MATRICI classe 3 A inf (a.s 2006-2007)

Sommario : Operazioni tra matrici(1) Tipi di matrici Le matrici Operazioni tra matrici(1) Tipi di matrici Operazioni tra matrici(2) Diagonali Determinante Matrice trasposta Caratteristica (o Rango) Matrice inversa

MATRICE Si chiama matrice una tabella che ordina m x n numeri in m righe ed n colonne. Si chiamano elementi di una matrice gli m x n numeri presenti in essa. colonne righe 1  i  k 1  j  l

Ad esempio dati 5 X 4 numeri, la tabella che li ordina in 5 righe ed in 4 colonne ,chiamata matrice, è sotto rappresentata Prima riga 2 7 1 0 7 0 2 8 9 2 5 7 4 6 3 8 2 7 8 9 Seconda colonna

TIPI DI MATRICI Matrice riga: è formata da una sola riga. Matrice rettangolare: il numero delle righe è diverso da quello delle colonne. Rettangolare Quadrata Vettore riga Vettore colonna 4 x 3 Matrice quadrata: il numero delle righe è uguale da quello delle colonne. 4 x 4 Matrice riga: è formata da una sola riga. 1 x 4 Matrice colonna: è formata da una sola colonna. 5 x 1

Matrice unità e matrice nulla La matrice unità è quella matrice in cui la diagonale principale è formata da tutti 1 e gli altri sono tutti 0. La matrice nulla è quella formata da tutti 0.

Diagonale secondaria Diagonale principale DIAGONALI DI UNA MATRICE Nelle matrici quadrate esistono due diagonali quella principale e quella secondaria. La diagonale principale è l’insieme degli elementi aii in cui gli indici sono uguali. La diagonale secondaria è L’insieme egli elementi aij in cui i+j=n+1 (n ordine matrice). Diagonale secondaria Diagonale principale

aij aji MATRICE TRASPOSTA: MATRICE INIZIALE: MATRICE TRASPOSTA: 4 6 4 6 7 5 0 7 5 6 0 2 x 3 3 x 2 La matrice trasposta è la matrice che scambia i termini della riga con quelli della colonna. aij aji

MATRICE INVERSA: MATRICE INIZIALE: MATRICE INVERSA: -1 3 -2 1 1/5 -3/5 -1 3 -2 1 1/5 -3/5 2/5 -1/5 A= Det(A)=5 A-1 = La matrice inversa di una matrice quadrata esiste solo se il determinante è diverso da zero. Essa si ottiene sostituendo al generico elemento aij il quoziente tra il suo complemento algebrico Aij ed il determinante di A e considerando poi la trasposta di questa nuova matrice. .Essa si indica con A-1 tale per cui A*A-1 =A-1 *A=In dove I è la matrice identità

Aji aij det(A) Aji= trasposta di Aij Aij=(-1)i+j * (Mij)= Det(A)= Complemento algebrico di aij Mij =minore complementare di aij ,è il determinante che si ottiene sopprimendo la i-esima riga e la j-esima colonna della matrice A Det(A)= Determinante di A

Operazione tra matrici: addizione e sottrazione Queste due operazioni possono essere svolte sulle matrici solo se esse sono dello stesso tipo .

- + = = ADDIZIONE: 4 6 7 3 0 4 5 6 8 7 9 2 1 0 1 4 9 SOTTRAZIONE: 4 6 4 6 7 3 0 4 5 6 8 7 9 2 1 0 1 4 9 + = SOTTRAZIONE: 4 6 7 3 0 2 1 0 1 5 9 0 3 6 6 -2 -9 - =

5 = MOLTIPLICAZIONE uno scalare per una matrice 3 2 4 15 10 20 1 3 1 3 2 4 1 3 1 15 10 20 5 15 5 5 = X scalare Inserisci la condizione affinchè tale prodotto si possa svolgere

Operazione tra matrici:moltiplicazione è possibile attuare l’operazione di moltiplicazione tra matrici solo ed esclusivamente se le 2 matrici sono del tipo: am,n x bn,t cm,t il risultato della moltiplicazione tra la matrici A e la matrice B, dove la matrice A è del tipo mxn e la matrice B è del tipo nxt, è rappresentato da una terza matrice C del tipo mxt.

x am,n X bn,t =cm,t Il generico elemento chk è dato dalla somma dei singoli elementi della h-esima riga della prima matrice moltiplicati ciascuno per il corrispondente elemento della k-esima colonna della seconda matrice c11=3*1+8*3+5*4 c12=3*2+8*5+5*5 c23=7*0+8*4+5*0 ...

