CALCOLO DELLE PROBABILITÀ poche semplici idee per ragionare sull’incerto Università della LiberEtà Trifiletti Giuseppina

il concetto di probabilità è sofisticato, complesso e sfuggente QUATTRO DEFINIZIONI DI PROBABILITÀ e ancora un ampio dibattito in corso a)       definizione classica b)       definizione frequentista c)       definizione assiomatica d)       definizione soggettivista il concetto di probabilità è sofisticato, complesso e sfuggente

Definizione classica: probabilità = numero casi favorevoli / numero casi possibili, sotto l’ipotesi che i casi possibili siano valutati tutti “equipossibili”, o “equiprobabili”. Definizione frequentista (o statistica): probabilità = frequenza relativa, calcolata su di un numero “sufficientemente elevato” di prove.  

Critica alla definizione classica Circolo vizioso nella definizione di probabilità Nella definizione di probabilità viene usato il termine equiprobabile, che chiama in causa proprio ciò che si intende definire. La "definizione" manca di un criterio, che permetta di stabilire quando due casi debbano essere considerati "ugualmente facili (o probabili)“. Una tale regola, in effetti, è impossibile da enunciare senza ricorrere a circoli viziosi. La decisione se due casi siano da considerare o meno equipossibili è lasciata alla valutazione soggettiva delle persone coinvolte. Diventa un fatto sociale.

- è applicabile ai giochi (dadi, carte, urne) ma non a quei casi in cui non ha senso indicare casi possibili e favorevoli. Per esempio: qual è la probabilità che prima di una determinata data il prezzo della benzina verrà aumentato? - è impossibile calcolare la probabilità di: una moneta non simmetrica, la morte di una persona prima di una determinata età, trovare un pezzo difettoso nella produzione di 1 anno …

Definizione assiomatica (Kolmogorov, 1933): non si preoccupa di stabilire “cos’è” la probabilità, ma solo di definirla implicitamente tramite un insieme di assiomi.

Definizione soggettivista (De Finetti 1931): La probabilità è il grado di fiducia che un individuo “coerente”, in base alle proprie informazioni, assegna a un evento. Si intende per "individuo coerente" chi con la probabilità si comporta: - in modo da assegnare 0 agli eventi impossibili; - in modo da assegnare 1 agli eventi certi; - in modo da assegnare valori da 0 a 1a tutti quegli eventi che ritiene variamente probabili.

Ancora sulla definizione soggettivista Per questa definizione, l’equiprobabilità è un’ipotesi, nel senso che se sono disposto a scommettere una cifra, che considero equa, su un determinato evento e se sono anche disposto a scommettere la stessa cifra su un altro evento, allora i due eventi sono equiprobabili. La cifra è considerata equa se sono disposto a scambiarmi con il banco, quello contro il quale scommetto.

Un approccio matematico rigoroso alla teoria della probabilità è quello assiomatico, perché rende esplicite tutto ciò che diamo per buono, tutte le ipotesi sottese, nascoste 

è quello soggettivista Un approccio onesto alla teoria della probabilità è quello soggettivista

In queste diapositive si prende in considerazione la definizione classica e si fa cenno a quella frequentista. La “legge empirica del caso”, come vedremo, permette di passare da una visione classica ad una visione frequentista.

ORA risolviamo problemi Qual è la probabilità che esca una qualsiasi delle possibili somme dei numeri di due facce al lancio di due dadi?

PROBABILITÀ TEORICA 6/36 5/36 5/36 5/36 PROBABILITÀ 4/36 4/36 PROBABILITÀ 3/36 3/36 2/36 2/36 1/36 1/36 SOMME DELLE DUE FACCE Usando the counting multiplication principle: 6 possibili scelte per una faccia e per ognuna di queste 6 possibili scelte per l’altra faccia, quindi 6x6=36 possibili uscite.

Probabilità teorica

Probabilità sperimentale 50 Percent per 100 lanci 2x2=4 4x2=8 3x2=6 5x2=10 7x2=14 8x2=16 9x2=18 0x2=0

La legge empirica del caso La frequenza relativa di un evento tende a stabilizzarsi all'aumentare del numero delle prove Si constata poi che, quando si ripete per "molte" volte una prova, la frequenza di un esito, cioè il rapporto si avvicina "molto" alla probabilità a priori di quell'esito, calcolata tramite il rapporto A questa "legge", la cui validità è rilevabile sperimentalmente, si è attribuito il nome di "legge empirica del caso".

