Esercitazione sulla verifica delle ipotesi su un campione di osservazioni

Da studi svolti negli anni ‘50 è emerso che il numero ideale di figli per famiglia è di 3. Nel 1980, ipotizzando una modifica nei costumi e nei modelli nazionali, è stato svolto un sondaggio su un campione di 300 italiani, dal quale risultò che il numero ideale di figli per famiglia era sceso a 2 con una deviazione standard s=0,9. Verificare ad un livello di significatività dell’1% se c’è stata una modifica del modello di famiglia ideale nella popolazione italiana.

Media della popolazione Numerosità del campione Da studi svolti negli anni ‘50 è emerso che il numero ideale di figli per famiglia è di 3. Nel 1980, ipotizzando una modifica nei costumi e nei modelli nazionali, è stato svolto un sondaggio su un campione di 300 italiani, dal quale risultò che il numero ideale di figli per famiglia era sceso a 2 con una deviazione standard s=0,9. Verificare ad un livello di significatività dell’1% se c’è stata una modifica del modello di famiglia ideale nella popolazione italiana. Media del campione Deviazione standard del campione

1° PASSO: Formulazione delle ipotesi La media del campione è uguale alla media della popolazione da cui il campione viene estratto La media del campione è diverso dalla media della popolazione da cui il campione è estratto

2° Passo: Individuazione della statistica media della popolazione è nota Deviazione standard della popolazione non è nota Deviazione standard del campione è nota

3° Passo: calcolo della statistica Calcolo della deviazione standard Calcolo della statistica

0,01/2 = 0,005 0,500 – 0,005 = 0,495 z critico = ±2,58

|zcalcolato|>|zcritico| 5° Passo: Decisione -19,78 --2,58 2,58 |zcalcolato|>|zcritico| RIFIUTIAMO L’IPOTESI NULLA

Ad un campione di 12 bambini dai 4 ai 5 anni viene somministrato un test di vocabolario e si ottengono i seguenti valori: Le norme relative al test di vocabolario riportano un punteggio medio di 95. Verificare l’ipotesi che i bambini testati non differiscono significativamente dalla popolazione generale con un livello di significatività dell’5%.

1° PASSO: Formulazione delle ipotesi La media del campione è uguale alla media della popolazione da cui il campione viene estratto La media del campione è diverso dalla media della popolazione da cui il campione è estratto

2° Passo: Individuazione della statistica media della popolazione nota Deviazione standard della popolazione non è nota Media e Deviazione standard del campione da calcolare

Calcolo della media Calcolo della deviazione standard nel campione

α/2 = 0,05/2 =0,025 Gdl= n-1=12-1 = 11 t critico = ±2,201

|tcalcolato|> |tcritico| 5° Passo: Decisione -2,201 2,201 16,67 |tcalcolato|> |tcritico| RIFIUTIAMO L’IPOTESI NULLA

Esercitazione sulla verifica delle ipotesi su due campioni di osservazioni

Ipotesi sulla media

I dati che seguono si riferiscono a punteggi in un test di memoria di cifre ottenuti da due campioni di studenti: Specificando Ipotesi nulla, Ipotesi alternativa e livello di significatività, verificare se esiste una differenza significativa tra le medie dei due gruppi Campione 1 Campione 2 Media = 20 Media = 18 devStandard = 2,5 devStandard = 5 N = 300 N = 500

1° PASSO: Formulazione delle ipotesi La media della popolazione da cui è estratto il Campione 1 è uguale alla media della popolazione da cui è estratto il campione 2 La media della popolazione da cui è estratto il Campione 1 è diversa dalla media della popolazione da cui è estratto il campione 2

2° Passo: Individuazione della statistica Confronto tra le medie di due campioni indipendenti, con la dev.standard della popolazione non nota e n1 e n2>30

3° Passo: Calcolo della statistica In base all’Ipotesi nulla questa differenza è uguale a 0

4° passo: calcolo del valore critico α=0,05 Ipotesi alternativa bidirezionale α/2=0,05/2 = 0,025 0,500 -0,025 = 0,475 z=±1,96

zcalcolato > zcritico : 7,52 > 1,96 5° passo: decisione zcritico = ±1,96 zcalcolato = 7,52 zcalcolato > zcritico : 7,52 > 1,96 RIFIUTIAMO L’IPOTESI NULLA ed affermiamo che i due campioni provengono da due popolazioni diverse

