Perfect sampling di processi di coda UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA TOR VERGATA Corso di laurea in Ingegneria dei Modelli e dei Sistemi Studente: Paolo Massaro Relatore: Prof. Benedetto Scoppola

Sommario I processi di coda M/M/1 e M/D/1 Catene di Markov e algoritmi per il perfect sampling Implementazione della modifica di Wilson per simulare processi di coda Conclusioni e sviluppi futuri

Processi di coda Popolazione di utenti Servizio Processo di arrivi nel sistema Tempi di servizio Numero di serventi Lunghezza massima della linea

Processo di coda M/M/1 Arrivi Poissoniani (con tempo medio di interarrivo ) Tempi di servizio esponenziali (con tempo medio di interuscita ) Un solo servente Linea illimitata

Processo di coda M/M/1/k Arrivi Poissoniani (con tempo medio di interarrivo ) Tempi di servizio esponenziali (con tempo medio di interuscita ) Un solo servente Linea limitata a k utenti

Processo di coda M/D/1 Arrivi Poissoniani (con tempo medio di interarrivo ) Tempi di servizio deterministici (con tempo di servizio ts) Un solo servente Linea illimitata

Processo di coda M/D/1/k Arrivi Poissoniani (con tempo medio di interarrivo ) Tempi di servizio deterministici (con tempo di servizio ts) Un solo servente Linea limitata a k utenti

Data una qualsiasi distribuzione iniziale le catene irriducibili e aperiodiche tendono alla distribuzione stazionaria Processo memory-less a tempo discreto con spazio degli stati e caratterizzato da una matrice di transizione P: Irriducibilità: se è possibile passare da ogni stato a tutti gli altri in un tempo finito. Periodo di uno stato i: La catena è aperiodica se il periodo di tutti gli stati è pari a 1. Catena di Markov

Modellizzazione M/M/1/k Valore atteso del tempo di transizione:

Modellizzazione M/M/1/k Scontro con la parete in 0 Scontro con la parete in k

Simulazione delle catene di Markov Ci sono due problemi: Si può sempre avere un errore ε rispetto alla distribuzione stazionaria Non è facile capire quante iterazioni servono per rendere ε piccolo come desiderato

Algoritmo di Propp-Wilson Produce dei risultati perfettamente in accordo alla distribuzione stazionaria Capisce automaticamente quando terminare. Lalgoritmo è di difficile implementazione. Modifica di Wilson con read-once-randomness

La modifica di Wilson Funzione di aggiornamento: Coalescenza: per ogni stato del sistema si simula la catena, che si evolve tramite una funzione di aggiornamento e una successione di numeri casuali, che sono sempre gli stessi per tutte le k catene, fino a quando tutte le catene terminano nello stesso stato

Coalescenza Coalescenza della catena per la M/M/1/k

La modifica di Wilson Coalescenza della coppia vincente Coalescenza della coppia perdente Perfect sampling al 50%

La modifica di Wilson

Stima del tempo di convergenza Il valore atteso del tempo per avere il perfect sampling è: : tempo per il perfect sampling : tempo per la coalescenza di una coppia perdente : tempo per la coalescenza di una coppia vincente : tempo generico per la coalescenza

Stima del tempo di convergenza

Stima del tempo di coalescenza Il valore atteso del tempo per avere k scontri è: se

Confronto tra stima e valori simulati Ponendo

Fenomeno di cutoff Il fenomeno di cutoff si verifica quando una catena di Markov converge improvvisamente alla misura stazionaria. Stima della finestra di cutoff:

Fenomeno di cutoff

Conclusioni La comprensione dellalgoritmo di Wilson con read-once-randomness ha permesso di: Simulare la distribuzione stazionaria della M/M/1/k e della M/D/1/k Trovare una stima analitica del tempo per giungere al regime stazionario

Conclusioni Esempio Se consideriamo la pista di un aeroporto come una M/D/1, con tempo di servizio 2 minuti, utilizzata al 98% il tempo medio stimato per ottenere un perfect sampling è di circa 6000 minuti ovvero 100 ore.

Sviluppi futuri Individuare una stima analitica per la M/D/1/k Trovare una stima più precisa quando ε tende a 0 Approfondire il fenomeno di cutoff

Grazie per lattenzione