La legge dei grandi numeri Se E è un evento e p è la sua probabilità di successo, cioè la probabilità del verificarsi di E in una prova, allora la frequenza relativa dei successi in n prove, se il numero di prove effettuate è sufficientemente grande, si avvicinerà sempre più alla probabilità di successo nella singola prova, via via che n cresce. Questo teorema, formulato da Jakob Bernoulli (1654-1705), fornisce una possibile giustificazione della legge empirica del caso, secondo la quale la frequenza relativa di un evento tende a stabilizzarsi all'aumentare del numero delle prove.

La legge dei grandi numeri La legge dei grandi numeri stabilisce il comportamento asintotico della frequenza relativa e non dice nulla sulla possibilità di successo di una singola prova condizionata a quelle precedenti (che resta sempre p); quindi, questa legge non dice che l'osservazione di 10 teste aumenta la probabilità che venga croce all'undicesima prova. Questo è l'errore più comune dei giocatori d'azzardo, che scommettono sull'evento che non si verifica da più tempo, convinti che, per questo esso si debba verificare con una maggiore probabilità.

La legge dei grandi numeri Il caso non ha memoria Il limite a cui tende il rapporto (quello tra gli esiti favorevoli a un certo evento e la totalità degli esiti) non impedisce che da un certo lancio in poi si ottenga una sequenza di moltissime teste o moltissime croci, data la natura casuale del fenomeno. Indipendentemente dalla storia del fenomeno, ad ogni lancio la probabilità che esca testa è la stessa: 1/2

La legge dei grandi numeri Tratto dal sito www.torinoscienza.it/ Dove avviene l’errore del giocatore? Nel travisare la frase che dice “all’aumentare del numero di prove” con la frase “dopo un elevato numero di prove”. Ecco allora che se, per esempio, esce 9 volte di seguito ‘testa’, al decimo lancio il “ritardologo” crederà sia più probabile l’uscita ‘croce’. Il comportamento della moneta appare bizzarro ed è quindi facile pensare che la faccia con la ‘croce’ abbia un diritto di rivalsa. Se all’aumentare delle prove le frequenze vanno aggiustandosi verso le relative probabilità, significa che le discordanze devono bilanciarsi... allora l’evento ‘croce’ deve avere qualche possibilità in più di verificarsi rispetto all’evento ‘testa’. Giusto? No. Al decimo lancio i due eventi sono ancora equiprobabili nonostante vi siano stati prima 9 lanci con l’uscita della ‘testa’

La legge dei grandi numeri Infatti la legge dei grandi numeri non dice che la probabilità si bilancia “dopo un elevato numero di prove...”. Non si può mai considerare un dopo o un durante. Il concetto di probabilità è un concetto a priori. Nel nostro caso, l’evento “testa per 9 volte di seguito” è un fatto ormai già accaduto, quindi la sua probabilità è del 100%; è cosa certa. Non ha senso utilizzare una tale informazione per successive valutazioni statistiche. Ogni volta che si lancia la moneta, si riparte sempre da zero. La stessa definizione di evento ritardatario si basa sull’errore di stabilire arbitrariamente un momento in cui fissare l’inizio delle prove. Si considera cioè un certo ‘adesso’ e da questo si definisce un certo ritardo. Ma cosa sappiamo della vera storia di una moneta? Non potrebbe darsi che, prima del nostro giochino, quella moneta (o un’altra simile dall’altra parte della Terra) fosse stata lanciata da altre persone e si fosse presentata per 20 volte di seguito proprio la "croce"?

STATISTICA E PROBABILITÀ

Qual è la probabilità che Roger faccia una critica positiva su un film? Qual è la probabilità che Gene faccia una critica positiva su un film?

Roger ha fatto una critica positiva di 116 film su 213, quindi 116/213 ~ 54% è la percentuale di critiche positive e Gene ha fatto una critica positiva di 100 film su 213, quindi 100/213 ~ 47% è per lui la percentuale di critiche positive. Ma si potrebbe dire anche, che 54% e 47% sono rispettivamente anche le probabilità che Roger e Gene facciano una critica positiva in futuro di un film? 213 film può essere considerato un numero sufficientemene grande per trarre conclusioni del genere?

