Alessandro Mantua classe IV E Liceo scientifico Galileo Ferraris Presentazione a cura di Alessandro Mantua classe IV E

L’ ARCOBALENO

Un arcobaleno si può osservare solo in situazioni particolari: ci si deve comunque trovare tra il sole e, dalla parte opposta, vi deve essere una regione del cielo ancora investita dalla pioggia. Il sole, come vedremo, deve essere sufficientemente basso all'orizzonte. L'arcobaleno appare sempre dalla parte opposta ai raggi solari per cui, rivolto all'arcobaleno, l'osservatore ha sempre alle spalle il sole. Arcobaleni si possono osservare anche in vicinanza delle cascate o si possono generare con relativa facilità in giardino con uno spruzzo d'acqua disposto dalla parte opposta al sole. In tutte queste situazioni vengono coinvolte gocce d'acqua colpite dai raggi solari ed è pertanto su queste che ci si deve concentrare per spiegarne il meccanismo

Consideriamo una goccia d'acqua di indice di rifrazione pari a n = 4/3 (nei calcoli numerici sarà questo il valore standard per l'indice di rifrazione che, fino ad un certo punto, assoceremo alle gocce) colpita da un raggio di luce monocromatico cioè di un'unica lunghezza d'onda. Se il raggio della goccia è inferiore al millimetro la forma della goccia sospesa in aria è praticamente una sfera perfetta in quanto la forza di gravità non riesce a deformarla vincendo le forze di tensione superficiale. Consideriamo quindi gocce di tale forma: il raggio sarà nella nostra analisi un parametro ininfluente per cui potremo considerarlo, per comodità, unitario.

L’ ARCOBALENO PRIMARIO Si vuole approfondire il comportamento di un raggio monocromatico che subisce internamente alla goccia una sola riflessione emergendo quindi diffuso ad un certo angolo nella successiva rifrazione. In particolare, dedurremo la deviazione subita da un raggio incidente al variare dell'angolo di incidenza fornendo poi il grafico del suo angolo supplementare.

da cui, passando alla funzione inversa, abbiamo Sia quindi n l'indice di rifrazione dell'acqua e indicati con i l'angolo di incidenza e con r l'angolo di rifrazione, la legge della rifrazione permette di esprimere l'angolo di rifrazione r in termini dell'angolo di incidenza ossia da cui, passando alla funzione inversa, abbiamo

In base alla figura che rappresenta una goccia d'acqua sferica in sezione assieme agli angoli coinvolti, ricaviamo la deviazione δ subita da un raggio incidente e che emerge dopo una sola riflessione interna. valutare la deviazione totale δ come somma delle tre deviazioni subite dal raggio incidente nel suo percorso complessivo. Risulta che nella prima rifrazione la deviazione è pari a nella seconda rifrazione la deviazione è pari a nella terza rifrazione la deviazione è pari a da cui si ottiene Essendo α il supplementare di δ si ha che

Sostituendo l'angolo di rifrazione r espresso nell’equazione iniziale nell’equazione di α, possiamo studiare l'andamento dell'angolo di diffusione al variare dell'angolo di incidenza i. Si ottiene la funzione α(i) In particolare gli angoli permessi appartengono all'intervallo compreso tra 0°, e in tal caso il raggio viene diffuso all'indietro verso il sole, e un valore massimo che, relativamente all'indice di rifrazione n = 4/3, risulta essere approssimativamente di 42°   e corrisponde ad un angolo di incidenza i di circa 60°.

Un andamento analogo si ottiene se si sostituisce all'angolo di incidenza il parametro d'impatto y, grandezza che ci sarà utile per studiare la distribuzione in intensità dei raggi luminosi.  Tale grandezza esprime la distanza del raggio incidente dal centro della goccia e, geometricamente, è l'ordinata del punto P nella figura  una volta che la goccia sia rappresentata da un cerchio di raggio R centrato nell'origine di un sistema cartesiano. Il legame tra y e l'angolo i è dato in tale sistema dalla relazione y = R sen(i)

Queste osservazioni qualitative si possono tradurre ulteriormente in forma grafica se si rappresenta l'intensità uniforme dei raggi incidenti sulla goccia come un insieme di linee egualmente spaziate nell'intervallo [0, R]: la corrispondente distribuzione dei raggi emergenti appare quindi graficamente in ordinata

