Principali grandezze fisiche e definizioni utilizzate in radioastronomia

p= 8.97 Ne KHz (Ne = densità degli elettroni liberi in cm-3) La “finestra” radio Limite a bassa frequenza: ~15 MHz ( ~20 m). Gli elettroni liberi nella ionosfera assorbono sostanzialmente la radiazione elettromagnetica, se la frequenza è al di sotto della frequenza di plasma: p= 8.97 Ne KHz (Ne = densità degli elettroni liberi in cm-3) Limite ad alta frequenza: ~600 GHz ( ~0.5 mm). In questo caso l’assorbimento è dovuto alla presenza di bande di assorbimento rotazionale nelle molecole presenti nella troposfera (la parte più bassa dell’atmosfera terrestre, circa 8 km).

La quantità B, misurata in questo caso in: watt m-2 Hz-1 rad-2 Brillanza Consideriamo la radiazione elettromagnetica che incide dal cielo su una superficie piana A La potenza infinitesima dW incidente su un elemento di superficie dA da un angolo solido d è data da: dW = B cos dA d d watt dove: cos dA = proiezione di dA sul piano ortogonale alla direzione di incidenza, m2 d= d sin d angolo solido, rad2 d = elemento infinitesimo di banda, posizionato a una data frequenza , Hz La quantità B, misurata in questo caso in: watt m-2 Hz-1 rad-2 è la Brillanza del cielo alla posizione (,) cioè la potenza ricevuta per unità di area, per unità di angolo solido, per unità di banda In generale quindi: B = B(, , ) z sin d d dA  d= d sin d A y  x

dW = B (,,) cos dA d d [1] Brillanza totale Se la potenza infinitesima definita dalla: dW = B (,,) cos dA d d [1] è indipendente dalla posizione di dA sulla superficie A, la potenza infinitesima ricevuta su tutta la superficie A è data da: dW = B (,,) A cos d d [2] Integrando la [2], possiamo poi ottenere la potenza ricevuta su una banda  (da  a +) da un certo angolo solido : W = A    B(,,) cos d d watts Integrando B (,,) solo sulla banda  (da  a +) si ottiene: B’ (,,, ) =  B(,,)d = Brillanza Totale B’ sulla banda  watts m-2 rad-2 Se integriamo B (,,) su tutto lo spettro, otteniamo la Brillanza Totale in Radio B’(,) . In questo caso la potenza ricevuta diventa: W = A   B’(,) cos d watts +   +  

dW = B (,,) cos dA d d watt Potenza spettrale In molti casi, invece che del potenza contenuta in un intervallo di frequenza d già definita in precedenza: dW = B (,,) cos dA d d watt può essere utile la potenza per unità di banda: dw = dW/d = B (,,) cos dA d watt Hz-1 denominata anche potenza spettrale. Anche in questo caso, se la potenza spettrale è indipendente dalla posizione dell’elemento di superficie dA sulla superficie A, la potenza spettrale ricevuta sull’intera superficie A è data da: dw = B (,,)A cos d watt Hz-1 Intergando questa formula si ottiene la potenza spettrale ricevuta da un angolo solido : w = A   B(,) cos d watts Hz-1

w = A B   sin cos d d = AB  watt Hz-1 Un esempio semplice: Supponiamo che la brillanza del cielo a una data frequenza o sia uniforme su una banda  = 1 MHz e che sia anche uniforme su tutto il cielo. Dato un valore di brillanza B=10-22 watt m-2Hz-1rad-2, calcolare la potenza spettrale w ricevuta da un emisfero (2) su una superficie piana di 5 m2 alla frequenza o e la corrispondente potenza totale W sulla banda di 1 MHz. La potenza spettrale w sarà data da: w = A B   cos d watt Hz-1 Ricordando che d= d sin d, si ottiene: w = A B   sin cos d d = AB  watt Hz-1 da cui: w = 5  10-22 watt Hz-1 e: W = AB   = 5  10-16 watt 2 /2

Distribuzione di Brillanza e pattern d’antenna Come abbiamo visto in precedenza, la brillanza è in generale funzione della direzione: B=B(,). Quindi la potenza spettrale ricevuta da un certo angolo solido  è in questo caso: w = ½ Ae  B (,) Pn(,) d watt Hz-1 dove il termine ½ tiene conto che per una radiazione di natura non polarizzata, solo metà della potenza sarà ricevuta, dato che un’antenna risponde solo a una componente della polarizzazione. Se la Brillanza B è costante: w = ½ Ae Bc  Pn(,) d watt Hz-1 Distribuzione di brillanza d Pattern d’antenna Pn (,)  Lobo principale Lobi secondari  Apertura efficace A e dell’antenna  Il pattern d’antenna normalizzato Pn è una misura della risposta dell’antenna in funzione degli angoli  e . E’ normalizzata a 1 e non ha dimensioni. Nel caso di un’antenna, sostituisce il termine cos, utilizzato in precedenza per tenere conto della componente della superficie di raccolta perpendicolare alla direzione di incidenza della radiazione. 

