Moto rotatorio Il moto di un corpo rigido può essere descritto come costituito da un moto traslatorio del suo centro di massa più un moto rotatorio attorno al suo centro di massa. Per moto puramente rotatorio intendiamo quel moto durante il quale tutti i punti del corpo si muovono descrivendo una circonferenza. Ad esempio, il punto P in figura ed i centri di queste circonferenze giacciono su una linea chiamata asse di rotazione che è perpendicolare alla pagina e passa per il punto O. Per indicare la posizione angolare del corpo o di quanto ha ruotato specifichiamo l’angolo θ tra una certa linea particolare del corpo rispetto a una linea di riferimento, come ad esempio l’asse x. Un punto del corpo si muove lungo un angolo θ quando percorre la distanza l misurata lungo la circonferenza tracciata nel suo cammino circolare.

Su una giostra, un bambino è seduto su un cavallo vicino al bordo più esterno e un altro bambino è seduto su un leone a metà tra il bordo e il centro. Quale dei due bambini ha velocità lineare maggiore? Quale dei due bambini ha velocità angolare maggiore?

Il momento torcente  

Momento torcente di un bicipite    

Momento torcente su una ruota composita Quando su un corpo agisce più di un momento torcente, l’accelerazione α è proporzionale al momento torcente risultante. Se tutti i momenti torcenti agenti su un corpo tendono a ruotarlo nella stessa direzione, il momento torcente risultante è la somma di tutti i momenti torcenti. Se i due momenti torcenti tendono a produrre rotazioni opposte, il momento torcente risultante è la differenza dei due momenti torcenti. Si può assegnare un segno positivo al momento torcente che tende a ruotare il corpo in una certa direzione (diciamo antioraria) e un segno negativo al momento torcente che agisce per ruotare il corpo in direzione opposta (oraria)

Solo la componente di F che agisce nel piano perpendicolare all’asse di rotazione agisce in modo da far girare la ruota attorno al suo asse. La componente parallela all’asse di rotazione tende a far muovere l’asse stesso, che però si assume fisso

Dinamica rotazionale e inerzia  

Momento d’inerzia  

Problemi di dinamica rotazionale Due pesi di massa 5 Kg e 7 Kg sono montati su una barra leggera (la cui massa può essere ignorata) a una distanza di 4 m l’uno dall’altro. Si calcoli il momento di inerzia del sistema: Quando il sistema ruota attorno a un asse equidistante dai due pesi; Quando il sistema ruota intorno a un asse posto a 0.50 m a sinistra della massa di 5 Kg.

Momento d’inerzia di sistemi continui  

Un disco uniforme di massa M=2 Un disco uniforme di massa M=2.5 Kg e raggio R=20 cm montato su un mozzo orizzontale fisso. Un blocco m=1.2 Kg è appeso a un filo privo di massa avvolto intorno al bordo del disco. Si calcoli l’accelerazione di caduta del blocco, l’accelerazione angolare del disco e la tensione del filo. Il filo non slitta e il mozzo gira senza attrito.  

Energia cinetica di un corpo rigido  

Sfera che rotola lungo un piano inclinato Quale sarà la velocità di una sfera piena di massa M e raggio R quando raggiunge la base di un piano inclinato, se parte da ferma da una altezza H e rotola senza scivolare?  

La macchina di Atwood reale

Chi arriva prima? Diversi oggetti rotolano senza scivolare lungo un piano inclinato di altezza H; tutti partono da fermi nello stesso istante. Gli oggetti sono: un anello sottile, una biglia, una pila elettrica a forma di cilindro pieno, una lattina vuota e una piena chiusa. In quale ordine essi raggiungono il fondo del piano inclinato? La scatola che scivola vince sempre; la velocità di una sfera che rotola è minore alla base del piano inclinato di quella di una scatola che scivola poiché l’energia potenziale è trasformata completamente in energia cinetica traslazionale mentre per gli oggetti che rotolano l’energia potenziale iniziale si suddivide tra energia cinetica traslazionale e rotazionale

