Linear Algebra Methods in Combinatorics with applications to Geometry and Computer Science Linear Algebra Methods in Combinatorics with applications to Geometry and Computer Science (tutto rigorosamente da Babai & Frankl) Lezione I

Eventown Nella città di Eventown ci sono n abitanti. Le regole per formare delle associazioni o club sono le seguenti: 1.Ogni club ha un numero pari (even) di componenti 2.Ogni coppia di club condivide un numero pari di persone Quanti club riesci a formare?

Eventown Siano C1,…,Cm {1,…, n} tali che 1.|Ci| è pari (even) per ogni i 2.|Ci Cj| è pari per ogni i j Quale è il massimo numero m(n) di insiemi che posso costruire? … 1 n 1 n/2 Sottoinsiemi delle coppie

Eventown Nella città di Eventown ci sono n abitanti. Le regole per formare delle associazioni o club sono le seguenti: 1.Ogni club ha un numero pari (even) di componenti 2.Ogni coppia di club condivide un numero pari di persone Quanti club riesci a formare? Odd dispari (odd) Odd

Oddtown Siano C1,…,Cm {1,…, n} tali che 1.|Ci| è dispari (odd) per ogni i 2.|Ci Cj| è pari per ogni i j Quanti insiemi posso costruire? non più di n

Oddtown Siano C1,…,Cm {1,…, n} tali che 1.|Ci| è dispari (odd) per ogni i 2.|Ci Cj| è pari per ogni i j Quanti insiemi posso costruire? non più di n vivi = 1 vivj = 0 vi C1CiCm …… v1vm Il solito vettore 0/1 vi(k)=1 sse k in Ci linearmente indipendenti 1*v1+ … + m * vm = 0 1*v1*v1 + … + m*vm*v1 = 0 1* 1 + 2*0 + … + m*0 = 0 1 = 0 e così via per gli altri i

Ricetta del giorno (linear algebra bound) Quanti oggetti C1,…,Cm che soddisfano una certa proprietà posso costruire? C1,…,Cm e1, …, em Passo 1 Passo 2 e1, …, em linearmente indipendenti Passo 3 lo spazio ha dimensione d m d

Punti in n con al più due distanze Quanti punti posso mettere in n in modo tale che linsieme delle distanze tra tutte le coppie assuma al massimo due valori? si no

Punti in n con al più due distanze Quanti punti posso mettere in n in modo tale che linsieme delle distanze tra tutte le coppie assuma al massimo due valori? a1,…,am f1, …, fm punti polinomi linearmente indipendenti

Punti in n con al più due distanze Quanti punti posso mettere in n in modo tale che linsieme delle distanze tra tutte le coppie assuma al massimo due valori? a1,…,am f1, …, fm punti polinomi linearmente indipendenti 1*f1(x)+ … + m * fm(x) = 0 1*f1(a1) + … + m*fm(a1) = 0 1* c + 2*0 + … + m*0 = 0 1 = 0 e così via per gli altri i

Punti in n con al più due distanze Quanti punti posso mettere in n in modo tale che linsieme delle distanze tra tutte le coppie assuma al massimo due valori? a1,…,am f1, …, fm punti polinomi linearmente indipendenti lo spazio ha dimensione d Scopriamo d d polinomi base generano tutte le fi(): 1*p1(x) + … + d*pd(x) = fi(x)

Punti in n con al più due distanze Quanti punti posso mettere in n in modo tale che linsieme delle distanze tra tutte le coppie assuma al massimo due valori? a1,…,am f1, …, fm punti polinomi linearmente indipendenti lo spazio ha dimensione d d polinomi base generano tutte le fi(): 1 + n + (n(n-1)/2 + n) + n + 1 (n+1)(n+4)/2

Cosa ricordare 1.La Ricetta del Giorno (linear algebra upper bound)Ricetta del Giorno 2.Come si dimostra lindipendenza lineare: C1,…,Cm fi: F f1fm e1, …, em fi(Cj) f1,…,fm linearmente indipendenti criterio della diagonale E la parte in comune tra i due esempi…lho capita solo grazie a Francesco

Esercizio del Giorno Quanti punti posso mettere in n in modo tale che linsieme delle distanze tra tutte le coppie assuma un solo valore? (tutte le distanze uguali) Prova ad applicare il metodo usato nel caso di due valori e guarda se lo spazio dei polinomi ha una dimensione minore.metodo