Statistica economica (6 CFU) Corso di Laurea in Economia e Commercio a.a. 2012-2013 Docente: Lucia Buzzigoli Lezione 9

Memoria di un MA(1) Al tempo t l’innovazione at entra nel modello: Zt = at - 1at-1 In t+1 si ha: Zt+1 = at+1 - 1at  at agisce anche su Zt+1 In t+2 si ha: Zt+2 = at+2 - 1at+1  at non influisce su Zt+2 (né su Zt+3 , Zt+4 , ecc.) La memoria del modello MA(1) si limita ad un lag (cfr. acf).

MODELLO MA(q) Zt = ( 1 - 1B - … - qBq )at at  WN(0, 2a) Sempre stazionario Invertibile se tutte le radici del polinomio caratteristico (B)= 1 - 1B - … - qBq sono in modulo maggiori di 1: |Bi|>1 i=1, 2, …, q La f.a.c. si tronca per k>q La f.a.c.p. non si annulla mai ma tende velocemente a 0 Se le condizioni di invertibilità sono soddisfatte MA(q)  AR()

QUALI CARATTERISTICHE HA MODELLO AR(1) (B) = 1 - 1B Zt ( 1 - 1B ) = at Zt = 1 Zt-1 + at at  WN(0, 2a) Con la costante il modello diviene più generale: Zt = c+ 1 Zt-1 + at QUALI CARATTERISTICHE HA UN MODELLO AR(1) ? è stazionario? è invertibile?

INVERTIBILITÀ STAZIONARIETÀ Il modello AR(1) è invertibile per definizione. STAZIONARIETÀ La condizione di stazionarietà è soddisfatta solo quando |1| < 1 (non lo dimostriamo). Analogamente al caso delle condizioni di invertibilità dell’MA(1), anche qui conviene esprimere la condizione di stazionarietà con la radice del polinomio caratteristico: |B| > 1.

MOMENTI DI UN AR(1) (ricavati sotto l’ipotesi di stazionarietà) MEDIA  = E(Zt)= E(c+ 1 Zt-1 + at) = E(c) + 1 E(Zt-1) + E(at) = c + 1 E(Zt) + 0 E(Zt)= c + 1 E(Zt)  E(Zt) - 1 E(Zt) = c (1- 1) E(Zt) = c E(Zt) = c/(1- 1) N.B.: E(Zt-1)= E(Zt)=  per la stazionarietà

VARIANZA Var(Zt) = E(Zt- )2 Dato che  = c/(1- 1)  c= (1- 1) si ha Zt = c+ 1 Zt-1 + at  Zt = (1- 1) + 1 Zt-1 + at da cui: Zt -  = 1 (Zt-1- ) + at  (Zt - )2 = 21 (Zt-1- )2 + a2t + 2 1(Zt-1- )at Di conseguenza: E (Zt - )2 = 21 E(Zt-1- ) 2 + E(a2t)+ 2 1E[(Zt-1- ) at] (1- 21) E (Zt - )2 = 2a + 0 var(Zt) = 0 = 2a / (1- 21) N.B.: E(Zt - )2 = E(Zt-1- )2= var(Zt) per la stazionarietà

AUTOCOVARIANZA 1 = E(Zt- ) (Zt-1- ) Per quanto visto prima Zt -  = 1 (Zt-1- ) + at Di conseguenza, per k0: 1 = E [1 (Zt-1- ) + at ] (Zt-1- ) = =1 E[(Zt-1- ) (Zt-1- )] + E[ (Zt-1- ) at] = 1E(Zt-1- )2 + 0  1 = 1 0  1 = 1 2 / (1- 21)

In generale: k = E(Zt- ) (Zt-k- ) = E [1 (Zt-1- ) + at ](Zt-k- ) = = E [1 (Zt-1- )(Zt-k- )]+ E [at(Zt-k- )] + = 1 E[(Zt-1- )(Zt-k- )]+ 0 = 1 k-1  k = 1 k-1 = 1(1 k-2) = … = 1k 0

