Esercitazione di Matematica PREPOST Esercitazione di Matematica

ALGEBRA

A. Non si può determinare B. a C. -a D. 2a+1 E. a2 Esercizio 1 x e y sono due numeri naturali tali che la loro somma dà un numero a e x è il successivo di y. Quanto vale x2-y2? A. Non si può determinare B. a C. -a D. 2a+1 E. a2

RISPOSTA B 𝑥+𝑦=𝑎 𝑥+𝑦=𝑎 𝑥=𝑦+1 𝑥−𝑦=1 𝑥 2 − 𝑦 2 = 𝑥−𝑦 𝑥+𝑦 =1∙𝑎=𝑎 Soluzione esercizio 1 𝑥+𝑦=𝑎 𝑥=𝑦+1 𝑥+𝑦=𝑎 𝑥−𝑦=1 𝑥 2 − 𝑦 2 = 𝑥−𝑦 𝑥+𝑦 =1∙𝑎=𝑎 RISPOSTA B

Esercizio 2 Riccardo possiede N biglie. Se ne avesse il triplo ne avrebbe 6 in meno della sua amica Silvia che ne ha 18. Quanto vale N? A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 E. 24

RISPOSTA A Traducendo il testo in un’equazione si ottiene: 3𝑁=18−6 Soluzione esercizio 2 Traducendo il testo in un’equazione si ottiene: 3𝑁=18−6 3𝑁=12→𝑁=4 RISPOSTA A

Esercizio 3 Se un terzo di un numero è uguale a 3 più un quarto del numero stesso, qual è il numero? A. 3 B. 9 C. 12 D. 24 E. 36

Soluzione esercizio 3 1 3 𝑥=3+ 1 4 𝑥 4𝑥=36+3𝑥 →𝑥=36 RISPOSTA E

Esercizio 4 Quale tra i seguenti grafici rappresenta la funzione |f(|x|)| sapendo che f(x)=log? Fig.1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5

Soluzione esercizio 4 RISPOSTA E (figura 5)

Risolvere l’equazione 𝒙−𝟐 =𝟑. Esercizio 5 Risolvere l’equazione 𝒙−𝟐 =𝟑. A. x=5 B. x=1 C. x=-1 D. x=5 e x=-1 E. x=-2

RISPOSTA D 𝑥−2 = 𝑥−2 𝑠𝑒 𝑥−2≥0 − 𝑥−2 𝑠𝑒 𝑥−2<0 𝑥−2≥0 𝑥−2=3 → 𝑥≥2 𝑥=5 Soluzione esercizio 5 𝑥−2 = 𝑥−2 𝑠𝑒 𝑥−2≥0 − 𝑥−2 𝑠𝑒 𝑥−2<0 𝑥−2≥0 𝑥−2=3 → 𝑥≥2 𝑥=5 𝑥−2<0 −𝑥+2=3 → 𝑥<2 𝑥=−1 𝑥=5 𝑒 𝑥=−1 RISPOSTA D

GEOMETRIA

Esercizio 1 Si consideri un quadrato con lato pari a 2. Su ogni lato del quadrato si costruisca un semicerchio avente per base il lato del quadrato stesso, come in figura. Qual è l’area della figura così ottenuta? A. 2+4π B. 2-4π C. 4+8π D. 4+2π E. 8-4π

RISPOSTA D Area del quadrato: 2∙2=4 Soluzione esercizio 1 Area del quadrato: 2∙2=4 Area di ogni semicerchio: 𝜋𝑟 2 2 → 𝜋 2 𝑟=1 Area totale: 4+4∙ 𝜋 2 =4+2𝜋 RISPOSTA D

C. Quando i tre punti sono allineati opportunamente Esercizio 2 Quando tre punti A, B, C del piano verificano la seguente condizione: «La somma delle distanze di A da B e di A da C è uguale alla distanza tra B e C»? A. Mai B. Sempre C. Quando i tre punti sono allineati opportunamente D. Quando A appartiene all’ellisse di cui B e C sono i fuochi E. Quando i tre punti sono i vertici di un opportuno triangolo isoscele