Appare ora più evidente l'addensamento dei raggi attorno al valore massimo della curva in questione. Il valore di y (che indicheremo con , y critico) in corrispondenza del quale viene raggiunto il massimo si può determinare con i metodi dell'Analisi Matematica e risulta per cui nel caso sia n = 4/3 ed R = 1, si ottiene L'angolo in corrispondenza del quale si ha la massima intensità luminosa per i raggi emergenti, angolo che definiamo come angolo di arcobaleno primario   o, più brevemente, angolo di arcobaleno, si deduce sostituendo tale valore nella funzione α  Quest'ultimo risultato mostra una dipendenza dal solo indice di rifrazione mentre è indipendente dal raggio della goccia: gocce con raggio diverso diffondono i raggi solari responsabili dell'arcobaleno primario nello stesso modo. L'angolo di arcobaleno relativo all'indice di rifrazione n = 4/3, è quindi pari a

In conclusione, i raggi che incidono sulla goccia ad una distanza prossima (un po' inferiore o un po' maggiore) a 0.86 R, escono dalla medesima approssimativamente con un angolo di  42°. Come detto, ciò significa che attorno a questo valore si forma una concentrazione di raggi che si traduce in una maggiore intensità luminosa rispetto alla luce diffusa dalla goccia nelle regioni relative ad angoli inferiori: è tale fatto che dà origine all'arcobaleno primario.

I COLORI A seguito della dispersione, ciascuna componente monocromatica della luce solare seguirà un suo percorso entro la goccia e ne uscirà con angoli di emergenza e quindi con angoli di arcobaleno diversi.

Poiché, per quanto visto precedentemente,  l'intensità massima si ottiene in corrispondenza dell'angolo di arcobaleno  , ad ogni lunghezza d'onda possiamo associare l'angolo, misurato rispetto al punto antisolare, in corrispondenza del quale si osserva l'arcobaleno di quel particolare colore. La funzione che fornisce tale angolo si ottiene sostituendo all'indice di rifrazione n là presente, la funzione n(λ)

Come si vede, il violetto forma una arcobaleno attorno ai 40 Come si vede, il violetto forma una arcobaleno attorno ai 40.5° mentre la componente rossa lo forma attorno ai 42°. In particolare,, l'arcobaleno primario si forma entro un angolo compreso tra gli estremi [40.43°, 42.31°]. L'ampiezza angolare di un arcobaleno primario è quindi poco meno di 2°.

L’ARCOBALENO SECONDARIO In particolari situazioni collegate all'altezza del sole, alle dimensioni della zona investita dalla pioggia, alla posizione dell'osservatore, si può osservare in aggiunta al comune arcobaleno pure un secondo arcobaleno, generalmente meno luminoso e disposto al di sopra dell'arcobaleno propriamente detto o arcobaleno primario: è questo il cosiddetto arcobaleno secondario  L'arcobaleno secondario si spiega ancora tramite la rifrazione considerando il percorso di un raggio che incide su una goccia d'acqua sferica ma che, a differenza dell'arcobaleno primario, subisce invece due riflessioni al suo interno.

L'angolo δ che dà la deviazione totale rispetto alla direzione originaria si ottiene ancora come somma delle singole deviazioni subite dal raggio luminoso. Come già visto, nella prima rifrazione: questa è pari a i - r (punto P) nella prima riflessione interna: π - 2r (punto Q) nella seconda riflessione interna: π - 2r (punto R) nella seconda rifrazione è ancora i - r (punto S) per cui in totale risulta Ovviamente la situazione interessante si presenta quando il raggio viene deviato nella direzione dell'osservatore (disposto nelle nostre figure sempre in basso a destra rispetto alla goccia). Pertanto l'angolo di diffusione secondario, angolo che indicheremo con β ), è il supplementare della deviazione totale δ cosicché si ha

La dipendenza di β dall'angolo di incidenza i si ottiene riprendendo la legge della rifrazione e sostituendola in luogo di r In questo caso l'angolo β presenta un minimo anziché un massimo

in analogia a quanto fatto per l'arcobaleno primario, esprimiamo tale angolo in termini del parametro di impatto y = R sin(i)

