Guida ISO all’espressione dell’incertezza di misura (GUM) – ISO Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement Cenni di teoria Esercizi

MODELLO è scelto in funzione di ciò che si vuole misurare Incertezza di misura Ogni volta che si voglia misurare un fenomeno (o un oggetto) significa che ad esso, che è reale, si sta applicando un modello, di cui si vogliono stimare i parametri caratteristici. L’incertezza da cui è affetta la stima di un parametro deriva dalle differenze che esistono tra la realtà ed il modello che la rappresenta, dal fatto che i trasduttori con cui la misura viene realizzata non sono ideali, dall’operatore che esegue la misura, da grandezze non sotto controllo che possono interferire con la misura, ecc … L’incertezza non può essere completamente evitata, la maggior parte di essa può essere stimata, una parte di essa può essere ridotta. È importante ricordare che il MODELLO è scelto in funzione di ciò che si vuole misurare

Ad ogni misura o stima va associato un valore di incertezza Incertezza di misura Ad ogni misura o stima va associato un valore di incertezza Approcci diversi conducono alla stessa conclusione: Il valore vero non esiste, o Se il valore vero esiste è sconosciuto Si utilizzano funzioni di distribuzione di probabilità per descrivere il risultato di una misura

“misurazione”: processo sperimentale attraverso il quale si ottengono informazioni circa l’intensità di una certa quantità o grandezza (implica una procedura di misura basata su un MODELLO teorico) “misurando”: oggetto di una misurazione, quantità (o grandezza) che deve essere misurata “misura” o “risultato della misurazione”: insieme di valori ragionevolmente attribuibili al misurando. Solitamente la misura è espressa fornendo la stima del misurando con il relativo valore di incertezza. “incertezza”: dispersione dei valori del misurando “ERRORE”: quantità che dovrebbe essere corretta o evitata. Termine che non si deve utilizzare riferendosi all’incertezza “valore vero”: obiettivo ideale della stima attraverso la misura: non esiste o non è conoscibile Terminologia

L’incertezza può essere stimata: Incertezza di misura L’incertezza può essere stimata: Per mezzo di valutazioni basate sull’esperienza (storico di dati, analisi della documentazione tecnica, esperienze precedenti …) [CATEGORIA B] FDP ipotizzata Per mezzo di misure ripetute dello stesso misurando (analisi statistica dei risultati) [CATEGORIA A] FDP misurata Per mezzo della propagazione dell’incertezza, nel caso di misure indirette [incertezza combinata] FDP combinata

Propagazione dell’incertezza (GUM) APPROCCIO GENERALE: Considera eventuali correlazioni Polinomio approssimato alle derivate di primo grado Date u(xi), incertezza associata al valore xi e r(xi,xj), coefficiente di correlazione lineare tra xi and xj

Propagazione dell’incertezza (GUM) FORMA SEMPLIFICATA: Viene utilizzata quando i parametri sono fra loro indipendenti (non vi sono incertezze correlate)

Esercizio 1: Modulo di elasticità tangenziale Considerando l’immagine sottostante, si vuole misurare il modulo di elasticità tangenziale G della barra di acciaio per mezzo dell’applicazione di un momento torcente T e della misura dello spostamento angolare ϑ conseguente. θ 2R L F a

Esercizio 1: Modulo di elasticità tangenziale Sono state raccolte le seguenti informazioni sulle grandezze coinvolte: 2R 16 mm (calibro ventesimale) L 1 m (tolleranza di produzione = ±10mm) 2a 240 mm (metro con tacche da 1 mm) ϑ 0.81 rad (encoder ottico suddiviso in 360 unità) Della forza F [N] sono state effettuate le seguenti misure ripetute, per mezzo di un dinamometro digitale: 30.29 30.17 31.22 31.00 30.90 30.94 30.87 29.90 30.35 30.05

Esercizio 1: Soluzione 1) TROVARE L’EQUAZIONE RISOLVENTE CHE LEGHI TUTTI I PARAMETRI: È un’equazione in forma chiusa? È fortemente non lineare nell’intorno del valore stimato? Le grandezze coinvolte sono fra loro indipendenti?

Esercizio 1: Soluzione 2) IDENTIFICAZIONE DELLE GRANDEZZE COINVOLTE: Categoria [A,B] Unità di misura Valore stimato Distribuzione di probabilità Incertezza associata Coefficiente di influenza (derivata parziale del I ordine) NB: le unità di misura devono essere COERENTI! B [mm] A [N] B [rad] [MPa]

Esercizio 1: Soluzione CATEGORIA A: n misure ripetute (dello stesso misurando) Valore stimato media Incertezza varianza/n½ Gradi di libertà num del campione – num parametri stimati In teoria i gradi di libertà sono utilizzati per ESTENDERE l’incertezza, noi non li utilizziamo

Esercizio 1: Soluzione CATEGORIA B: si ottiene con valutazioni basate sull’esperienza: stima della FDP e dei sui parametri caratteristici Triangolare media = stima semiampiezza = a Uniforme media = stima semiampiezza = a Normale media = stima varianza = σ² a x a x σ x

