Equazioni differenziali Applicazioni Economiche Facoltà di Economia Equazioni differenziali Lineari ed Applicazioni Economiche LEZIONE 2 prof. Beatrice Venturi matematica per economisti Beatrice Venturi

EQUAZIONI DIFFERENZIALI APPLICAZIONI ECONOMICHE LINEARI APPLICAZIONI ECONOMICHE matematica per economisti Beatrice Venturi Matematica per economisti Beatrice Venturi

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI Questo tipo di equazioni si presenta nella seguente forma: La formula che consente di determinare la soluzione generale è la seguente : matematica per economisti Beatrice Venturi

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI Esempi matematica per economisti Beatrice Venturi

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI Consideriamo il seguente problema a valori iniziali: y′-xy=0 y(0)=1 matematica per economisti Beatrice Venturi

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI [Plot] matematica per economisti Beatrice Venturi

Diapositiva sommario ESEMPIO ECONOMICO Modello di crescita di Domar matematica per economisti Beatrice Venturi

matematica per economisti Beatrice Venturi Diapositiva sommario dove la propensione al risparmio s(t) è ipotizzata variabile nel tempo matematica per economisti Beatrice Venturi

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI Equazioni differenziali lineari: omogenee a coefficienti non costanti Esempio matematica per economisti Beatrice Venturi

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI matematica per economisti Beatrice Venturi

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI Abbiamo ottenuto l’integrale generale associato all’equazione omogenea (1). matematica per economisti Beatrice Venturi

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI Equazioni differenziali lineari: non omogenee a coefficienti non costanti matematica per economisti Beatrice Venturi

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI Moltiplichiamo entrambi i termini per: matematica per economisti Beatrice Venturi

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI matematica per economisti Beatrice Venturi

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI INTEGRALE GENERALE DELLA (2) matematica per economisti Beatrice Venturi

matematica per economisti Beatrice Venturi IL PROBLEMA DI CAUCHY Data un'equazione differenziale di ordine n, la richiesta di determinare l'integrale particolare che soddisfi n equazioni iniziali del tipo : matematica per economisti Beatrice Venturi

matematica per economisti Beatrice Venturi sono valori assegnati, viene denominato problema di Cauchy. matematica per economisti Beatrice Venturi

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE Questo tipo di equazioni possono essere classificate in: omogenee; lineari non omogenee (1° e 2° caso); matematica per economisti Beatrice Venturi

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE Equazioni differenziali lineari: non omogenee a coefficienti costanti l’equazione omogenea ad essa associata è matematica per economisti Beatrice Venturi

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE Ipotizziamo la soluzione di questa del tipo matematica per economisti Beatrice Venturi

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE sostituendo l’espressione in parentesi prende il nome di polinomio caratteristico matematica per economisti Beatrice Venturi

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE Caso a) se le radici sono distinte l’integrale generale della equazione omogenea ha la seguente forma dove sono due costanti arbitrarie. matematica per economisti Beatrice Venturi

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE Caso b) se le radici sono coincidenti l’integrale generale della equazione omogenea ha la seguente forma dove sono due costanti arbitrarie matematica per economisti Beatrice Venturi

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE Caso c) se le radici , sono complesse coniugate l’integrale generale della equazione omogenea ha la seguente forma dove la forma reale si ricava utilizzando il teorema di Eulero matematica per economisti Beatrice Venturi

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE Esempi Integrale generale della omogenea matematica per economisti Beatrice Venturi

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EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE Da cui l’integrale particolare e quello generale matematica per economisti Beatrice Venturi

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE Problema di Cauchy matematica per economisti Beatrice Venturi

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE x(t)= matematica per economisti Beatrice Venturi

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matematica per economisti Beatrice Venturi BIBLIOGRAFIA M. KLINE : “Storia del pensiero matematico”. DIRKSJ.STRUIK : “Matematica : un profilo storico”. COURANT/ROBBINS : “Che cos’è la matematica”. BENCINI/GERONIMO : “Il pensiero matematico”. DODERO/BARONCINI : “Itinerari di matematica”. Volumi annuali dell'Enciclopedia Britannica. matematica per economisti Beatrice Venturi