DETERMINANTE DI UNA MATRICE: Il determinante di una matrice quadrata ,al contrario della matrice che è un insieme di numeri, è un numero. Il determinante di una matrice si definisce per induzione Il simbolo con cui viene identificato non è uguale alla matrice 5 7 2 3 determinante 5 7 2 3 matrice

m=1 Il determinante di una matrice del primo ordine è uguale al numero stesso che compare nella matrice. 5 det = 5 5 = = 5 m=2 Il determinante di una matrice del secondo ordine è uguale alla differenza fra il prodotto dei due elementi della diagonale principale e il prodotto dei due elementi della diagonale secondaria. 5 7 2 3 5 7 2 3 = 5*3 - 7*2 = 15-14 = 1

m=3 2 1 3 3 1 -1 -1 2 2 Il determinante di una matrice di terzo ordine è uguale alla somma dei prodotti di una qualunque riga (o colonna) per i rispettivi il det della matrice di ordine 2 ottenuta da A togliendo la riga e la colonna cui l’elemento appartiene, preceduto dal segno + o – a seconda che aij sia di classe pari (i+j=pari) o dispari. = 1 -1 2 2 3 -1 1 2 3 1 -1 2 = 2 * - 1 * + 3 * = 1 -1 2 2 1 3 2 2 1 1 3 -1 = 2 * - 3 * - 1 * =

m=4 1 2 3 4 0 -1 1 2 -2 -3 0 8 1 0 -3 0 = gli elementi dell’ultima riga 1 2 4 0 -1 2 -2 -3 8 2 3 4 -1 1 2 -3 0 8 + 0 = = -1 * + 0 + 3 * gli elementi della prima colonna -1 1 2 -3 0 8 0 -3 0 2 3 4 -1 1 2 0 -3 0 2 3 4 -1 1 2 -3 0 8 =1 * + 0 - 2 * -1* =

generalizzando Aij=(-1)i+j * (Mij) Determinante A somma dei prodotti degli elementi di una qualsiasi riga o di una qualsiasi colonna per i rispettivi complementi algebrici Complemento algebrico di aij è Aij=(-1)i+j * (Mij) Mij minore complementare di aij ,è il determinante che si ottiene sopprimendo la i-esima riga e la j-esima colonna a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 detA= a11 * (1)1+1 * A11 + a12 * (1)1+2 * A12 + a13 * (1)1+3 * A13 + a14 * (1)1+4 * A14 Ho corretto

Regola di Sarrus: Esempio: 2 1 3 3 1 -1 -1 2 2 2 1 3 1 -1 2 = La regola di Sarrus permette di calcolare il determinante di una matrice solo se essa è di ordine 3. Esempio: 2 1 3 3 1 -1 -1 2 2 2 1 3 1 -1 2 = = [(2*1*2)+(1*(-1)*(-1))+(3*3*2)] -[(3*1*(-1))+(2*(-1)*2)+(1*3*2)]= = (4+1+18)-(-3-4+6) = 23 + 1 = 24

Tale valore è il determinante. IN PRATICA Si aggiungono alla matrice le prime due colonne; Si individuano così 3 diagonali principali, e 3 diagonali secondarie Si sommano i prodotti degli elementi che si trovano su ciascuna di queste diagonali Si sottrae dalla somma ottenuta il valore ottenuto sommando i prodotti degli elementi che si trovano sulle diagonali Tale valore è il determinante.

PROPRIETÀ DEI DETERMINANTI È ininfluente la scelta della linea nella ricerca del determinante; Se in una matrice una linea viene moltiplicata per un numero reale K allora anche il determinante della matrice risulta moltiplicato per k; Se in una matrice due linee sono in proporzione, il determinante è nullo; Se in una matrice ad ogni elemento di una riga (o colonna) si somma il corrispondente elemento di un’altra riga(o colonna), moltiplicato per un numero K,allora il determinante non cambia.

CARATTERISTICA (O RANGO): data una matrice qualsiasi, chiamo “rango” o caratteristica, l’ordine massimo del minore #0. Data una di matrice di ordine(m,n) MINORE di ordine h è il determinante di una sottomatrice di ordine h ottenuta dalla principale eliminando da essa la m-h righe ed n-h colonne Consideriamo la seguente matrice 3 x 4,da essa togliamo 3-3=0 righe e 4-3=1 colonne, otteniamo una sottomatrice di ordine 3 4 2 -3 1 8 3 -6 2 2 1 1 -1

Dalla matrice principale è possibile estrarre 3 sottomatrici Dalla matrice principale è possibile estrarre 3 sottomatrici. la seguente è quella ottenuta eliminando la seconda colonna Questa sottomatrice è del 3° ordine. Il suo determinante si chiama “minore di ordine 3”e poiché esso NON E’ NULLO, si dirà che la matrice ha Rango=3 4 -3 1 8 -6 2 2 1 -1 È possibile anche estrarre delle sottomatrici del 2° ordine; quella sotto ne è un esempio 4 2 8 3 Il suo determinante si chiama “minore di ordine 2”