Uno psicologo sociale ipotizza che la stanchezza provochi una diminuzione della tolleranza alla frustrazione. Per verificare questa ipotesi sottopone una serie di problemi insolubili a due gruppi di studenti così differenziati: GRUPPO 1 “NON STANCHI”: 100 studenti contattati al mattino, prima dell’inizio delle lezioni GRUPPO 2 “STANCHI”: 100 studenti contattati dopo 5 ore di lezione. La variabile dipendente X è il tempo, espresso in secondi, che lo studente ha impiegato per cercare di risolvere i problemi, prima di abbandonare il compito. Un tempo basso indica scarsa tolleranza alla frustrazione, un tempo elevato indica alta tolleranza. I risultati ottenuti sui due campioni sono: Gruppo 1 (non stanchi) Gruppo 2 (stanchi) N= 100 N=100 Media=840 secondi Media= 780 secondi DevStand=120 DevStand=110

1° PASSO: Formulazione delle ipotesi La media della popolazione da cui è estratto il Campione dei “non stanchi” uguale alla media della popolazione da cui è estratto il campione degli “stanchi” La media della popolazione da cui è estratto il Campione dei “non stanchi” è diversa dalla media della popolazione da cui è estratto il campione degli “stanchi”

2° Passo: Individuazione della statistica Confronto tra le medie di due campioni indipendenti, con la dev.standard della popolazione non nota e n1 e n2>30

3° Passo: Calcolo della statistica In base all’Ipotesi nulla questa differenza è uguale a 0

4° passo: calcolo del valore critico α=0,01 Ipotesi alternativa monodirezionale destra α=0,01 0,500 -0,01= 0,49 Z=2,33

zcalcolato > zcritico : 3,67 > 2,33 5° passo: decisione zcritico = 2,33 zcalcolato = 3,67 zcalcolato > zcritico : 3,67 > 2,33 RIFIUTIAMO L’IPOTESI NULLA ed affermiamo che il campione dei “non stanchi” hanno una tolleranza alla frustrazione superiore a quelle del campione dei “stanchi”

Due gruppi di bambini che frequentano la seconda elementare effettuano un compito visuo-percettivo ottenendo i seguenti punteggi: Il gruppo A comprende bambini senza deficit, mentre il gruppo B comprende bambini con deficit visuo- percettivi. Si può accettare ad un livello di significatività dell’1% l’ipotesi che i bambini senza deficit visuo-percettivi presentano risultati superiori? E se il livello di significatività fosse del 5%? Gruppo A 5 8 7 6 4 Gruppo B 3

1° PASSO: Formulazione delle ipotesi La media della popolazione da cui è estratto il Gruppo A è uguale alla media della popolazione da cui è estratto il Gruppo B La media della popolazione da cui è estratto il Gruppo A (bambini senza deficit) è maggiore della media della popolazione da cui è estratto il Gruppo B (Bambini con deficit)

2° Passo: Individuazione della statistica Confronto tra le medie di due campioni indipendenti, con la dev.standard della popolazione non nota e n1 e n2<30

3° Passo: Calcolo della statistica In base all’Ipotesi nulla questa differenza è uguale a 0 Dobbiamo andarci a calcolare la media e la deviazione standard di ogni gruppo!!!!!!!!!!!!!!!!

Gruppo A 5 8 7 6 4 Gruppo B 3

4° passo: calcolo del valore critico α=0,01 Ipotesi alternativa monodirezionale destra α=0,01 Gdl=10+7-2= 15 t=2,602

tcalcolato < tcritico : 2,1 > 2,602 5° passo: decisione tcritico = 2,602 tcalcolato = 2,1 tcalcolato < tcritico : 2,1 > 2,602 ACCETTIAMO L’IPOTESI NULLA ed affermiamo che il test non discrimina tra bambini con deficit visuo-percettivi da quelli senza deficit visuo-percettivi

Se il livello di significatività fosse del 5%?

4° passo: calcolo del valore critico α=0,01 Ipotesi alternativa monodirezionale destra α=0,05 Gdl=10+7-2= 15 t=1,753

tcalcolato > tcritico : 2,1 > 1,753 5° passo: decisione tcritico = 1,753 tcalcolato = 2,1 tcalcolato > tcritico : 2,1 > 1,753 RIFIUTIAMO L’IPOTESI NULLA ed affermiamo che il test discrimina tra bambini con deficit visuo-percettivi da quelli senza deficit visuo-percettivi

Su due campioni indipendenti è stato misurato il “dogmatismo educativo” ottenendo i seguenti risultati: Il campione 1 è costituito da 50 soggetti anziani mentre il campione 2 da 36 soggetti giovani. Specificando l’Ipotesi nulla, alternativa e per un livello di significatività del 5% verificare se esiste una differenza significativa tra il “dogmatismo educativo” degli anziani e quello dei giovani. Campione 1 Campione 2 Media = 124 Media = 120 devStandard = 10,50 devStandard = 12 N = 50 N = 36

