LA MATEMATICA DELL’INFINITO Stefano Baratella Realizzazione PowerPoint di Michele Avancini

׀׀ ׀׀׀…׀ Possiamo distinguere 2 tipi di infinito potenziale (l’infinito dei greci antichi) ׀ ׀׀ ׀׀׀… ׀׀׀…׀ 1 2 3 … n … INFINITO attuale (l’infinito della matematica moderna) … C’è - in realtà - una gerarchia illimitata di infiniti attuali

Achille e la tartaruga Distanza da 0 (in m) Achille Tartaruga 8 m/sec 4 m/sec Distanza da 0 (in m) Achille Tartaruga Differenza 8 1 12 4 14 2 15 15,5 0,5 Tempo (in sec) . . . . . . . .

Achille e la tartaruga – Zenone di Elea Il ragionamento dei greci: «Siccome ad ogni istante 𝑡 𝑛 =1+ 1 2 +…+ 1 2 𝑛 Achille è sempre dietro alla Tartaruga e siccome la somma (di termini positivi) 1+ 1 2 +…+ 1 2 𝑛 all’aumentare di 𝑛 assume valori arbitrariamente grandi, allora, in ogni istante di tempo futuro, Achille sarà dietro alla Tartaruga, quindi Achille non raggiungerà mai la Tartaruga!!!» ERRORE ! Inoltre: Infatti, dopo due secondi, Achille raggiunge la Tartaruga.

~1450 Nicola Cusano “La dotta ignoranza” Nel corso dei secoli: ~1450 Nicola Cusano “La dotta ignoranza” … all’infinito tutto diventa uguale … un triangolo infinito è uguale a una retta, ad un cerchio infinito … ~1600 Giordano Bruno “La cena delle ceneri” … una gerarchia di infiniti … Anche Galileo mette in discussione il concetto di infinito elaborato dai greci. Egli afferma la possibilità di dividere un segmento in infiniti elementi ● primi (primitivi); ● non quanti (senza estensione); ● indivisibili. Di fronte all’infinito attuale, Galileo si ferma perché si rende conto di alcuni “paradossi”…

Il “paradosso” dei quadrati: Galileo si rende conto che l’insieme dei numeri naturali è in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio: quello dei quadrati dei numeri naturali. (Galileo) … queste son delle difficoltà che derivano dal discorrer che noi facciamo col nostro intelletto finito intorno a gl’infiniti, dandogli quelli attributi che noi diamo alle cose finite e terminate; il che penso che sia inconveniente …

Corrispondenza biunivoca (biiezione)         con le seguenti proprietà:                            

Un sottoinsieme 𝐵 di un insieme 𝐴 è proprio se ∅≠𝐵≠𝐴 (Dedekind) Un insieme 𝐴 è infinito se esistono un sottoinsieme proprio 𝐵 di 𝐴 ed una corrispondenza biunivoca 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 Un insieme è finito se non è infinito. Esempi: i numeri naturali pari è una biiezione, quindi ℕ è infinito. i numeri reali positivi è una biiezione, quindi ℝ è infinito.

È possibile confrontare la grandezza di insiemi infiniti? Se sì, esiste un infinito più grande di tutti gli altri? È possibile fare operazioni aritmetiche (somma, prodotto, …) su “numeri” infiniti?

puramente intellettuale. … la teoria dei “numeri transfiniti”. Tale teoria è, a mio parere, il più bel risultato del genio matematico ed una delle maggiori conquiste dell’attività umana puramente intellettuale. Volendo caratterizzare in breve la nuova concezione dell’infinito introdotta da Cantor si potrebbe dire: nell’analisi [matematica] ci si occupa dell’infinitamente grande e dell’infinitamente piccolo solo in quanto concetti-limite, come qualcosa che diviene, che nasce, che si forma, cioè in quanto “infiniti potenziali”. Ma non è questo l’infinito vero e proprio. Lo si ha invece quando si considera la totalità dei numeri 1, 2, 3, … come una totalità conclusa o si considerano i punti di un intervallo come una totalità di oggetti che esistono tutti in una volta. Questo tipo di infinito prende il nome di “infinito attuale”. Nessuno potrà cacciarci dal paradiso che Cantor ha creato per noi. David Hilbert David Hilbert

Si dice che due insiemi equipotenti hanno la stessa cardinalità. Per confrontare la grandezza di insiemi (infiniti), Georg Cantor propone di usare la relazione di equipotenza Georg Cantor Due insiemi 𝐴, 𝐵 si dicono equipotenti se esiste una corrispondenza biunivoca 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 Si dice che due insiemi equipotenti hanno la stessa cardinalità. Intuitivamente, “avere la stessa cardinalità” vuol dire “stare allo stesso livello nella gerarchia che misura l’ordine di grandezza degli insiemi”. Quindi ℕ e ℙ, ad esempio, sono insiemi infiniti dello stesso ordine di grandezza, anche se ℙ è un sottoinsieme proprio di ℕ.

