Esercitazioni sulla Probabilità Ricevimento: lunedì 11-12 c/o il laboratorio di Psicometria – I° Piano ex-Farmacia

Evento indipendente con un’unica estrazione Esercizio 1 Da un mazzo di 40 carte viene estratta una carta. Calcolare la probabilità di ottenere: Un asso Una carta di bastoni Una figura Evento indipendente con un’unica estrazione

Svolgimento esercizio 1 PROBABILITA’ DI OTTENERE UN ASSO Qual è il numero degli eventi favorevoli? Qual è il numero degli eventi possibili? 4 40

Svolgimento esercizio 1 PROBABILITA’ DI OTTENERE UNA CARTA DI BASTONI Qual è il numero degli eventi favorevoli? Qual è il numero degli eventi possibili? 10 40

Svolgimento esercizio 1 PROBABILITA’ DI OTTENERE UNA FIGURA Qual è il numero degli eventi favorevoli? Qual è il numero degli eventi possibili? 12 40

Evento mutualmente escludentisi Esercizio 2 Da un mazzo di 40 carte viene estratta una carta. Calcolare la probabilità di ottenere: Un fante o un re Una figura o una carta inferiore a “sei” Di non ottenere una figura Evento mutualmente escludentisi

Svolgimento esercizio 2 PROBABILITA’ DI OTTENERE UN FANTE O UN RE Quale principio applichiamo? Qual i sono gli eventi? Qual è il numero degli eventi possibili? Qual è la probabilità dell’evento A? Qual è la probabilità dell’evento B? Principio della somma P di ottenere un fante P(A) P di ottenere un re P(B) 40

Svolgimento esercizio 2 PROBABILITA’ DI OTTENERE UN FANTE O UN RE Principio della somma

Svolgimento esercizio 2 PROBABILITA’ DI OTTENERE UNA FIGURA O UNA CARTA INFERIORE A “SEI” Qual i sono gli eventi? Qual è il numero degli eventi possibili? Qual è la probabilità dell’evento A? Qual è la probabilità dell’evento B? Principio della somma P di ottenere una carta inferiore a “sei” P di ottenere una figura P(B) P(A) 40

Svolgimento esercizio 2 PROBABILITA’ DI OTTENERE UNA FIGURA O UNA CARTA INFERIORE A “SEI” Principio della somma

Svolgimento esercizio 2 PROBABILITA’ DI NON OTTENERE UNA FIGURA Qual i sono gli eventi? Qual è il numero degli eventi possibili? Qual è la probabilità dell’evento nonA? P di NON ottenere una figura P(nonA) 40

Esercizio 3 Dato un mazzo di 40 carte calcolare la probabilità di ottenere in due estrazioni con reimmissione: Un re alla prima estrazione e una carta di coppe alla seconda Un re ed un asso Eventi indipendenti in quanto con la reimmissione si lascia inalterata la probabilità dell’evento successivo

Svolgimento esercizio 3 Probabilità di ottenere in due estrazioni con reimmissione: Un re alla prima estrazione e una carta di coppe alla seconda - Quali sono gli eventi? P di ottenere una carta di coppe P di ottenere un re P(A) P(B) Principio del prodotto

Svolgimento esercizio 3 Probabilità di ottenere in due estrazioni con reimmissione: Un re alla prima estrazione e una carta di coppe alla seconda Principio del prodotto

Svolgimento esercizio 3 Probabilità di ottenere in due estrazioni con reimmissione un re e un asso Quali sono gli eventi? Non viene specificato l’ordine dell’estrazione => gli eventi possono verificarsi in qualsiasi ordine Permutazioni Prima A e poi B Prima B e poi A P di ottenere un asso P di ottenere un re P(A) P(B)

Svolgimento esercizio 3 Probabilità di ottenere in due estrazioni con reimmissione un re e un asso Principio del prodotto Permutazioni Prima A e poi B Prima B e poi A