Gli eventi che contengono più di una possibile uscita sono chiamati EVENTI COMPOSTI, come ad esempio l’evento “lanciando di seguito due dadi esca su uno un numero pari e sull’altro un numero maggiore di 4”, oppure l’evento “lanciando di seguito due dadi la somma dei due numeri usciti sia un numero pari maggiore di 6” … Alle volte la realizzazione del primo evento influenza il secondo evento, in questo caso gli EVENTI si dicono DIPENDENTI, altre volte la realizzazione del primo evento non ha effetto sulla realizzazione del secondo evento, in questo caso gli EVENTI si dicono INDIPENDENTI.

Trova la probabilità che lanciando una moneta esca croce e tirando un dado esca un numero più grande di 1. Probabilità che esca croce ½, probabilità che il numero sia più grande di 1 è 5/6 quindi p=(1/2)x(5/6)=5/12 CROCE 5 CASI FAVOREVOLI TESTA 12 CASI POSSIBILI Non sono a conoscenza dell’esito del lancio della moneta, quindi, in questi casi la probabilità si ottiene facendo il prodotto delle probabilità,

Getti una coppia di dadi su un tavolo da gioco Getti una coppia di dadi su un tavolo da gioco. Se sul primo cubo esce 6, trova la probabiltà che la somma dei due numeri sia a. 6 b. 7 c. più grande di 10 d. più grande di 6 N.B. è noto che sul primo cubo è uscito il 6

Nel labirinto un topo si muove a caso, in avanti, verso le stanze A e B Se il topo raggiunge l’incrocio 2, qual è la probabilità che finisca nella stanza A? Se il topo raggiunge l’incrocio 3, qual è la probabilità che finisca nella stanza B? Infine, qual è la probabilità che il topo mostrato in figura finisca nella stanza A o nella stanza B? dobbiamo immaginare che negli incroci ci siano delle “porticine” che si aprono solo in un senso. Il topo non può tornare indietro, perché

La probabilità che un tiratore A colpisca il bersaglio è 3/5, la probabilità che lo colpisca B è 1/4. Se A e B sparano contemporaneamente contro il bersaglio, che probabilità c’è che questo venga colpito? Risoluzione: gli eventi sono A =“A colpisce il bersaglio”, B =“B colpisce il bersaglio”, sono eventi indipendenti, le prestazioni di un tiratore non influenzano quelle dell’altro, la probabilità è 0,7. Infatti per eventi indipendenti

150 100 450 A B AeB 300 U = tutti gli esiti delle 1000 prove = 700 Possiamo ragionare come segue: ogni 1000 prove (“doppio tiro”), 600 volte colpisce il bersaglio A, 250 volte B. Supponiamo che vengano registrati gli esiti di questi 1000 “doppi tiri” e venga scritto ogni singolo esito (che potrà essere: “nessuno”;  “solo A”; “solo B”; “sia A che B”) su di un bigliettino: si avranno quindi 1000 bigliettini. Pescando un bigliettino a caso, ci chiediamo che probabilità c’è di trovarvi scritto almeno uno dei due nomi A o B. Il diagramma di Venn che rappresenta l’insieme dei 1000 bigliettini con i relativi sottoinsiemi: U = tutti gli esiti delle 1000 prove Esiti favorevoli = = 450+150+100 = 600+250-150= = 700 p = 700/1000 Quindi p = 0,7 150 100 450 A B AeB 300

Abbiamo posto 600 bigliettini nell’insieme A, per il fatto che il tiratore A fa centro con probabilità 3/5, quindi su 1000 tiri ne azzeccherà pressappoco 600. Analogamente il tiratore B ha probabilità 1/4 di colpire il bersaglio, quindi l’insieme B avrà 250 elementi.   Come mai abbiamo collocato proprio 150 bigliettini in ? Data l’indipendenza fra gli eventi A e B (supponiamo che le prestazioni di un tiratore non influenzino quelle dell’altro) si ottiene:

La probabilità che si verifichi B dato che si è verificato A L' espressione formale è P(B/A) Che si legge: La probabilità che si verifichi B dato che si è verificato A Mazzo di 52 carte: Evento A = la prima carta estratta è un picche ( probabilità 13/52 ) Non la rimettiamo nel mazzo Evento B = quale è la probabilità che la prossima carta estratta sia ancora un  picche? Il simbolo è ( P(B/A) ) e la probabilità è = ( 13 -1 ) / ( 52 - 1 ) = 12/51 Quale è la probabilità che due carte estratte siano entrambe picche? Principio del prodotto = p( A e B) = p(A) * p(B/A) 13/52 * 12/51 = 156/2652 = 0.0588

PRINCIPIO DEL PRODOTTO Se abbiamo EVENTI DIPENDENTI p( A e B) = p(A)p(B/A) Se abbiamo EVENTI INDIPENDENTI p ( A e B) = p(A)p(B/A) = p(A)p(B) il secondo evento è dipendente dal primo se è senza reinserimento. il secondo evento è indipendente dal primo se è con reinserimento.