1° PASSO: Formulazione delle ipotesi La media della popolazione da cui è estratto il Campione 1 è uguale alla media della popolazione da cui è estratto il campione 2 La media della popolazione da cui è estratto il Campione 1 è diversa dalla media della popolazione da cui è estratto il campione 2

2° Passo: Individuazione della statistica Confronto tra le medie di due campioni indipendenti, con la dev.standard della popolazione non nota e n1 e n2>30

3° Passo: Calcolo della statistica In base all’Ipotesi nulla questa differenza è uguale a 0

4° passo: calcolo del valore critico α=0,05 Ipotesi alternativa bidirezionale α/2=0,05/2 = 0,025 0,500 -0,025 = 0,475 Z=±1,96

|zcalcolato |< |zcritico |: 1,59 < 1,96 5° passo: decisione zcritico = ±1,96 zcalcolato = 1,59 |zcalcolato |< |zcritico |: 1,59 < 1,96 ACCETTIAMO L’IPOTESI NULLA ed affermiamo che il campione 1 non differisce rispetto al “dogmatismo educativo” dal campione 2

(terapia farmacologica) (terapia psicologica) Un medico afferma che soltanto una terapia farmacologica può curare la depressione. Uno psicologo afferma invece che un trattamento psicologico è ugualmente efficace. Qui di seguito sono riportati i dati relativi alla misura dello stato di depressione di due gruppi di pazienti depressi dopo un ugual periodo di terapia, farmacologica per il gruppo 1 e psicologica per il gruppo 2.ù Accettereste l’affermazione del medico ad un livello di significatività del 5% considerando che a punteggi alti corrisponde una depressione grave? Gruppo 1 (terapia farmacologica) Gruppo 2 (terapia psicologica) 105 115 109 103 110 112 125 124 99

1° PASSO: Formulazione delle ipotesi Il trattamento psicologico è ugualmente efficace al trattamento farmacologico nella cura della depressione Il trattamento farmacologico è più efficace del trattamento psicologico

2° Passo: Individuazione della statistica Confronto tra le medie di due campioni indipendenti, con la dev.standard della popolazione non nota e n1 e n2<30

3° Passo: Calcolo della statistica In base all’Ipotesi nulla questa differenza è uguale a 0 Dobbiamo andarci a calcolare la media e la deviazione standard di ogni gruppo!!!!!!!!!!!!!!!!

(terapia farmacologica) (terapia psicologica) Gruppo 1 (terapia farmacologica) Gruppo 2 (terapia psicologica) 105 115 109 103 110 112 125 124 99

4° passo: calcolo del valore critico α=0,05 Ipotesi alternativa monodirezionale sinistra α=0,05 Gdl=5+5-2= 8 t=-1,860

|tcalcolato |< |tcritico |: |0,465| < |1,860| 5° passo: decisione tcritico = -1,860 tcalcolato = 0,465 |tcalcolato |< |tcritico |: |0,465| < |1,860| ACCETTIAMO L’IPOTESI NULLA ed affermiamo che il trattamento psicologico ha la stessa efficacia di quello farmacologico

Si vuole eseguire un esperimento per studiare l’effetto di una piccola lesione in una struttura del cervello in un ratto sull’esecuzione di un compito di discriminazione visiva. A questo scopo vengono formati due gruppi di ratti: uno sperimentale con la lesione ed uno di controllo senza la lesione. Ogni ratto deve risolvere singolarmente una serie di prove di discriminazione visiva. I dati che seguono si riferiscono al numero medio di tentativi impiegati da ciascun ratto prima di superare le prove Per un livello di significatività dell’1% verificare l’ipotesi che la lesione abbia un effetto negativo sulla discriminazione. Gruppo controllo 10 8 16 14 9 Gruppo sperimentale 12 15 11 24 22 13

1° PASSO: Formulazione delle ipotesi La media della popolazione da cui è estratto il gruppo sperimentale è uguale alla media della popolazione da cui è estratto il gruppo di controllo Il numero di tentativi impiegati è uguale nei due gruppi La media della popolazione da cui è estratto il gruppo sperimentale è maggiore della media della popolazione da cui è estratto il gruppo di controllo Il numero di tentativi impiegati dal gruppo sperimentale è maggiore di quello del gruppo di controllo

2° Passo: Individuazione della statistica Confronto tra le medie di due campioni indipendenti, con la dev.standard della popolazione non nota e n1 e n2<30

3° Passo: Calcolo della statistica In base all’Ipotesi nulla questa differenza è uguale a 0 Dobbiamo andarci a calcolare la media e la deviazione standard di ogni gruppo!!!!!!!!!!!!!!!!