Esercizio 1: Soluzione Si calcolano i dati statistici derivanti dall’incertezza di categoria A Il modo migliore di procedere è riempire una tabella nelle cui righe si trovano le grandezze coinvolte e nelle colonne i valori necessari per calcolare l’incertezza Incertezza Standard

Esercizio 1: Osservazioni Quando nella stima dell’incertezza di misura il principale contributo è rappresentato dalla risoluzione, si utilizza il seguente approccio: FDP uniforme: semiampiezza = metà risoluzione ma come regola pratica si usa comunemente FDP uniforme: semiampiezza = risoluzione in favore della sicurezza Quando si misurano grandezze indirette è importante ricordare di calcolarne l’incertezza utilizzando il metodo di propagazione. Ad es. se 2R è un diametro, misurato con un’incertezza di 0.028 mm, e si vuole calcolare il raggio R: u²(R)=u²(2R)/4=>u(R)=u(2R)/2

Esercizio 1: Soluzione Si stimano i coefficienti di influenza ci utilizzando le derivate parziali, calcolate numericamente o analiticamente nel valore stimato della grandezza considerata. Se necessario si calcolano i coefficienti di correlazione, sebbene sia meglio, se possibile, scrivere l’equazione che descrive il fenomeno in modo che tutte le grandezze siano indipendenti fra loro.

Esercizio 1: Soluzione 3) CALCOLARE LA STIMA DELLA GRANDEZZA DERIVATA 4) CALCOLARE L’INCERTEZZA COMBINATA L’incertezza può essere espressa con al più due cifre significative e il valore stimato deve avere la stessa risoluzione dell’incertezza

Esercizio 1: Soluzione 5) CALCOLARE L’INCERTEZZA ESTESA Si sceglie un livello di fiducia: es. 99% Si determina il fattore di copertura utilizzando la distribuzione normale standardizzata 6) SCRIVERE IL RISULTATO IN FORMA RIGOROSA G=704±29 MPa (P=99%) oppure G=704±29 MPa (k=2.58) oppure G=704 MPa U99% (G)=29 MPa P k 60% 0.84 95% 1.96 99% 2.58

Esercizio 1 : Analisi approfondita UMF: Fattore di amplificazione (Uncertainty Magnification Factor) Indica di quanto viene amplificata l’incertezza di ciascuna grandezza in ingresso in funzione dell’equazione che descrive il fenomeno. DIPENDE SOLO DALL’EQUAZIONE SCELTA Utile nell’analisi che precede l’acquisto di un trasduttore, in modo da identificare le grandezze più (UMF>1) o meno (UMF<1) critiche

Esercizio 1 : Analisi approfondita UPC: Uncertainty Percentage Contribution Indica quanta dell’incertezza combinata dipende dall’incertezza della grandezza in ingresso Tiene conto sia dell’equazione che rappresenta il modello sia delle incertezze realmente coinvolte Utile per controllare se vi siano alcune grandezze la cui misura vada migliorata Name UPC L 6.6% a 2.3% R 20.5% θ 60.9% F 9.7%

Riassunto dell’approccio basato sulla GUM VANTAGGI: Facile da usare, semplicità dei calcoli richiesti Permette di introdurre utili indicatori (UPC,UMF) Permette di ottenere una visione globale del processo di misura SVANTAGGI: L’approssimazione del problema è solo al primo ordine Richiede che l’equazione risolvente sia in forma chiusa Può nascondere gradi di libertà

Esercizio 2: Altezza di un edificio Dalle misure di un edificio ottenute utilizzando un odometro avente diametro = 300 mm e 100 divisioni ed un inclinometro, avente passo pari a 1/10 di grado, si sono ottenuti i seguenti valori ϑ1=61.5° ϑ2=-8.0° L=15m h1 =Ltgϑ1 h2 =Ltgϑ2 H = h1+h2 H = L(tgϑ1+tgϑ2) Ricavare l’altezza dell’edificio come misura indiretta, scrivendo il risultato in forma rigorosa, riportando l’incertezza di misura estesa al 95% H ϑ1 ϑ2 L H=29.73 ± 0.14 m (k=1.96)

Esercizio 3: Punta su un disco Viene chiesto di misurare il carico applicato ad una punto che striscia su un disco che ruota in una prova volta a determinare il coefficiente di attrito fra i due oggetti, in funzione del materiale di cui sono costituiti. Il carico viene esercitato per mezzo di un attuatore idraulico, utilizzando un moltiplicatore di pressione rappresentato in figura. Sapendo che il diametri sono stati misurati utilizzando un calibro ventesimale e considerando le pressioni in figura, quale trasduttore è il più adatto allo scopo, sapendo che hanno lo stesso prezzo? Quale incertezza può essere associata alla misura dal carico? Trasduttore 1: fondo scala = 300 kPa, incertezza complessiva = 1%FS Trasduttore 2: fondo scala = 10 MPa, incertezza complessiva 2%FS p2≈200kPa p1=p2 (d2/d1)² d2=200mm d1=40mm d0=10mm