Esempio: estraggo un asso di Picche da un mazzo di 52 carte, qual è la probabilità che alla seconda estrazione sia ancora un asso? se non lo rimetto nel mazzo. Alla seconda estrazione avrò una carta in meno e le probabilità per le carte rimanenti di essere estratte si modificano. All'inizio: - probabilità di estrarre un asso di picche = 1/52 - probabilità di estrarre un asso di cuori = 1/52 Dopo la prima estrazione: - probabilità di estrarre un asso di picche = 0 probabilità di estrarre un asso di cuori = 1/51 se lo rimetto nel mazzo All’inizio e dopo la prima estrazione, le probabilità di estrazione restano le stesse

Mazzo di 52 carte: Evento A = la prima carta estratta è un picche ( probabilità 13/52 ) Non la rimettiamo nel mazzo QUAL È LA PROBABILITÀ CHE LA PROSSIMA CARTA ESTRATTA SIA ANCORA UN  PICCHE? Cioè qual è la probabilità che si verifichi B dato che si è verificato A, dell’evento A conosciamo l’esito. Il simbolo è p(B/A) e la probabilità è = ( 13 -1 ) / ( 52 - 1 ) = 12/51

QUALE È LA PROBABILITÀ CHE DUE CARTE ESTRATTE SIANO ENTRAMBE PICCHE? Dell’evento A non conosciamo ancora l’esito. Principio del prodotto p( A E B) = p(A)p(B/A) 13/52 * 12/51 = 156/2652 = 0.0588

Vita da … gatti e cani! La probabilità che un gatto viva 12 anni è 1/4, la probabilità che viva 12 anni un cane è 1/3. Se posseggo un cagnetto e un gattino appena nati, che probabilità c’è che: a)    siano entrambi vivi fra 12 anni;  b)    almeno uno sia vivo fra 12 anni;  c)    nessuno dei due sia vivo fra 12 anni

soluzione C = “il cane sarà vivo fra 12 anni” G = “il gatto sarà vivo fra 12 anni” a)       p (C e G) = p (C)·p(G) = 1/3 · 1/4 = 1/12 (probabilità composte per eventi indipendenti) b)       p (C o G) = p(C) + p(G) - p(C et G) = 1/3 + 1/4 - 1/12 = 1/2  (prob. totali per eventi compatibili; prob. composte per eventi indipendenti)     c)   

FORMULE DI DE MORGAN A A B B

La lampadina si accenderà? Si prendano a caso 3 lampadine fra 15 lampadine, di cui 5 difettose. Determinare la probabilità p che Nessuna sia difettosa Esattamente una sia difettosa Almeno una sia difettosa 1) 2) 3)

Avrà gli occhi scuri? Una classe consta di 10 maschi e 20 femmine; la metà dei maschi e la metà delle femmine hanno occhi scuri. Si determini la probabilità p che una persona scelta a caso sia un maschio o abbia occhi scuri. A=la persona è un maschio B=la persona ha occhi scuri p(AB)=p(A)+p(B)-p(AB)=1/3+1/2-1/6

Sarà bionda? In un paese scandinavo il 70% delle ragazze ha i capelli Biondi, il 20% li ha Rossi, il 10% Mori. Risulta poi che ha gli occhi Scuri il 10% delle Bionde, il 25% delle Rosse, il 50% delle More. Se la ragazza con cui ho fatto amicizia tramite Internet mi fa sapere che ha gli occhi Scuri, che probabilità c’è che sia Bionda

Applichiamo il teorema di Bayes

Perché? Se il numero delle ragazze fosse 10000, potremmo dire che i casi favorevoli sono (70/100)x(10/100)x10000, quindi i casi favorevoli sono 700, i casi possibili, dato che so già che la ragazza ha gli occhi scuri, sono 1700, infatti: Bionde con gli occhi scuri = 700 Rosse con gli occhi scuri =(20/100)x(25/100)x10000=500 More con gli occhi scuri =(10/100)x(50/100)x10000=500 quindi i casi possibili sono 700+500+500 cioè 1700 Probabilità = 700/1700 ~ 41%

Cioè si ottiene la formula risolutiva Se si divide numeratore e denominatore per 10000 si ottiene la formula di Bayes (teniamo conto anche dell’indipendenza degli eventi) Cioè si ottiene la formula risolutiva