Lavoro del momento torcente Il lavoro fatto su un corpo che ruota attorno a un asse fisso può essere espresso utilizzando grandezze angolari. In figura, una forza F esercita un momento torcente 𝜏=𝑟∙𝐹 sulla ruota, compie un lavoro 𝐿=𝐹∙∆𝑙 nel far girare la ruota di un piccolo tratto ∆𝑙 La ruota ha ruotato di un piccolo angolo ∆𝜃= ∆𝑙 𝑟 . Quindi: 𝐿=𝐹∙∆𝑙=𝐹𝑟∆𝜃 Essendo 𝜏=𝑟∙𝐹 , si ha in definitiva: 𝐿=𝜏∙∆𝜃

Il momento angolare Così come le altre grandezze, anche la quantità di moto 𝑞=𝑚𝑣 ha un analogo rotazionale che prende il nome di momento angolare L e, per un corpo che ruota attorno a un asse fisso, è definita come: 𝐿=𝐼∙𝜔 Le unità di misura SI sono 𝐾𝑔∙ 𝑚 2 /𝑠 La seconda legge di Newton può essere scritta in termini di quantità di moto: 𝐹 = ∆𝑞 ∆𝑡 In modo del tutto simile, la legge 𝜏=Iα può essere scritto in termini di momento angolare, come: 𝜏=I∙ ∆𝜔 ∆𝑡 = 𝐼 𝜔− 𝜔 0 ∆𝑡 = 𝐼𝜔−𝐼 𝜔 0 ∆𝑡 = ∆𝐿 ∆𝑡

La conservazione del momento angolare Il momento angolare è una quantità che, in alcune condizioni, si conserva. Infatti, se il momento torcente su un corpo è zero, allora L non varia. Cioè: 𝐼𝜔=𝐼 𝜔 0

Una massa m, attaccata a una estremità di una cordicella ruota lungo una circonferenza sulla superficie di un tavolo priva di attrito. L’ altro capo della cordicella passa attraverso un buco nel tavolo. Inizialmente la massa ruota con una velocità 𝑣 1 lungo una circonferenza di raggio 𝑟 1 . La cordicella viene poi tirata lentamente attraverso il foro, in modo che il raggio sia ridotto a 𝑟 2 . Qual è ora la nuova velocità 𝑣 2 della massa? La forza esercitata dalla cordicella sulla massa m non ne altera il momento angolare attorno all’asse di rotazione poiché essa è diretta lungo l’asse per cui il braccio della forza è nulla e così pure il momento torcente. Quindi dalla conservazione del momento angolare si ha: 𝐼 1 𝜔 1 = 𝐼 2 𝜔 2 La nostra piccola massa è essenzialmente una particella il cui momento d’inerzia è 𝐼=𝑚 𝑟 2 . Perciò si ha: 𝜔 2 = 𝜔 1 ∙ 𝑟 1 2 𝑟 2 2 . Da cui si ricava v

Calcolare il momento torcente risultante rispetto all’asse della ruota mostrata. Si assuma che un momento torcente dovuto all’attrito è 0.40 mN si opponga al moto

I bulloni della testata di un motore devono essere serrati con un motore torcente di 80 mN. Se la chiave è lunga 28 cm quale forza deve esercitare il meccanico alla sua estremità e perpendicolarmente ad essa? Se la testa esagonale del bullone ha un diametro di 15 mm, si calcoli la forza applicata dalla chiave a ciascuno dei sei angoli.

Si calcoli il momento d’inerzia di una ruota da bicicletta del diametro di 66.7 cm. Il cerchione e il copertone hanno una massa totale di 1.25 Kg. La massa del mozzo può essere ignorata? Perché? Si calcoli il momento d’inerzia del sistema di oggetti puntiformi mostrati in figura rispetto all’asse verticale e rispetto all’asse orizzontale. Si assuma che gli oggetti siano tenuti insieme da pezzi rigidi di filo metallico molto leggero. Intorno a quale asse sarà più difficile accelerare questo sistema?