Gruppo controllo 10 8 16 14 9 Gruppo sperimentale 12 15 11 24 22 13

4° passo: calcolo del valore critico α=0,01 Ipotesi alternativa monodirezionale destra α=0,01 Gdl=11+7-2= 16 t=2,583

|tcalcolato |< |tcritico |: |0,8| < |2,583| 5° passo: decisione tcritico = 2,583 tcalcolato = 0,8 |tcalcolato |< |tcritico |: |0,8| < |2,583| ACCETTIAMO L’IPOTESI NULLA ed affermiamo che non ci sono differenze significative tra i due gruppi e quindi la lesione in quell’area cerebrale non determina degli effetti sulle capacità discriminative.

A due campioni, uno composto da 28 maschi adulti e l’altro composto da 26 femmine, è stato somministrato un questionario di autoritarismo e si sono ottenuti i seguenti risultati: Verificare l’ipotesi che nella popolazione le femmine sono meno autoritarie dei maschi con un livello di significatività del 5%.

1° PASSO: Formulazione delle ipotesi La media della popolazione da cui è estratto il campione delle femmine è uguale alla media della popolazione da cui è estratto il campione dei maschi La media della popolazione da cui è estratto il campione delle femmine è inferiore alla media della popolazione da cui è estratto il campione dei maschi

2° Passo: Individuazione della statistica Confronto tra le medie di due campioni indipendenti, con la dev.standard della popolazione non nota e n1 e n2<30

3° Passo: Calcolo della statistica In base all’Ipotesi nulla questa differenza è uguale a 0 Dobbiamo andarci a calcolare la media e la deviazione standard di ogni gruppo!!!!!!!!!!!!!!!!

Nel campione delle femmine Nel campione dei maschi

4° passo: calcolo del valore critico α=0,05 Ipotesi alternativa monodirezionale sinistra α=0,05 Gdl=26+28-2 = 52 t=- 1,675

|tcalcolato |> |tcritico |: |3,325| > |1,675| 5° passo: decisione tcritico = -1,675 tcalcolato = -3,325 |tcalcolato |> |tcritico |: |3,325| > |1,675| RIFIUTIAMO L’IPOTESI NULLA ed affermiamo che il punteggio medio dell’autoritarismo nel gruppo delle femmine è significativamente inferiore al punteggio medio dell’autoritarismo nel gruppo dei maschi

Un ricercatore è interessato a verificare l’esistenza di differenze dovute al sesso o all’età nella prestazione ad una prova di riconoscimento di parole stampate presentate tachistoscopicamente. Egli sceglie a caso da alcune scuole 40 bambini (maschi e femmine) di 7 o 9 anni. Ad ognuno di essi presenta 10 parole-stimolo di uguale frequenza e lunghezza, segnando il numero di parole correttamente riconosciute. Verificare se tra i bambini di 7 anni i maschi hanno una prestazione significativamente superiore rispetto alle femmine Verificare tra i bambini di 9 anni se la prestazione al compito è significativamente diversa tra maschi e femmine Verificare indipendentemente dal sesso se la prestazione dei bambini di 9 anni è significativamente superiore a quella dei bambini di 7 anni.

Bambini di 7 anni Bambini di 9 anni Soggetto Sesso Parole riconosciute 1 F 4 21 6 2 22 3 7 23 9 24 5 25 26 27 8 28 29 10 30 11 31 12 32 M 13 33 14 34 15 35 16 36 17 37 18 38 19 39 20 40

Bambini di 7 anni Soggetto Sesso Parole riconosciute 1 F 4 2 6 3 7 5 8 9 10 11 12 13 M 14 15 16 17 18 19 20 Nel campione dei bambini di 7 anni individuiamo due gruppi: GRUPPO 1: bambini di 7 anni di sesso maschile GRUPPO 2: bambini di 7 anni di sesso femminile Verificare se tra i bambini di 7 anni i maschi hanno una prestazione significativamente superiore rispetto alle femmine

1° PASSO: Formulazione delle ipotesi La media della popolazione dei bambini di 7 anni da cui è estratto il campione dei maschi è uguale alla media della popolazione da cui è estratto il campione delle femmine La media della popolazione dei bambini di 7 anni da cui è estratto il campione dei maschi è maggiore della media della popolazione da cui è estratto il campione delle femmine

2° Passo: Individuazione della statistica Confronto tra le medie di due campioni indipendenti, con la dev.standard della popolazione non nota e n1 e n2<30

3° Passo: Calcolo della statistica In base all’Ipotesi nulla questa differenza è uguale a 0 Dobbiamo andarci a calcolare la media e la deviazione standard di ogni gruppo!!!!!!!!!!!!!!!!