? ? … anche e hanno la stessa cardinalità! − 𝑛 2 se 𝑛 è pari 𝑓 𝑛 = 1 2 3 4 𝑛+1 2 ? se 𝑛 è dispari … potrebbe venire il sospetto che tutti gli insiemi infiniti abbiano la stessa cardinalità, ma non è così! Domande di questo genere se le poneva anche Cantor, arrivando spesso a risposte inattese!

Può una superficie (diciamo un quadrato che include il bordo) essere messa in corrispondenza biunivoca con una retta (diciamo un segmento di retta che include gli estremi) così che per ogni punto sulla superficie c’è un corrispondente punto sulla retta e, viceversa, per ogni punto della retta c’è un punto corrispondente sulla superficie? Penso che rispondere a una tale domanda non sia affatto facile, nonostante il fatto che la risposta sembra essere così chiaramente “no” che una dimostrazione appare inutile. Lettera a Dedekind, gennaio 1874 Lo vedo, ma non ci credo! Lettera a Dedekind, 1877, dopo aver provato che esiste una corrispondenza biunivoca tra e Dopo Kant ha acquistato cittadinanza tra i filosofi la falsa idea che il limite ideale del finito sia l’assoluto, mentre in verità tale limite può venir pensato solo come transfinito… e più precisamente come il minimo di tutti i transfiniti… Georg Cantor, 1845 - 1918

La soluzione di Cantor (0,1)x(0,1)   𝑃′≡ 𝑧 (0,1) 0, 𝑧 1 𝑧 2 𝑧 3 …     Alla coppia   associamo  

Esempio:   quindi 𝑃≡ 0,75000…, 0,4714…   0,74570104… e se mi viene chiesto di quale coppia di punti il punto 𝑄′≡0,981473315… è immagine, la risposta è: 0,91735…, 0,8431…

? L’ albergo di Hilbert 1 2 3 4 5 n 1 2 3 4 5 n n+1 1 11 12 13 n n+12 Ha infinite stanze così numerate: 1 2 3 4 5 … n Il giorno 1 tutte le stanze sono occupate. Si presenta un nuovo cliente. È possibile trovargli posto? 1 2 3 4 5 … n n+1 Il giorno 2 tutte le stanze sono di nuovo occupate. ? Arrivano 12 nuovi clienti con prenotazione. È possibile trovare loro posto? 1 … 11 12 13 … n … n+12

? 1 2 3 4 5 6 7 8 Il giorno 3 tutte le stanze sono occupate. Arrivano un numero infinito di clienti (tanti quanti i numeri naturali). È possibile trovare loro posto? 1 2 3 4 5 6 7 8 Il giorno 4 tutti i clienti arrivati il giorno 3 se ne vanno. Il sig. Hilbert sa che un tasso di occupazione «del 50%» è insufficiente per la direzione. ? Si può far sì che il tasso di occupazione salga «al 100%»? Il giorno 5 al sig. Hilbert viene comunicato che gli infiniti alberghi (tanti quanti i numeri naturali) della catena a cui il suo appartiene chiuderanno tutti – tranne il suo – e che dovrà trovare una stanza per tutti i clienti di tutti gli alberghi.

«Matematizziamo» il problema:   L’albergo di Hilbert ha tante stanze quante ℕ. C’è una biiezione tra ℕ×ℕ e ℕ? 9 5 8 2 4 7 1 3 6

Per voi: Provate che definisce una corrispondenza biunivoca  

          C ● P ● R ● ● Q P’   ● ● ● Q’ R’

    La relazione ≈ di equipotenza è transitiva, cioè se 𝐴≈𝐵 e 𝐵≈𝐶 allora 𝐴≈𝐶. Dato che ℝ≈ − 𝜋 2 , 𝜋 2 e − 𝜋 2 , 𝜋 2 ≈ 0,1 (questo è un esercizio per voi!) allora ℝ≈ 0,1 … ma ℕ non è equipotente ad ℝ! (basta far vedere che ℕ≉ 0,1 perché già sappiamo che ℝ≈ 0,1 ). (Procedimento diagonale di Cantor)

    NON esiste un insieme di cardinalità maggiore o uguale alla cardinalità di ogni altro insieme. Infatti: (Cantor)  

Ricordiamo:           (Cantor)       quindi:  

        𝐴 < 𝒫(𝐴) < 𝒫𝒫(𝐴) <…< 𝐵 < 𝒫 𝐵 < 𝒫𝒫 𝐵 <…

tutti gli insiemi con 37 elementi insiemi finiti     insiemi infiniti   aleph-con-zero     tutti gli insiemi con 37 elementi insiemi finiti   tutti gli insiemi con 1 elemento   Livello

… the conquest of actual infinity may be considered an expansion of our scientific hotizon no less revolutionary than the Copernican system or than the theory of relativity, or even quantum theory and nuclear physics. Abraham Fraenkel, Abstract set theory, North Holland, Amsterdam 1961