Pattern d’antenna in coordinate rettangolari e scala di potenza lineare Half-pwer beam width (HPBW) 

Rappresentazioni del pattern d’antenna 1 Pn()  Half-pwer beam width Half-pwer beam width Lobo principale  0 db -3 db Lobi secondari -10 db 0.125 0.25 0.375 0.5 -20 db Coordinate polari P(), e scala di potenza lineare Coordinate rettangolari P(), e scala di potenza in decibel

Angolo solido del pattern d’antenna L’integrale del pattern d’antenna normalizzato, su tutta la sfera celeste: A=  Pn(,) d rad2 è definito come l’angolo solido del pattern d’antenna. Sinonimi: Angolo solido del pattern (Antenna Pattern) Angolo solido del beam (Beam solid angle) Area del beam (Beam area) Nel caso di Brillanza costate Bc si ha quindi per la potenza spettrale la formula semplice: w = ½ AeBc A watt Hz-1 e per la potenza totale: W = ½ Ae Bc A  watt In generale, quando ci riferiamo al pattern d’antenna di un radiotelescopio, intendiamo il pattern misurato a distanza sufficiente da non essere dipendente dalla distanza, ma solo dalla direzione. (Far-field pattern) 4

Altre definizioni connesse al pattern d’antenna Abbiamo dato in precedenza la definizione di beam area, o beam solid angle, come: A=  Pn(,) d rad2 Questa quantità rappresenta l’angolo solido A attraverso cui tutta la potenza dell’antenna sarebbe ricevuta (trasmessa), se la potenza stessa per unità di angolo solido fosse costante su tutto A e uguale al valore massimo. Se invece di estendere l’integrale su 4, lo estendiamo solo al lobo principale, cioè fra i primi due punti di minimo del pattern d’antenna: MB=  Pn(,) d rad2 Questa grandezza è denominata main-beam solid angle, o main-beam area 4 Main lobe beam solid angle Risulta allora utile introdurre altre grandezze fisiche: La Direttività o Guadagno massimo: D = Gmax = 4/A E l’Efficienza del main-.beam : MB = MB/A (beam efficiency) I due pattern d’antenna in figura (rosso e nero) hanno lo stesso beam solid angle A.

Efficienza d’apertura / Efficienza del beam In generale, data un’antenna di apertura geometrica Ag, solo una certa quantità della potenza incidente sull’antenna sarà raccolta. Questo porta alla definizione di apertura efficace Ae dell’antenna e alla definizione di efficienza d’apertura A A = Ae/Ag L’apertura efficace Ae e la Direttività D che abbiamo definito come: D = Gmax = 4/A sono connesse dalla formula: D = Gmax = 4Ae / 2 da cui: Ae A = 2 Una grande apertura efficace Ae è certamente desiderabile perché, come vedremo, corrisponde a una elevata sensibilità. L’elevata direttività che ne consegue è desiderabile (risoluzione angolare…). Ma è anche desiderabile disporre di un’elevata efficienza del beam: MB = MB/A (che corrisponde ad avere lobi secondari trascurabili). Tuttavia, Ae e MB dipendono in modo opposto dal tapering. 1.0 Efficienza Efficienza del beam 0.9 Efficienza d’apertura 0.8 1.0 0.5 0.0 Tapering

Sorgenti radio in relazione alla loro estensione angolare Sorgenti puntiformi (  0) Sorgenti localizzate (  1°) Sorgenti estese (  1°) Se una sorgente è osservata con un’antenna con un pattern Pn(,), la densità di flusso misurata sarà in generale inferiore a quella reale: convenzione S =  B(,) Pn(,) d L’integrale della Brillanza (,) esteso all’angolo solido della sorgente: S =  B(,) d definisce la densità di flusso S B(,) = Brillanza (watt m-2 Hz-1 rad-2) d = sin d d (rad2) S = densità di flusso (watt m-2 Hz-1) La densità di flusso e si misura in Jansky: 1 Jy = 10-26 watt m-2 Hz-1 source Se tuttavia la sorgente ha una estensione angolare piccola rispetto all’angolo solido del beam, così che sulla sorgente: Pn(,)  1 allora la misura di S è attendibile, e se B è relativamente costante: S  B(,) source Nel caso opposto, in cui source MB, se B è relativamente costante, potremo scrivere: S  B(,) MB source

Relazione fra densità di flusso S e potenza W In base a tutto quello che abbiamo visto in precedenza, la potenza W (in watt) ricevuta da un’antenna con un pattern Pn(,) da una sorgente avente un angolo solido source è: W = ½ Ae  B (,) Pn(,) d d che, ricordando la definizione di densità di flusso diventa: W = ½ Ae  S d e se il flusso S è costante su : W = ½ Ae S  watt +  s + 