Esercizio 4 Dato un mazzo di 40 carte calcolare la probabilità di ottenere in 3 estrazioni senza reimmissione: Un 4, un 3 ed un 5 nell’ordine indicato Due fanti ed un cavallo nell’ordine indicato Esattamente due re

probabilità di ottenere in 3 estrazioni senza reimmissione un 4, un 3 ed un 5 nell’ordine indicato Quali sono gli eventi? Estrarre un 4 Estrarre un 3 Estrarre un 5 P(A) P(B) P(C)

probabilità di ottenere in 3 estrazioni senza reimmissione due fanti ed un cavallo nell’ordine indicato Quali sono gli eventi? Estrarre un fante Estrarre un fante Estrarre un cavallo P(A) P(B) P(C)

Estrarre una qualsiasi carta probabilità di ottenere in 3 estrazioni senza reimmissione esattamente due re Quali sono gli eventi? Estrarre un re Estrarre un re Estrarre una qualsiasi carta P(A) P(B) P(C) Non viene specificato l’ordine dell’estrazione => gli eventi possono così verificarsi verificarsi Prima A, poi B e poi C Prima B, poi C e poi A Prima C, poi A e poi B

Principio del prodotto Prima A, poi B e poi C Estrarre un re Estrarre un re Estrarre una qualsiasi carta P(A) P(B) P(C) Principio del prodotto

Principio del prodotto Prima B, poi C e poi A Estrarre un re Estrarre una qualsiasi carta Estrarre un re P(B) P(C) P(A) Principio del prodotto

Principio del prodotto Prima C, poi A e poi B Estrarre una qualsiasi carta Estrarre un re Estrarre un re P(C) P(A) P(B) Principio del prodotto

probabilità di ottenere in 3 estrazioni senza reimmissione esattamente due re Prima A, poi B e poi C Prima B, poi C e poi A Prima C, poi A e poi B

Esercizio 5 In una scuola del nord ci sono 200 bambini, 40 dei quali sono figli di immigrati. Di questi, 10 hanno problemi di apprendimento, mentre la percentuale di bambini che ha problemi di apprendimento in tutta la scuola è del 25%. Sia A l’evento “BAMBINO FIGLIO IMMIGRATO” Sia B l’evento “BAMBINO CON PROBLEMI DI APPRENDIMENTO” Verificare se P(A) = P(A|B) Verificare se P(B) = P(B|A)

Mettiamo i dati in tabella Figli di immigrati SI NO TOTALE Con problemi di apprendimento 10 40 50 Senza problemi di apprendimento 30 120 150 160 200 P(A) = 40/200 = 0,2 P(A|B) = 10/50 = 0,2 P(B) = 50/200 = 0,25 P(B|A) = 10/40 = 0,25

Esercizio 6 Un esame è costituito da 12 domande cui bisogna rispondere SI o NO. Ammettendo che uno studente non preparato risponda a caso, indicare qual è la probabilità che: Risponda correttamente soltanto a 4 domande Risponda correttamente solo alle prime 3 domande Sbagli tutte le domande. Se per superare l’esame sono sufficienti 10 risposte corrette, qual è la probabilità che uno studente non preparato superi l’esame?

P = prob. di dare una risposta corretta = ½ = 0,5 Q = prob. di dare una risposta errata = ½ = 0,5 Evento x = rispondere correttamente solo a 4 domande

P = prob. di dare una risposta corretta = ½ = 0,5 Q = prob. di dare una risposta errata = ½ = 0,5 Evento x = rispondere correttamente solo alle prime 3 domande Visto che la sequenza è fissata (le prime 3 domande) non serve calcolare tutti i possibili ordini

P = prob. di dare una risposta corretta = ½ = 0,5 Q = prob. di dare una risposta errata = ½ = 0,5 Evento x = sbagliare tutte le domande

Calcolare la probabilità che lo studente superi 10 e 11 e 12 domande Se per superare l’esame sono sufficienti 10 risposte corrette, qual è la probabilità che uno studente non preparato superi l’esame? Calcolare la probabilità che lo studente superi 10 e 11 e 12 domande P(x=10) P(x=11) P(x=12)

P(x=10) P(x=11) P(x=12)

Esercizio 7 La distribuzione dei voti di statistica degli studenti di un’università è normale con media = 24 e deviazione standard = 2. calcolare: La probabilità di estrarre a caso un voto compreso tra la media e x=27; La probabilità di estrarre a caso uno studente con voto uguale o superiore a 28; La percentuale di studenti il cui voto sia compreso tra 18 e 23,5; Il rango percentile del voto 20.