Soluzione esercizio 2 Se i tre punti sono allineati e il punto A appartiene al segmento di estremi B e C. B A C RISPOSTA C

La tangente a una circonferenza in un punto P: Esercizio 3 La tangente a una circonferenza in un punto P: A. è parallela al raggio passante per P B. è ortogonale al raggio passante per P C. forma un angolo qualunque col raggio passante per P D. taglia la circonferenza secondo una corda E. nessuna delle precedenti

Soluzione esercizio 3 RISPOSTA B

Esercizio 4 Due sfere hanno raggio l’uno il triplo dell’altro. Quante volte è maggiore il volume della sfera di raggio maggiore rispetto all’altro? A. 3 B. π C. 9 D. 3π E. 27

RISPOSTA E Volume della sfera: 𝑉= 4 3 𝜋 𝑟 3 Soluzione esercizio 4 Volume della sfera: 𝑉= 4 3 𝜋 𝑟 3 𝑉 ′ = 4 3 𝜋 3𝑟 3 = 4 3 𝜋∙27 𝑟 3 =27∙ 4 3 𝜋 𝑟 3 =27∙𝑉 RISPOSTA E

PROBABILITÀ e STATISTICA

Teorema delle probabilità totali Teorema delle probabilità composte Siano E ed F due eventi incompatibili; la probabilità che si verifichi E oppure F è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi. Siano E ed F due eventi indipendenti; la probabilità che essi si verifichino contemporaneamente è data dal prodotto delle probabilità dei singoli eventi.

E. Non ci sono palline gialle Esercizio 1 Un’urna contiene 12 palline, alcune bianche e altre azzurre. È possibile che vi siano anche palline gialle ma non è sicuro. Sapendo che la probabilità di estrarre a caso dall’urna una pallina bianca oppure una azzurra sono rispettivamente ¾ e ¼, indicare se vi sono anche palline gialle e, in caso affermativo il loro numero. A. 2 B. 3 C. 1 D. 5 E. Non ci sono palline gialle

Soluzione esercizio 1 RISPOSTA E

E. 0; Sara deve mangiare un cioccolatino fondente Esercizio 2 Una scatola contiene 12 cioccolatini: 4 sono fondenti e 8 al latte. Sara estrae tre cioccolatini a caso dalla scatola, uno dopo l’altro. Qual è la probabilità che i tre cioccolatini estratti da Sara siano al latte? A. 3/12 B. 12/55 C. 7/11 D. 14/55 E. 0; Sara deve mangiare un cioccolatino fondente

RISPOSTA D Prima estrazione: 8 12= 2 3 Seconda estrazione: 7 11 Soluzione esercizio 2 Prima estrazione: 8 12= 2 3 Seconda estrazione: 7 11 Terza estrazione: 6 10= 3 5 𝑃= 2 3 ∙ 7 11 ∙ 3 5 = 14 55 RISPOSTA D

Esercizio 3 Giulia ed Elisa stanno giocando con due dadi. Qual è la probabilità di ottenere un punteggio minore o uguale a 4 lanciando i due dadi contemporaneamente? A. 1/12 B. 1/6 C. 1/2 D. 1/18 E. 1/9

RISPOSTA B Casi favorevoli: 6 Casi possibili: 36 𝑃= 6 36 = 1 6 Soluzione esercizio 3 1° dado 2° dado Somma 1 2 3 4 Casi favorevoli: 6 Casi possibili: 36 𝑃= 6 36 = 1 6 RISPOSTA B

Esercizio 4 Giulia ed Elisa continuano il loro gioco con i due dadi. Questa volta decidono però di calcolare quante possibilità ci sono di ottenere lo stesso numero su entrambi i dadi lanciandoli sempre contemporaneamente. A. 1 su 6 B. 1 su 12 C. 1 su 24 D. 1 su 36 E. 1 su 30

Soluzione esercizio 4 Probabilità che esca su entrambi i dadi un numero fissato: 1 6 ∙ 1 6 = 1 36 Numeri su ogni dado: 6 (6 possibili coppie) 𝑃= 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 = 1 6 RISPOSTA A