Possiamo ora riproporre le medesime considerazioni esposte per l'arcobaleno primario: anche in questo caso la goccia disperde i raggi luminosi in un ampio intervallo angolare, a partire comunque da un valore minimo approssimativamente attorno ai 50°. Rappresentando l'intensità uniforme incidente sulla goccia tramite un certo numero di raggi egualmente distribuiti nell'intervallo [0, R]

Il valore del parametro d'impatto cui corrisponde il minimo, , si trova sempre con i metodi dell'Analisi Matematica e risulta che, con i valori standard finora utilizzati fornisce per y il valore Pertanto i raggi che incidono con questo parametro o in prossimità di esso e che, a ben vedere, sono molto prossimi al raggio che incide tangenzialmente alla goccia, sono i responsabili dell'arcobaleno secondario. Il valore dell'angolo di arcobaleno secondario   in corrispondenza del quale si ha la massima intensità luminosa dell'arcobaleno secondario (e il minimo dell'angolo di diffusione) si ottiene sostituendo questo valore nell’equazione di β

LA BANDA DI ALESSANDRO

Nelle sezioni precedenti abbiamo dedotto le espressioni degli angoli di diffusione primario e secondario in termini i parametro di impatto. Disponendo ora i relativi grafici sullo stesso piano cartesiano si ottiene:

Questa mette in evidenza un fatto interessante: nell'intervallo angolare di estremi [42°, 51°] evidenziato in grigio nella figura (e relativo a n = 4/3), le gocce di pioggia non diffondono verso l'osservatore alcun raggio luminoso tra quelli finora considerati e cioè tra quelli che subiscono una o due riflessioni interne. E poiché tale grafico descrive come una goccia diffonde una significativa frazione della luce solare ne segue che la zona di cielo corrispondente a tale intervallo angolare apparirà all'osservatore meno luminosa delle adiacenti (che, all'opposto, appariranno più chiare). In effetti questa è un'altra caratteristica dell'arcobaleno, comunemente non rilevata da un osservatore occasionale ma che all'osservatore attento non può sfuggire: tra l'arco del primario e del secondario il cielo appare più scuro delle zone interne ed esterne ai due archi: tale zona viene detta banda oscura di Alessandro dal nome del filosofo Alessandro di Afrodisia che per primo la descrisse.

I COLORI DEL SECONDARIO A causa dell'ulteriore riflessione subita dai raggi dell'arcobaleno secondario, la dispersione angolare delle diverse componenti monocromatiche deve essere maggiore rispetto all'analoga dispersione nel primario.

Ciò evidentemente comporta un arco secondario con i colori dello spettro invertiti rispetto all'ordine del primario. Difatti sostituendo nell'angolo di arcobaleno la funzione n(λ) si ottengono le ampiezze angolari del secondario corrispondenti all'intensità massima di un dato colore o lunghezza d'onda.

In base a tale andamento si può dedurre come, da un'ampiezza di circa 54° per il violetto, si giunga ad una ampiezza di circa 50.5° per il rosso: come prospettato precedentemente l'arcobaleno secondario avrà pertanto il colore rosso nella regione inferiore dell'arco mentre il violetto apparirà nella zona più elevata

In particolare la successione che emerge a partire dai valori angolari minori è, in definitiva: primario: violetto a partire dai 40.3° per finire con il rosso a 42.3°, banda di Alessandro, dai 42.5° ai 50.5° secondario: rosso attorno ai 50.5° e quindi violetto a circa 54°.

OSSERVABILITA’ Concludiamo riprendendo con le condizioni di osservabilità dell'arcobaleno. Se per l'osservazione di un arcobaleno primario è necessario che il sole sia ad un'altezza sull'orizzonte inferiore ai 42°, la maggior ampiezza angolare dell'arcobaleno secondario permette di osservarlo anche ad altezze solari maggiori: in particolare poiché il violetto si forma a circa 54° dal punto antisolare, sarà questa l'altezza massima sull'orizzonte: in ogni caso, per altezze solari comprese tra i 42° e i 54° si potrà osservare solo l'arcobaleno secondario che sarà riconoscibile per l'ordine dei colori.