Lo stimatore per quoziente è asintoticamente corretto Lo stimatore per quoziente è asintoticamente corretto. Per la definizione di stimatore asintoticamente corretto, formula (2.15) pg. 33.

Campione casuale stratificato proporzionale nh/n = Nh/N =Wh  nh= n* Nh/N = n*Wh Campioni casuali stratificati con allocazione ottimale. In questo caso si vuole avere un tasso di campionamento diversificato per ogni strato. In particolare si vuole incrementare la numerosità negli strati ad elevata variabilità, diminuirla dove invece è meno elevata al fine di minimizzare la var(yst). Il minimo di var(yst) si ottiene quando i valori di fh sono dati da: fh=nh/Nh=Wh*Sh/Wh*Sh,  nh= n* Wh*Sh/Wh*Sh

(moltiplicativo) (additivo)

Esercizio 1 Il provveditorato di una data città vuole valutare il totale degli studenti delle scuole superiori che frequentano le piscine comunali nelle due ore settimanali di educazione fisica. Sapendo che nella città sono presenti 30 scuole superiori, per un totale di 15674 studenti, si estrae con probabilità costante un campione SSR di 4 scuole, ottenendo i seguenti risultati: Scuole Numero studenti Studenti frequentanti le piscine 1 540 302 2 458 221 3 420 246 4 638 326 a) Stimare il totale degli studenti che frequentano le piscine comunali nelle ore di educazione fisica. b) Proporre una strategia alternativa e indicarne le condizione di applicazione. c) Confrontare le strategie e dire quale risulta più efficiente.

Soluzione esercizio 1 Mse= c) Confrontando gli MSE dei due stimatori si osserva che lo stimatore per quoziente è più efficiente Mse=

Esercizio 2

Soluzione esercizio 2

Esercizio 3

Soluzione esercizio 3 14045,60764

Soluzione esercizio 4

Soluzione esercizio 4

Soluzione Esercizio 4

Soluzione Esercizio 4

Esercizio 5 Un proprietario agricolo vuole prevedere, con la maggiore accuratezza possibile, la produzione dell'anno corrente di un terreno di 1000 ettari. Per i primi 10 appezzamenti sperimentali di un ettaro ciascuno ha già ottenuto la produzione nell'anno in corso, misurata in numero di piante e ha conservato, inoltre, i dati relativi alla produzione di tali appezzamenti nell'anno passato. I dati sulla produzione dei 10 appezzamenti sono riportati nella seguente tabella Sapendo che la produzione totale dell'anno passato è stata di 21000 piante e sapendo che nella teoria del campionamento da popolazioni finite sono disponibili due stimatori alternativi che sfruttano le informazioni su una variabile ausiliaria, 1. si stimi il valore della produzione totale dell'anno in corso utilizzando i due stimatori; 2. si stimi la varianza dei due stimatori; 3. sulla base dei risultati ottenuti si dica quale dei due stimatori è preferibile e si discutano le condizioni in base alle quali tale stimatore è preferibile all'altro.

Soluzione Esercizio 5 3. Lo stimatore per quoziente va utilizzato quando esiste una dipendenza lineare rappresentabile da una retta uscente dall’origine; se la dipendenza è lineare ma non rappresentabile da una retta uscente dall’origine si usa lo stimatore per regressione. E’ conveniente, quindi, disegnare la nuvola di punti e valutare la dipendenza.

Esercizio 6 La direzione generale di un istituto bancario a diffusione nazionale desidera valutare l'opinione dei propri dipendenti in merito all'apertura degli sportelli nella mattina del sabato; decide quindi di selezionare casualmente 32 agenzie delle 121 presenti sul territorio e ripartite in macrozone come riportato nella seguente tabella: Macrozone Nord Centro Sud Isole Totale agenzie 60 34 19 8 Nell’ipotesi di intervistare tutti i dipendenti delle 32 agenzie scelte, la rilevazione ha fornito la seguente proporzione di favorevoli all'apertura degli sportelli di sabato mattina: Prop. favorevoli 0,12 0,11 0,08 0,07 a) Si definisca il piano di campionamento e si effettui l'allocazione più opportuna per il campione. b) Si stimi la proporzione di dipendenti favorevoli all'apertura straordinaria del sabato mattina. c) Si dica con quali criteri possono essere state definite le stime delle percentuali di favorevoli nelle macrozone.

Soluzione esercizio 6

Esercizio 7 Allo scopo di stimare l'ammontare mensile delle multe per infrazione al codice della strada, l'amministrazione di una certa provincia italiana ha deciso di effettuare una indagine campionaria scegliendo casualmente 40 dei suoi comuni. Nell'ipotesi che i comuni siano stati ripartiti in tre strati in funzione della loro dimensione demografica e disponendo delle seguenti informazioni: 1. si effettui l'allocazione che si ritiene più opportuna; 2. si stimi l'ammontare mensile delle multe per l'intera provincia mettendo a confronto le due strategie suggerite dalle informazioni date;

Soluzione esercizio 7

Soluzione esercizio 7 c) In alternativa allo stimatore per quoziente, si può utilizzare lo stimatore per regressione combinato, ottenendo i seguenti risultati: In questo caso, risulta evidente il guadagno in termini di efficienza.