Per far sì che un satellite cilindrico piatto e uniforme ruoti alla velocità corretta, gli ingegneri hanno acceso quattro razzi come mostrato. Se il satellite ha massa di 2600 Kg e un raggio di 3 m, quale deve essere la forza stazionaria applicata da ciascun razzo se il satellite deve raggiungere 30 giri per minuto in 5 minuti?

L’avambraccio mostrato in figura fornisce a una palla di massa 3 L’avambraccio mostrato in figura fornisce a una palla di massa 3.6 Kg una accelerazione di 7 𝑚/ 𝑠 2 per mezzo del muscolo tricipite. Si calcoli il momento torcente necessario e la forza che deve essere esercitata dal muscolo tricipite. Si ignori la massa del braccio. Assumendo che una palla di 1.50 Kg venga lanciata solo per mezzo dell’avambraccio che ruota intorno all’articolazione del gomito sotto l’azione del muscolo tricipite, la palla viene accelerata da ferma a 10 m/s in 0.350s e quindi rilasciata. Si calcoli l’accelerazione angolare del braccio e la forza occorrente al muscolo tricipite. Si supponga che l’avambraccio abbia una massa di 3.70 Kg e ruoti come un bastone uniforme rispetto a un asse posto alle sue estremità.

La pala del rotore di un elicottero può essere considerata un lungo bastone sottile. Se ciascuna delle tre pale del rotore è lunga 3.75 m e ha una massa di 160 Kg si calcoli il momento d’inerzia delle tre pale rispetto all’asse di rotazione. Quale momento torcente deve applicare il motore per portare le pale a una velocità di 5 m/s in 8s?

Si considerino due masse collegate da una corda inestensibile priva di massa che passa sopra una carrucola . Se la carrucola ha raggio R e un momento d’inerzia I rispetto al suo asse, si determini l’accelerazione delle due masse e la si confronti con la situazione in cui il momento d’inerzia della carrucola viene ignorato. Se le due masse hanno un valore rispettivamente 𝑚 1 =18 𝐾𝑔 ed 𝑚 2 =126.5 𝐾𝑔. La carrucola è un cilindro uniforme di raggio 0.260 m e la massa 7.50 Kg. Inizialmente 𝑚 1 è appoggiata al terreno e 𝑚 2 è ferma a 3 m di altezza. Se il sistema viene lasciato libero di muoversi, si utilizzi la conservazione dell’energia per determinare la velocità di 𝑚 2 appena prima che colpisca il terreno

Una persona è ferma in piedi con le braccia distese lungo il corpo su una piattaforma che sta ruotando alla velocità di 1.30 rad/s. se ora la persona solleva le braccia in posizione orizzontale, la velocità di rotazione decresce a 0.8 rad/s. Perché? Di che fattore è cambiato il momento d’inerzia della persona?

Il pendolo fisico Una piastra metallica rettangolare omogenea di massa m, con lati b e c, è appesa a un asse orizzontale ad essa e passante per il punto mediano A del suo lato minore. Si determini la legge del moto per piccole oscillazioni; si calcoli, in funzione del tempo, la risultante e il momento risultante delle reazioni vincolari. La sola forza attiva è la forza peso; pertanto: 𝐴𝐶×𝑚𝑔 = 𝐼 𝑎 𝑑 2 𝜃 𝑑 𝑡 2 Proiettando sull’asse a del momento della forza peso: 𝐴𝐶×𝑚𝑔 =−𝑚𝑔 𝑐 2 𝑠𝑖𝑛𝜃 Da cui: −𝑚𝑔 𝑐 2 𝑠𝑖𝑛𝜃= 𝐼 𝑎 𝑑 2 𝜃 𝑑 𝑡 2