La probabilità di estrarre a caso un voto compreso tra la media e x=27 μ = 24 σ = 2 Standardizziamo il voto x=27 Andiamo a consultare la tavola per individuare l’area compresa

La probabilità di estrarre a caso uno studente con voto uguale o superiore a 28 μ = 24 σ = 2 Standardizziamo il voto x=28 Andiamo a consultare la tavola per individuare l’area compresa

Per conoscere la percentuale: 0,5 – 0,4772 = 0,0228

La percentuale di studenti il cui voto sia compreso tra 18 e 23,5 μ = 24 σ = 2 Standardizziamo il voto x1=18 e x2=23,5 Andiamo a consultare la tavola per individuare l’area compresa

Area compresa tra la media e z1 = 0,4987 Area compresa z1 e z2 = 0,4987-0,0987=

Il rango percentile del voto 20 μ = 24 σ = 2 Standardizziamo il voto x=20 Andiamo a consultare la tavola per individuare l’area compresa

Per conoscere la percentuale: 0,5 – 0,4772 = 0,0228 Rango percentile = 2,28

Esercizio 8 Data una distribuzione normale con media = 98 e deviazione standard =7 calcolare: La probabilità di estrarre a caso un punteggio X ugiale o inferiore a 90 La percentuale di punteggi superiori a 88; La probabilità di estrarre a caso un punteggio X compreso tra 96 e 100; Il punteggio X corrispondente al 64° percentile La probabilità di estrarre punteggi minori di 84 o maggiori di 110

La probabilità di estrarre a caso un punteggio X uguale o inferiore a 90 μ = 98 σ = 7 Standardizziamo il voto x=20 Andiamo a consultare la tavola per individuare l’area compresa

0,500 – 0,3729 = 0,1271

La percentuale di punteggi superiori a 88 μ = 98 σ = 7 Standardizziamo il voto x=20 Andiamo a consultare la tavola per individuare l’area compresa

0,500 + 0,4236 = 0,9236

La probabilità di estrarre a caso un punteggio X compreso tra 96 e 100 μ = 98 σ = 7 Standardizziamo il voto x1=18 e x2=23,5 Andiamo a consultare la tavola per individuare l’area compresa

0,1141+ 0,1141 = 0,2282

Il punteggio X corrispondente al 64° percentile È necessario individuare l’area della curva formata dalla metà sinistra della curva e dell’area compresa tra lo 0 e lo z incognito. L’area tra lo 0 e lo z incognito è pari a: 0,64 – 0,50 = 0,14

Quest’area è relativa a z=0,36

Il punteggio X corrispondente al 64° percentile È necessario individuare l’area della curva formata dalla metà sinistra della curva e dell’area compresa tra lo 0 e lo z incognito. Z incognito = 0,36 μ = 98 σ = 7

La probabilità di ottenere punteggi minori di 84 o maggiori di 110 μ = 98 σ = 7 Standardizziamo il voto x1=84 e x2=110 Andiamo a consultare la tavola per individuare l’area compresa

Area compresa tra 0 e z1 = 0,4772 Area compresa tra 0 e z2 = 0,4554

P di ottenere un z minore o uguale a z1 = 0,500 – 0,4772 = 0,0228 Area compresa tra 0 e z1 = 0,4772 P di ottenere un z minore o uguale a z1 = 0,500 – 0,4772 = 0,0228 Area compresa tra 0 e z2 = 0,4554 P di ottenere un z maggiore o uguale a z2 = 0,500 - 0,4554=0,0446

La probabilità di ottenere punteggi minori di 84 o maggiori di 110 μ = 98 σ = 7 P(z1) =0,0228 P (z2) =0,0446 P(z1) + P (z2) = 0,0228 + 0,0446 = 0,0674