AUTOCORRELAZIONE ρ1 = 1/ 0 = 1 0 / 0 = 1 ρ1 = 1/ 0 = 1 0 / 0 = 1 ρk = k / 0 = (1  k-1 )/ 0 = 1 ρk-1= 1 (1 ρk-2 )=…= 1k Dato che |1 |<1 (per la stazionarietà) la funzione di autocorrelazione non si annulla mai, ma decade esponenzialmente a 0. L’andamento del correlogramma di un AR(1) può presentare soltanto due tipi di andamento, a seconda del segno di 1 . La f. di a.c. parziale si tronca per k >1 .

0< 1 <1 -1 < 1 <0

Memoria di un AR(1) Al tempo t l’innovazione at entra nel modello: Zt = 1 Zt-1 + at In t+1 si ha: Zt+1 = 1 Zt +at+1  Zt+1 = 1 (1 Zt-1 + at )+at+1 = 12 Zt-1 + 1 at +at+1 at agisce anche su Zt+1 (con peso 1) In t+2 si ha: Zt+2 = 1 Zt+1 +at+2 Zt+2 = 1 (12 Zt-1 + 1 at +at+1 )+at+2 = 13 Zt-1 + 12 at + 1 at+1 +at+2 at influisce su Zt+2 (con peso 12 ) e anche su Zt+3 , Zt+4 , ecc. La memoria del modello AR(1) non si esaurisce mai, ma segue la struttura dell’acf.

MODELLO AR(p) ( 1 -  1B - … -  pBp ) Zt =at at  WN(0, 2a) Sempre invertibile Stazionario se tutte le radici del polinomio caratteristico (B)= 1 -  1B - … -  pBp sono in modulo maggiori di 1: |Bi|>1 i=1, 2, …, p La f.a.c. non si annulla mai ma tende velocemente a 0 La f.a.c. si tronca per k>p Se le condizioni di stazionarietà sono soddisfatte AR(p)  MA()

MODELLO ARMA(p,q) (B)  (B)/ (B) (B) = 1 - 1B - 2B2 - … qBq (B) = 1 - 1B - 2B2 - … pBp (p,q) = ordine del modello. Zt = [(B)/ (B)] at (B) Zt = (B) at Zt - 1 Zt-1 - … p Zt-p = at - 1at-1 - … qat-q

MODELLO ARMA(p,q) Invertibile se tutte le radici del polinomio caratteristico (B)= 1 - 1B - … - qBq sono in modulo maggiori di 1: |Bi|>1 i=1, 2, …, q Stazionario se tutte le radici del polinomio caratteristico (B)= 1 -  1B - … -  pBp sono in modulo maggiori di 1: |Bi|>1 i=1, 2, …, p La f.a.c. non si annulla mai ma tende velocemente a 0 Se le condizioni di invertibilità sono soddisfatte ARMA(p,q)  AR() Se le condizioni di stazionarietà sono soddisfatte ARMA(p,q)  MA()

All’aumentare dell’ordine i possibili andamenti dei correlogrammi diventano numerosi. Per avere un’idea delle varie tipologie di correlogrammi totali e parziali nei casi più semplici di modelli MA, AR e ARMA si consultino le prime pagine della dispensa dal titolo «Correlogrammi teorici di particolari modelli ARMA e ARIMA» disponibile alla pagina web http://local.disia.unifi.it/buzzigoli/statistica-economica1/materiale-didattico-SE1.htm

DUALITÀ MA/AR le condizioni di stazionarietà di un MA sono equivalenti a quelle di invertibilità di un AR le condizioni di invertibilità di un MA sono equivalenti a quelle di stazionarietà di un AR I coefficienti di acorr di un MA(r) si comportano come i coefficienti di accor parziale di un AR(r) I coefficienti di acorr parziale di un MA(r) si comportano come i coefficienti di accor di un AR(r) Un AR(p) stazionario può essere espresso come un MA() Un MA(q) invertibile può essere espresso come un AR()