Bambini di 7 anni Soggetto Sesso Parole riconosciute 1 F 4 2 6 3 7 5 8 9 10 11 12 13 M 14 15 16 17 18 19 20

4° passo: calcolo del valore critico α=0,01 Ipotesi alternativa monodirezionale destra α=0,01 Gdl=12+8-2= 18 t=2,552

|tcalcolato |< |tcritico |: |1,51| < |2,552| 5° passo: decisione tcritico = 2,552 tcalcolato = 1,51 |tcalcolato |< |tcritico |: |1,51| < |2,552| ACCETTIAMO L’IPOTESI NULLA ed affermiamo che tra i bambini di 7 anni non esiste differenza significativa tra la prestazione dei maschi e delle femmine

Bambini di 9 anni Soggetto Sesso Parole riconosciute 21 F 6 22 23 9 24 5 25 7 26 27 8 28 29 30 31 32 M 33 4 34 35 36 37 38 39 40 Nel campione dei bambini di 7 anni individuiamo due gruppi: GRUPPO 3: bambini di 9 anni di sesso maschile GRUPPO 4: bambini di 9 anni di sesso femminile Verificare tra i bambini di 9 anni se la prestazione al compito è significativamente diversa tra maschi e femmine

1° PASSO: Formulazione delle ipotesi La media della popolazione dei bambini di 9 anni da cui è estratto il campione dei maschi è uguale alla media della popolazione da cui è estratto il campione delle femmine La media della popolazione dei bambini di 9 anni da cui è estratto il campione dei maschi è diversa dalla media della popolazione da cui è estratto il campione delle femmine

2° Passo: Individuazione della statistica Confronto tra le medie di due campioni indipendenti, con la dev.standard della popolazione non nota e n1 e n2<30

3° Passo: Calcolo della statistica In base all’Ipotesi nulla questa differenza è uguale a 0 Dobbiamo andarci a calcolare la media e la deviazione standard di ogni gruppo!!!!!!!!!!!!!!!!

Bambini di 9 anni Soggetto Sesso Parole riconosciute 21 F 6 22 23 9 24 5 25 7 26 27 8 28 29 30 31 32 M 33 4 34 35 36 37 38 39 40

4° passo: calcolo del valore critico α=0,01 Ipotesi alternativa bidirezionale α=0,01/2= 0,005 Gdl=11+9-2 = 18 t=±2,878

|tcalcolato |< |tcritico |: |0,277| < |2,878| 5° passo: decisione tcritico = ±2,878 tcalcolato = -0,277 |tcalcolato |< |tcritico |: |0,277| < |2,878| ACCETTIAMO L’IPOTESI NULLA ed affermiamo che tra i bambini di 9 anni non esiste differenza significativa tra la prestazione dei maschi e delle femmine

Verificare indipendentemente dal sesso se la prestazione dei bambini di 9 anni è significativamente superiore a quella dei bambini di 7 anni. Il gruppo dei bambini di 7 anni è dato dalla somma gruppo 1 + gruppo 2 Il gruppo dei bambini di 9 anni è dato dalla somma gruppo 3 + gruppo 4

1° PASSO: Formulazione delle ipotesi La media della popolazione dei bambini di 7anni da cui è estratto il campione è uguale alla media della popolazione dei bambini di 9 anni da cui è estratto il campione La media della popolazione dei bambini di 7 anni da cui è estratto il campione è inferiore alla media della popolazione dei bambini di 9 anni da cui è estratto il campione

Bambini di 7 anni Bambini di 9 anni Soggetto Sesso Parole riconosciute 1 F 4 21 6 2 22 3 7 23 9 24 5 25 26 27 8 28 29 10 30 11 31 12 32 M 13 33 14 34 15 35 16 36 17 37 18 38 19 39 20 40

3° passo: calcolo della statistica

4° passo: calcolo del valore critico α=0,01 Ipotesi alternativa monodirezionale sinistra α=0,01 t=-2,429 Gdl=20+20-2= 38

|tcalcolato |> |tcritico |: |3,84| < |2,429| 5° passo: decisione tcritico = -2,429 tcalcolato = -3,84 |tcalcolato |> |tcritico |: |3,84| < |2,429| RIFIUTIAMO L’IPOTESI NULLA ed affermiamo che tra i bambini di 7 e di 9 anni esiste una differenza significativa per cui i bambini di 7 anni riconoscono in media meno parole dei bambini di 9 anni