tubo per cui l'energia di pressione aumenta di quanto diminuisce l'energia potenziale (l'inverso del caso 3). Possiamo scrivere infatti (fig. 5): Linea piezometrica Carichi totali figura 5 Verso di percorrenza 1 2 z1 > z2;        v12 / 2 g = v22 / 2 g       essendo       v1 = v2;        quindi       p1 / g < p2 / g. La diminuzione di quota si è trasformata in aumento di pressione.

6) tubo in discesa, sezione variabile: in questo caso (come nel caso 2) l'energia cinetica cresce dove il diametro è minore e diminuisce dove il diametro è maggiore, per cui la linea piezometrica assume l'aspetto di una spezzata, più distante dalla linea dei carichi totali dove il diametro diminuisce, più vicina dove il diametro aumenta; però (come nel caso 5) aumenta la sua distanza dall'asse del tubo per cui l'energia di pressione aumenta di quanto diminuisce l'energia potenziale. Possiamo scrivere quindi (fig. 6): Linea piezometrica Carichi totali figura 6 Verso di percorrenza 3 4 1 2 z1 > z3;        v12 / 2 g > v32 / 2 g       essendo       v1 > v3;      quindi:  p1 / g < p3 / g. Il contrario accade fra le sezioni 4 e 2. Per effetto della diminuzione della velocità, fra le sezioni 3 e 4 si ha un ulteriore aumento di pressione.

E' questo uno dei teoremi fondamentali dell'idraulica moderna, insieme a quello di Bernoulli. Il teorema vale però solo in regime permanente, cioè se non ci sono variazioni nel tempo di nessuno dei parametri. E' ovvio infatti che se per esempio la pompa di servizio accelera e decelera continuamente, fornisce quantità variabili di energia e quindi la portata e tutto il resto varia di conseguenza. Se conosciamo la legge di variazione dell'energia comunicata dalla pompa al liquido, possiamo ancora studiare il moto del liquido, ma certo con grandi complicazioni matematiche. Supponiamo di avere una condotta non deformabile percorsa da un liquido incomprimibile(*) in regime permanente. Supponiamo anche che non ci siano, nella parte in esame, né ingressi o uscite di liquido, né variazioni di temperatura. La condotta sia costituita di tre tronchi di diametri D1, D2 e D3, come in figura. (*) Incomprimibile vuol dire con volume costante qualunque sia la pressione. Il compressore è una macchina che produce la variazione di volume dei gas

LA PORTATA: definizione la portata volumetrica qv è il volume di liquido, da esprimere in m3 / s, che attraversa la sezione; la portata ponderale qp è il peso(**) di liquido, da esprimere in kgp / s, che attraversa la sezione; la portata massica qm è la massa di liquido, da esprimere in kgm / s, che attraversa la sezione. (**) Ponderale viene dal latino "pondus" che appunto vuol dire "peso".

Nelle ipotesi dette all'inizio è ovvio che: tutto il liquido che entra nella sezione 1 deve passare per la sezione 2 e uscire dalla sezione 3 nello stesso tempo, essendo il regime permanente(***). (***) Vedi in analogia il problema del muro di Fourier in Termodinamica

E quindi: q1 = q2 = q3 Noi adopereremo sempre e solo la portata volumetrica e la indicheremo semplicemente con q, senza nessun pedice. Sez. 1 Sez. 2 Sez. 3

LA PORTATA: espressione qv = q = V / t = A * h / t = A * v essendo V il volume che attraversa la sezione nel tempo t, e quindi esprimibile con il prodotto fra l'area A della sezione e una altezza h; il rapporto h / t non è altro che la velocità media(****) del liquido e quindi si ottiene l'espressione q = A * v. Tenendo conto della costanza della portata nelle tre sezioni si può scrivere che : q = A1 v1 = A2 v2 = A3 v3 = costante Questo risultato ci assicura che quando la sezione cresce la velocità diminuisce e viceversa. Nella situazione in figura la velocità massima è v3 nella sezione 3 e quella minima è v2 nella sezione 2. (****) La velocità varia da punto a punto della sezione per effetto della viscosità

NOTA BENE: la portata, e quindi la velocità, dipende dalla suddivisione dell'energia iniziale posseduta dal liquido fra potenziale, di pressione e cinetica, come detto dal teorema di Bernoulli.