Il teorema di Bayes Gli eventi H1, H2, ... Hn costituiscono le possibili CAUSE dell’evento E; tali cause sono: fra loro incompatibili (non è possibile che si verifichino contemporaneamente due eventi Hi, Hj, se i≠j) ed "esaustive" (nessuna altra causa, al di fuori delle Hi, può generare l’evento E).   Allora, se si verifica l'evento E, la probabilità che esso sia stato provocato dalla causa Hi è data dalla formula

Sotto c'è il disegno di un disco con una lancetta rotante e che punta con uguale possibilità in tutte le direzioni,  come quella che viene usata in molti giochi. Qual è la probabilità che l'indice si fermi proprio sulla regione B? An electric clock was stopped by a power failure. What is the probability that the minute hand stopped between the following two numerals on the face of the clock? a) 12 and 3   -  b) 1 and 5  - c) 11 and 1

e gli inganni della logica LE PIETRE DA CONTA e gli inganni della logica È venuta alla luce una pietra tombale. Si sa che le pietre tombali che si trovano in quella zona hanno dei simboli sia su un lato che sull’altro lato. Si sa anche che I simboli sulle pietre tombali indicavano i matrimoni tra regali, tra sudditi e tra sudditi e regali. La parte superiore della pietra aveva il simbolo del più vecchio della coppia, però non si è a conoscenza dell’età dei sepolti. Bisogna trovare qual è la probabilità che la tomba venuta alla luce, con segni che indicano che è regale dalla parte venuta alla luce, sia regale anche dall’altra parte, perché solo in questo caso si possono avere dei vantaggi a scavare. Bisogna sapere se conviene tentare la fortuna.

SOLUZIONE Si potrebbe pensare che ci sia il 50% di probabilità che l’altra faccia della pietra sia di un regale o di un suddito, dato che la scelta è solo tra queste due possibilità. Ma, se ragioniamo come segue, 50% di probabilità non è la risposta corretta.

Invece delle tre pietre tombali supponiamo di avere tre carte: una interamente verde (le due facce numerate 1 e 2), una interamente rossa (3 e 4), una carta rossa da una parte e verde dall’altra (5 la rossa e 6 la verde). Supponiamo che il rosso indichi un regale e il verde un suddito.

I numeri sulle carte servono solo a noi per capire meglio. 1 2 Pietra tombale di due coniugi sudditi 3 4 Pietra tombale di due coniugi regali 5 6 Pietra tombale di un matrimonio misto I numeri sulle carte servono solo a noi per capire meglio. Nel nostro caso dobbiamo escludere le carte 1 e 2, perché certamente la nostra tomba non è di due sudditi.

Possiamo ragionare come segue 3 4 Pietra tombale di due coniugi regali 5 6 Pietra tombale di un matrimonio misto Noi sappiamo che la parte venuta alla luce è regale, cioè rossa. È come se noi avessimo un’ urna con quattro biglie: 3 rosse e una verde. Abbiamo pescato una rossa. Qual è la probabilità che anche la seconda che pesco dall’urna sia rossa?

Essendo rimaste nell’urna due biglie rosse e una verde, la probabilità di pescare una rossa è di 2/3 (~67%), e non di 1/2 (50%). È quindi conveniente scavare.

3 4 4 3 5 6 Possiamo ragionare anche come segue: consideriamo le varie coppie che possiamo avere 3 4 4 3 5 6 Se quello venuto alla luce è il lato 3 allora il rovescio sarà il 4 rosso. Se quello venuto alla luce è il lato 4 allora il rovescio sarà il 3 rosso. Se quello venuto alla luce è il lato 5 allora il rovescio sarà il 6 verde. Quindi la probabilità che la pietra che fuoriesce dalla collina sia interamente regale non è di 1/2 ma di 2/3.

Spunti tratti dal libro di testo, due anni fa, della INTERNATIONAL SCHOOL di Udine MIDDLE SCHOOL MATH, autori vari, Scott Foresman-Addison Wesley, Carrollton, Texas - Menlo Park, California, Dal libro “S. HOLMES E LE TRAPPOLE DELLA LOGICA”, pagg. 85-99, Scienza e Idee “L’ALGORITMO DEL PARCHEGGIO” di F. HONSELL, Mondadori Il sito www.torinoscienza.it/ il sito http://www.chihapauradellamatematica.org/ libri dei licei scientifici