Per piccole oscillazioni 𝑠𝑖𝑛𝜃=𝜃: 𝑑 2 𝜃 𝑑 𝑡 2 + 𝑚𝑔𝑐 2 𝐼 𝑎 𝜃=0 La soluzione è del tipo: 𝜃= 𝜃 0 𝑠𝑖𝑛 𝜔 0 𝑡+𝜑 Il pendolo di torsione è costituito da un cilindro omogeneo teso fra due vincoli A e B. Ruotando inizialmente il cilindro di un angolo 𝜃 0 e abbandonandolo da fermo esso prende a oscillare in virtù del momento assiale di richiamo 𝑀=−𝑐𝜃con cui il filo reagisce alla torsione. Si avrà: −𝑐𝜃= 𝐼 𝑎 𝑑 2 𝜃 𝑑 𝑡 2 ovvero: 𝑑 2 𝜃 𝑑 𝑡 2 + 𝑐 𝐼 𝑎 𝜃=0

Una biglia di massa m e raggio r rotola lungo il percorso ruvido e piegato ad anello come mostrato. Qual è il valore minimo di h perché la biglia raggiunga il punto più alto dell’avvolgimento senza lasciare il percorso? Si consideri prima il caso di r << R ignorando le perdite di energia dovute all’attrito. Si ripeta il problema senza assumere r << R

Attorno ad un disco di massa M e raggio R è avvolta come mostrato in figura una fune ideale al cui estremo è sospeso, in quiete, un blocchetto di massa m = (3/2)M. All’istante iniziale il blocchetto viene lasciato libero di muoversi causando la rotazione del disco attorno all’asse passante per il suo centro O. Sapendo che sull’asse di rotazione del disco si esercita un momento d’attrito costante, tattrito, si studi il moto del sistema disco + blocchetto, calcolando l’accelerazione angolare del disco, l’accelerazione del blocchetto e la tensione della fune. Rispondere quindi alle seguenti domande, tenendo conto dei seguenti dati numerici: (M=10 kg, R=20 cm, 𝐼 0 = 1 2 𝑀 𝑅 2 , tattrito=5 N×m): l’equazione del moto per il disco; l’equazione del moto per il blocchetto; l’accelerazione del blocchetto; l’accelerazione angolare del disco; la tensione T della fune

Il sistema rappresentato in figura consta di un disco, di massa M e di raggio R, che rotola senza strisciare su di un piano orizzontale, di una carrucola ideale e di un blocco di massa m, posto su di un piano scabro, inclinato di un angolo θ rispetto alla verticale. Il disco viene messo in moto da un filo ideale, ovvero inestensibile e privo di massa, teso, che è legato ad un estremo al centro O del disco, mediante un gancio G di massa trascurabile, mostrato nel riquadro sinistro della figura, e all’altro suo estremo al blocco. Si assuma che il gancio sia sistemato in maniera tale da non produrre attrito sul disco, quando quest’ultimo è in rotazione e che tra il blocco e il piano inclinato scabro il coefficiente di attrito dinamico valga μ. Il sistema è inizialmente fermo. Si risolva il problema in condizioni dinamiche utilizzando i seguenti dati numerici: M =2.00 Kg, m =1.00 Kg, , θ =30°; R=10.0 cm; d=1.60 m, μ = 3 /2 e di calcolino: La reazione vincolare normale al piano inclinato; L’accelerazione del blocco Il modulo della tensione del filo Il modulo della forza di attrito tra il disco e il piano orizzontale La velocità del centro di massa del disco

Si consideri un rocchetto di massa M costituito da due dischi laterali e da un cilindro centrale saldati in modo da essere coassiali. I dischi laterali hanno raggi 3R e il cilindro centrale ha raggio R. Il momento d’inerzia del rocchetto rispetto al suo centro di simmetria vale 𝐼 0 =2𝑀 𝑅 2 . Il rocchetto, collegato ad una massa m tramite una fune ideale che si avvolge sul cilindro centrale di raggio R scende lungo un piano inclinato di un angolo α rotolando senza strisciare. Posto m=0.5 Kg, M= 6m, R=5 cm, sinα=1/3, si calcoli: l’accelerazione lineare della massa m L’accelerazione angolare del rocchetto La tensione della fune La forza di attrito